Свободные колебания. Собственные колебания Типы колебаний в физике

1. Колебания. Периодические колебания. Гармонические колебания.

2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания.

3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний.

5. Автоколебания.

6. Колебания тела человека и их регистрация.

7. Основные понятия и формулы.

8. Задачи.

1.1. Колебания. Периодические колебания.

Гармонические колебания

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

Повторяющиеся процессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электрические и т.п. В настоящей лекции рассматриваются механические колебания.

Периодические колебания

Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.

Для периодических колебаний используют следующие характеристики:

период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;

частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);

амплитуда колебаний А, равная максимальному смещению от положения равновесия.

Гармонические колебания

Особое место среди периодических колебаний занимают гармонические колебания. Их значимость обусловлена следующими причинами. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Гармонические колебания - это колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса:

В математике функции этого вида называют гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими.

Положение тела, совершающего колебательное движение, характеризуется смещением относительно равновесного положения. В этом случае величины, входящие в формулу (1.1), имеют следующий смысл:

х - смещение тела в момент времени t;

А - амплитуда колебаний, равная максимальному смещению;

ω - круговая частота колебаний (число колебаний, совершаемых за 2π секунд), связанная с частотой колебаний соотношением

φ = (ωt +φ 0) - фаза колебаний (в момент времени t); φ 0 - начальная фаза колебаний (при t = 0).

Рис. 1.1. Графики зависимости смещения от времени для х(0) = А и х(0) = 0

1.2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия.

Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, нужно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. При толчке шарику сообщается кинетическая энергия, а при отклонении - потенциальная.

Свободные колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии.

Свободные незатухающие колебания

Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. В противном случае первоначальный запас энергии будет расходоваться на ее преодоление, и размах колебаний будет уменьшаться.

В качестве примера рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине, возникающие после того, как тело отклонили вниз, а затем отпустили (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Колебания тела на пружине

Со стороны растянутой пружины на тело действует упругая сила F, пропорциональная величине смещения х:

Постоянный множитель k называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и материала. Знак «-» указывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, т.е. к положению равновесия.

При отсутствии трения упругая сила (1.4) - это единственная сила, действующая на тело. Согласно второму закону Ньютона (ma = F):

После переноса всех слагаемых в левую часть и деления на массу тела (m) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии трения:

Величина ω 0 (1.6) оказалась равной циклической частоте. Эту частоту называют собственной.

Таким образом, свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими, если при отклонении от положения равновесия возникает упругая сила (1.4).

Собственная круговая частота является основной характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина зависит только от свойств колебательной системы (в рассматриваемом случае - от массы тела и жесткости пружины). В дальнейшем символ ω 0 всегда будет использоваться для обозначения собственной круговой частоты (т.е. частоты, с которой происходили бы колебания при отсутствии силы трения).

Амплитуда свободных колебаний определяется свойствами колебательной системы (m, k) и энергией, сообщенной ей в начальный момент времени.

При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармоническим, возникают также и в других системах: математический и физический маятники (теория этих вопросов не рассматривается) (рис. 1.3).

Математический маятник - небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити (рис. 1.3 а). Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой (до 5°) угол α и отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, определяемым по формуле

где L - длина нити, g - ускорение свободного падения.

Рис. 1.3. Математический маятник (а), физический маятник (б)

Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рисунке 1.3 б схематически изображен физический маятник в виде тела произвольной формы, отклоненного от положения равновесия на угол α. Период колебаний физического маятника описывается формулой

где J - момент инерции тела относительно оси, m - масса, h - расстояние между центром тяжести (точка С) и осью подвеса (точка О).

Момент инерции - это величина, зависящая от массы тела, его размеров и положения относительно оси вращения. Вычисляется момент инерции по специальным формулам.

Свободные затухающие колебания

Силы трения, действующие в реальных системах, существенно изменяют характер движения: энергия колебательной системы постоянно убывает, и колебания либо затухают, либо вообще не возникают.

Сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению тела, и при не очень больших скоростях пропорциональна величине скорости:

График таких колебаний представлен на рис. 1.4.

В качестве характеристики степени затухания используют безразмерную величину, называемую логарифмическим декрементом затухания λ.

Рис. 1.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях

Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды предыдущего колебания к амплитуде последующего колебания.

где i - порядковый номер колебания.

Нетрудно видеть, что логарифмический декремент затухания находится по формуле

Сильное затухание. При

выполнении условия β ≥ ω 0 система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим. На рисунке 1.5 показаны два возможных способа возвращения в положение равновесия при апериодическом движении.

Рис. 1.5. Апериодическое движение

1.3. Вынужденные колебания, резонанс

Свободные колебания при наличии сил трения являются затухающими. Незатухающие колебания можно создать с помощью периодического внешнего воздействия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодической силы (ее называют вынуждающей силой).

Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

График вынужденных колебаний представлен на рис. 1.6.

Рис. 1.6. График зависимости смещения от времени при вынужденных колебаниях

Видно, что амплитуда вынужденных колебаний достигает установившегося значения постепенно. Установившиеся вынужденные колебания являются гармоническими, а их частота равна частоте вынуждающей силы:

Амплитуда (А) установившихся вынужденных колебаний находится по формуле:

Резонансом называется достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы.

Если условие (1.18) не выполнено, то резонанс не возникает. В этом случае при увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает, стремясь к нулю.

Графическая зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания (β 1 > β 2 > β 3) показана на рис. 1.7. Такая совокупность графиков называется резонансными кривыми.

В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды колебаний при резонансе является опасным для прочности системы. Известны случаи, когда резонанс приводил к разрушению конструкций.

Рис. 1.7. Резонансные кривые

1.4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний

В таблице 1.1 представлены характеристики рассмотренных колебательных процессов.

Таблица 1.1. Характеристики свободных и вынужденных колебаний

Энергия незатухающих гармонических колебаний

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает двумя видами энергии: кинетической энергией движения Е к = mv 2 /2 и потенциальной энергией Е п, связанной с действием упругой силы. Известно, что при действии упругой силы (1.4) потенциальная энергия тела определяется формулой Е п = кх 2 /2. Для незатухающих колебаний х = А cos(ωt), а скорость тела определяется по формуле v = - А ωsin(ωt). Отсюда получаются выражения для энергий тела, совершающего незатухающие колебания:

Полная энергия системы, в которой происходят незатухающие гармонические колебания, складывается из этих энергий и остается неизменной:

Здесь m - масса тела, ω и A - круговая частота и амплитуда колебаний, k - коэффициент упругости.

1.5. Автоколебания

Существуют такие системы, которые сами регулируют периодическое восполнение потерянной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется самой колебательной системой.

Системы, в которых возникают такие колебания, называются автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебательную систему можно представить следующей схемой:

В данном случае сама колебательная система каналом обратной связи воздействует на регулятор энергии, информируя его о состоянии системы.

Обратной связью называется воздействие результатов какоголибо процесса на его протекание.

Если такое воздействие приводит к возрастанию интенсивности процесса, то обратная связь называется положительной. Если воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то обратная связь называется отрицательной.

В автоколебательной системе может присутствовать как положительная, так и отрицательная обратная связь.

Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в те моменты, когда маятник проходит через среднее положение.

Примером биологических автоколебательных систем являются такие органы, как сердце, легкие.

1.6. Колебания тела человека и их регистрация

Aнализ колебаний, создаваемых телом человека или его отдельными частями, широко используется в медицинской практике.

Колебательные движения тела человека при ходьбе

Ходьба - это сложный периодический локомоторный процесс, возникающий в результате координированной деятельности скелетных мышц туловища и конечностей. Aнализ процесса ходьбы дает много диагностических признаков.

Характерной особенностью ходьбы является периодичность опорного положения одной ногой (период одиночной опоры) или двух ног (период двойной опоры). В норме соотношение этих периодов равно 4:1. При ходьбе происходит периодическое смещение центра масс (ЦМ) по вертикальной оси (в норме на 5 см) и отклонение в сторону (в норме на 2,5 см). При этом ЦМ совершает движение по кривой, которую приближенно можно представить гармонической функцией (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Вертикальное смещение ЦМ тела человека во время ходьбы

Сложные колебательные движения при поддержании вертикального положения тела.

У человека, стоящего вертикально, происходят сложные колебания общего центра масс (ОЦМ) и центра давления (ЦД) стоп на плоскость опоры. На анализе этих колебаний основана статокинезиметрия - метод оценки способности человека сохранять вертикальную позу. Посредством удержания проекции ОЦМ в пределах координат границы площади опоры. Данный метод реализуется с помощью стабилометрического анализатора, основной частью которого является стабилоплатформа, на которой в вертикальной позе находится испытуемый. Колебания, совершаемые ЦД испытуемого при поддержании вертикальной позы, передаются стабилоплатформе и регистрируются специальными тензодатчиками. Сигналы тензодатчиков передаются на регистрирующее устройство. При этом записывается статокинезиграмма - траектория перемещения ЦД испытуемого на горизонтальной плоскости в двумерной системе координат. По гармоническому спектру статокинезиграммы можно судить об особенностях вертикализации в норме и при отклонениях от нее. Данный метод позволяет анализировать показатели статокинетической устойчивости (СКУ) человека.

Механические колебания сердца

Существуют различные методы исследования сердца, в основе которых лежат механические периодические процессы.

Баллистокардиография (БКГ) - метод исследования механических проявлений сердечной деятельности, основанный на регистрации пульсовых микроперемещений тела, обусловленных выбрасыванием толчком крови из желудочков сердца в крупные сосуды. При этом возникает явление отдачи. Тело человека помещают на специальную подвижную платформу, находящуюся на массивном неподвижном столе. Платформа в результате отдачи приходит в сложное колебательное движение. Зависимость смещения платформы с телом от времени называется баллистокардиограммой (рис. 1.9), анализ которой позволяет судить о движении крови и состоянии сердечной деятельности.

Апекскардиография (AKГ) - метод графической регистрации низкочастотных колебаний грудной клетки в области верхушечного толчка, вызванных работой сердца. Регистрация апекскардиограммы производится, как правило, на многоканальном электрокарди-

Рис. 1.9. Запись баллистокардиограммы

ографе при помощи пьезокристаллического датчика, являющегося преобразователем механических колебаний в электрические. Перед записью на передней стенке грудной клетки пальпаторно определяют точку максимальной пульсации (верхушечный толчок), в которой и фиксируют датчик. По сигналам датчика автоматически строится апекскардиограмма. Проводят амплитудный анализ АКГ - сравнивают амплитуды кривой при разных фазах работы сердца с максимальным отклонением от нулевой линии - отрезок ЕО, принимаемый за 100%. На рисунке 1.10 представлена апекскардиограмма.

Рис. 1.10. Запись апекскардиограммы

Кинетокардиография (ККГ) - метод регистрации низкочастотных вибраций стенки грудной клетки, обусловленных сердечной деятельностью. Кинетокардиограмма отличается от апекскардиограммы: первая фиксирует запись абсолютных движений грудной стенки в пространстве, вторая регистрирует колебания межреберий относительно ребер. В данном методе определяются перемещение (ККГ х), скорость перемещения (ККГ v) а также ускорение (ККГ а) для колебаний грудной клетки. На рисунке 1.11 представлено сопоставление различных кинетокардиограмм.

Рис. 1.11. Запись кинетокардиограмм перемещения (х), скорости (v), ускорения (а)

Динамокардиография (ДКГ) - метод оценки перемещения центра тяжести грудной клетки. Динамокардиограф позволяет регистрировать силы, действующие со стороны грудной клетки человека. Для записи динамокардиограммы пациент располагается на столе лежа на спине. Под грудной клеткой находится воспринимающее устройство, которое состоит из двух жестких металлических пластин размером 30x30 см, между которыми расположены упругие элементы с укрепленными на них тензодатчиками. Периодически меняющаяся по величине и месту приложения нагрузка, действующая на воспринимающее устройство, слагается из трех компонент: 1) постоянная составляющая - масса грудной клетки; 2) переменная - механический эффект дыхательных движений; 3) переменная - механические процессы, сопровождающие сердечное сокращение.

Запись динамокардиограммы осуществляют при задержке дыхания исследуемым в двух направлениях: относительно продольной и поперечной оси воспринимающего устройства. Сравнение различных динамокардиограмм показано на рис. 1.12.

Сейсмокардиография основана на регистрации механических колебаний тела человека, вызванных работой сердца. В этом методе с помощью датчиков, установленных в области основания мечевидного отростка, регистрируется сердечный толчок, обусловленный механической активностью сердца в период сокращения. При этом происходят процессы, связанные с деятельностью тканевых механорецепторов сосудистого русла, активирующихся при снижении объема циркулирующей крови. Сейсмокардиосигнал формирует форма колебаний грудины.

Рис. 1.12. Запись нормальной продольной (а) и поперечной (б) динамокардиограмм

Вибрация

Широкое внедрение различных машин и механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние.

Вибрация - вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое целое, либо колеблются его отдельные части с различными амплитудами и частотами.

Человек постоянно испытывает различного рода вибрационные воздействия в транспорте, на производстве, в быту. Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например, руке рабочего, держащего отбойный молоток), распространяются по всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тканях организма переменные деформации различных видов (сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации: частотой (спектр частот, основная частота), амплитудой, скоростью и ускорением колеблющейся точки, энергией колебательных процессов.

Продолжительное воздействие вибраций вызывает в организме стойкие нарушения нормальных физиологических функций. Может возникнуть «вибрационная болезнь». Эта болезнь приводит к ряду серьезных нарушений в организме человека.

Влияние, которое вибрации оказывают на организм, зависит от интенсивности, частоты, длительности вибраций, места их приложения и направления по отношению к телу, позе, а также от состояния человека и его индивидуальных особенностей.

Колебания с частотой 3-5 Гц вызывают реакции вестибулярного аппарата, сосудистые расстройства. При частотах 3-15 Гц наблюдаются расстройства, связанные с резонансными колебаниями отдельных органов (печень, желудок, голова) и тела в целом. Колебания с частотами 11-45 Гц вызывают ухудшение зрения, тошноту, рвоту. При частотах, превышающих 45 Гц, возникают повреждение сосудов головного мозга, нарушение циркуляции крови и т.д. На рисунке 1.13 приведены области частот вибрации, оказывающие вредное действие на человека и системы его органов.

Рис. 1.13. Области частот вредного воздействия вибрации на человека

В то же время в ряде случаев вибрации находят применение в медицине. Например, при помощи специального вибратора стоматолог готовит амальгаму. Использование высокочастотных вибрационных аппаратов позволяет высверлить в зубе отверстие сложной формы.

Вибрация используется и при массаже. При ручном массаже массируемые ткани приводятся в колебательное движение при помощи рук массажиста. При аппаратном массаже используются вибраторы, в которых для передачи телу колебательных движений служат наконечники различной формы. Вибрационные аппараты подразделяются на аппараты для общей вибрации, вызывающие сотрясение всего тела (вибрационные «стул», «кровать», «платформа» и др.), и аппараты местного вибрационного воздействия на отдельные участки тела.

Механотерапия

В лечебной физкультуре (ЛФК) используются тренажеры, на которых осуществляются колебательные движения различных частей тела человека. Они используются в механотерапии - форме ЛФК, одной из задач которой является осуществление дозированных, ритмически повторяющихся физических упражнений с целью тренировки или восстановления подвижности в суставах на аппаратах маятникового типа. Основу этих аппаратов составляет балансирующий (от фр. balancer - качать, уравновешивать) маятник, который представляет собой двуплечный рычаг, совершающий колебательные (качательные) движения около неподвижной оси.

1.7. Основные понятия и формулы

Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Окончание таблицы

1.8. Задачи

1. Привести примеры колебательных систем у человека.

2. У взрослого человека сердце делает 70 сокращений в минуту. Определить: а) частоту сокращений; б) число сокращений за 50 лет

Ответ: а) 1,17 Гц; б) 1,84х10 9 .

3. Какую длину должен иметь математический маятник, чтобы период его колебаний был равен 1 секунде?

4. Тонкий прямой однородный стержень длиной 1 м подвешен за конец на оси. Определить: а) чему равен период его колебаний (малых)? б) какова длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний?

5. Тело массой 1 кг совершает колебания по закону х = 0,42 cos(7,40t), где t - измеряется в секундах, а х - в метрах. Найти: а) амплитуду; б) частоту; в) полную энергию; г) кинетическую и потенциальную энергии при х = 0,16 м.

6. Оценить скорость, с которой идет человек при длине шага l = 0,65 м. Длина ноги L = 0,8 м; центр тяжести находится на расстоянии H = 0,5 м от ступни. Для момента инерции ноги относительно тазобедренного сустава использовать формулу I = 0,2mL 2 .

7. Каким образом можно определить массу небольшого тела на борту космической станции, если в вашем распоряжении имеются часы, пружина и набор гирь?

8. Амплитуда затухающих колебаний убывает за 10 колебаний на 1/10 часть своей первоначальной величины. Период колебаний Т = 0,4 с. Определить логарифмический декремент и коэффициент затухания.

Лекция. 1. Колебания. Форма колебаний. Виды колебаний. Классификация. Характеристики колебательного процесса. Условия возникновения механических колебаний. Гармонические колебания.

Колеба́ния - повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро­магнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковы­ми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы.

Форма колебаний может быть разной.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки …
времени рис.1. (В противном случае колебания называются апериодическими). Выделяют важный частный случай гармонических колебаний (рис.1).

Колебания, приближающиеся к гармоническим называются квазигармоническими.

Рис.1. Виды колебаний

Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, локальные, «местные» преобразования энергии.

Виды колебаний. Колебания различаютс я по природе:

механические (движение, звук, вибрация),

электромагнитные (например, колебания в колебательном контуре, объёмном резонаторе, колебания напряжённостей электрического и магнитного полей в радиоволнах, волнах видимого света и любых др. электромагнитных волнах),

электромеханические (колебания мембраны телефона, пьезокварцевого или магнитострикционного излучателя ультразвука);

химические (колебания концентрации реагирующих веществ, при так называемых периодических химических реакциях);

термодинамические (например, так называемое поющее пламя и др. тепловые автоколебания, встречающиеся в акустике, а также в некоторых типах реактивных двигателей);

колебательные процессы в космосе (большой интерес в астрофизике представляют колебания яркости звезд цефеид (пульсирующие переменные звезды сверхгиганты, изменяющие блеск с амплитудой от 0,5 до 2 звезной величины и периодом от 1 до 50 суток);

Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов.

Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой :

свободные (или собственные) - это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания почти всегда затухающие).

Например, колебания груза на пружине, маятника, моста, корабля на волне, струны; колебания плазмы, плотности и давления воздуха при распространении в нём упругих (акустических) волн.

Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвает затухание).

вынужденные - колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.

автоколебания - колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы - механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является, то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

параметрические - колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия,

случайные - колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом,

связанные колебания — свободные колебания взаимно связанных систем , состоящих из взаимодействующих одиночных колебательных систем. Связанные колебания имеют сложный вид вследствие того, что колебания в одной системе влияют через связь (в общем случае диссипативную и нелинейную) на колебания в другой

колебания в структурах с распределенными параметрами (длинные линии, резонаторы),

флуктуационные , происходящие в результате теплового движения вещества.

Условия возникновения колебаний.

1. Для возникновения колебания в системе необходимо вывести её из положения равновесия. Например, для маятника сообщив ему кинетическую (удар, толчок), либо – потенциальную (отклонение тела) энергию.

2. При выведении тела из положения устойчивого равновесия возникает равнодействующая сила, направленная к положению равновесия.

С энергетической точки зрения это значит, что возникают условия для постоянного перехода (кинетической энергии в потенциальную, энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.

3. Потери энергии системы за счет перехода в другие виды энергии (часто в тепловую энергию) малы.

Характеристики колебательного процесса .

На рис.1 представлен график периодического изменения функции F(x), которое характеризуется параметрами:

Амплитуда - максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы.

Период - наименьший промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), T (c).

1. Колебания.

2. Механические колебания.

3. Превращения энергии при механических колебаниях.

4. Период колебаний.

5. Частота колебаний.

6. Циклическая частота колебаний.

7. Амплитуда механических колебаний.

8. Гармонические колебания.

9. Фаза гармонического колебания.

10. Аналитическое представление колебаний.

11. Графическое представление колебаний.

12. Скорость точки в гармоническом колебании.

13. Ускорение точки в гармоническом колебании.

14. Динамика гармонического колебания.

15. Период колебаний пружинного маятника.

16. Математический маятник. Квазиупругая сила.

17. Колебания тела, плавающего на поверхности жидкости.

18. Колебания однородной жидкости в U – образной трубке.

19. Колебания тела в сферической чаше.

20. Энергия гармонического колебания.

21. Затухающие колебания.

22. Вынужденные колебания.

23. Резонанс.

24. Свободные колебания. Собственная частота.

25. Автоколебания.

1. Колебания. Колебаниями вообще называют периодические изменения состояния системы, при которых периодически изменяются значения различных физических величин, характеризуют данную систему. Например, периодические изменения давления и плотности воздуха, напряжения и силы электрического тока есть колебания этих величин.

Математически периодичность означает, что, если - есть периодическая функция времени с периодом Т , то при любом t выполняется равенство

2. Механические колебания – движения тела, которые точно или почти точно повторяются через равные интервалы времени.

Механические колебания возникают в системах, имеющих положение устойчивого равновесия. Согласно с принципом минимума потенциальной энергии, в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна. Когда тело выводят из положения устойчивого равновесия, его потенциальная энергия возрастает. При этом возникает сила, направленная к положению равновесия (возвращающая сила), и чем дальше от положения равновесия отклоняется тело, тем больше его потенциальная энергия и тем больше модуль возвращающей силы. Например, при отклонении пружинного маятника от положения равновесия, роль возвращающей силы играет сила упругости, модуль которой изменяется пропорционально отклонению , где х отклонение маятника от положения равновесия. Потенциальная энергия пружинного маятника изменяется пропорционально квадрату смещения .

Аналогично возникают колебания нитяного маятника и шарика, движущегося по дну сферической чаши радиуса R , который можно рассматривать как нитяной маятник с длиной нити равной радиусу чаши (Рис.78).

3.Превращения энергии при механических колебаниях . Если отсутствуют силы трения, то полная механическая энергия тела, совершающего колебательное движение, остаётся постоянной. В процессе колебаний происходят периодические взаимные превращения потенциальной и кинетической энергии тела. Проведем рассуждения на примере колебаний нитяного маятника. Для упрощения рассуждений примем потенциальную энергию маятника в положении равновесия равной нулю. В крайнем отклонённом положении потенциальная энергия маятника максимальна, а кинетическая энергия равна нулю, т.к. в этом положении маятник находится в покое. При движении к положению равновесия высота маятника над поверхностью Земли уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия, при этом возрастают его скорость и кинетическая энергия. В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Продолжая движение по инерции, маятник проходит положение равновесия. После прохождения положения равновесия кинетическая энергия маятника убывает, но возрастает его потенциальная энергия. Когда произойдёт остановка маятника, его кинетическая энергия станет равной нулю, а потенциальная энергия достигнет максимума и всё повторится в обратном порядке.

По закону сохранения энергии потенциальная энергия маятника в крайнем отклоненном положении равна его кинетической в момент прохождения положения равновесия.

В процессе колебаний в любой момент времени полная механическая энергия маятника равна его потенциальной в крайнем отклонённом положении или кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия

где высота маятника в крайнем отклоненном положении, скорость в момент прохождения положения равновесия.

4. Период колебания – минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения, или интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание. Период (Т ) измеряется в секундах.

5. Частота колебании - определяет число полных колебаний, совершаемых за одну секунду. Частота и период связаны соотношением

Частота измеряется в герцах (Гц). Один герц – одно полное колебание совершаемое за одну секунду

6. Циклическая частота или круговая частота определяет число полных колебаний, свершаемых за секунд

Частота – величина положительная , .

7. Амплитуда механических колебаний – максимальное отклонение тела от положения равновесия. В общем случае колебаний амплитуда есть максимальное значение, которое принимает периодически изменяющаяся физическая величина.

8. Гармонические колебания – колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса (по гармоническому закону):

Здесь амплитуда колебаний, циклическая частота.

9. Фаза гармонического колебания – величина , стоящая под знаком синуса или косинуса. Фаза определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени, начальная фаза, т.е. в момент начала отсчёта времени Простейшим примером гармонических колебаний является колебание проекции на оси координат точки m движущейся равномерно по окружности радиуса А в плоскости XOY , центр которой совпадает с началом координат (рис. 79)

Для простоты положим , т.е. тогда

Многие известные колебательные системы можно лишь приближенно считать гармоническими лишь приближенно при очень малых отклонениях. Главным условием гармонического колебания является постоянство циклической частоты и амплитуды. Например, при колебаниях нитяного маятника, угол отклонения от вертикали изменяется неравномерно, т.е. циклическая частота не постоянна. Если отклонения очень малы, то движение маятника происходит очень медленно и неравномерностью движения можно пренебречь, полагая . Чем медленнее движение, тем меньше сопротивление среды, те меньше потери энергии и меньше изменения амплитуды.

Итак, малые колебания можно приближенно считать гармоническими.

10. Аналитическое представление колебаний – запись колеблющейся величины в виде функции , выражающей зависимость величины от времени.

11. Графическое представление колебаний – представлениеколебаний в виде графика функции в координатных осях OX и t .

Например, аналитически гармоническое колебания записывается в виде , а его графическое представление изображается синусоидой - сплошная линия на Рис.80.

12.Скорость точки при гармоническом колебании – получим, дифференцируя по времени функцию х (t )

Где амплитуда скорости, пропорциональна циклической частоте и амплитуде смещения.

Итак, скорость V по синусоидальному закону с таким же периодом T, что и смещение х в пределах . Фаза скорости опережает фазу смещения на . Это значит, что скорость максимальна, когда точка проходит положение равновесия , а при максимальных смещениях точки её скорость равна нулю. График скорости представлен пунктирной линией на рис Рис.80

13. Ускорение точки при гармонических колебаниях получим, дифференцируя скорость по времени или дифференцируя смещение х дважды по времени:

Где - амплитуда ускорения пропорциональная амплитуде смещения и квадрату циклической частоты.

Ускорение точки при гармонических колебаниях изменяется по синусоидальному закону с тем же периодом Т , что и смещение в пределах Фаза ускорения опережает фазу смещения на . Ускорение равно нулю в момент прохождения точкой положения равновесия, На Рис.81 график ускорения изображен пунктирной линией, сплошная линия изображает график смещения.

Учитывая, что ускорение запишем в виде

Т.е. ускорение в гармоническом колебании пропорционально смещению и всегда направлено к положению равновесия (против смещения). Удаляясь от положения равновесия точка движется ускоренно, приближаясь к положению равновесия точка движется ускоренно.

14. Динамика гармонического колебания. Умножив ускорение точки, совершающей гармоническое колебание, на её массу получим согласно второму закону Ньютона силу, действующую на точку

Обозначим Теперь запишем силу, действующую на точку

Из последнего равенства следует, что гармонические колебания вызываются силой пропорциональной смещению и направленной против смещения, т.е. к положению равновесия.

15. Период колебаний пружинного маятника. Пружинный маятник совершает колебания под действием силы упругости

Сила пропорциональная смещению и направленная к положению равновесия вызывает гармонические колебания точки. Поэтому колебания пружинного маятника гармонические. Коэффициент жесткости равен

Помня, что получим период свободных колебаний пружинного маятника

Частота пружинного маятника равна

.

15. Математический маятник – материальная точка, подвешенная на бесконечно тонкой, невесомой, нерастяжимой нити, совершающая колебания в вертикальной плоскости, под действием силы тяжести.

Груз, подвешенный на нити, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с длиной нити, можно приближенно считать математическим маятником. Часто такой маятник называют нитяным маятником.

Рассмотрим малые колебания математического маятника длиной l . В положении равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения нити, т.е. .

Если отклонить маятник на малый угол , то сила тяжести и сила натяжения, направленные под углом друг к другу, в сумме дают равнодействующую силу ,которая направлена к положению равновесия. На Рис.82 отклонение маятника от вертикали равно

Угол настолько мал, что циклическую частоту, т.е. угловую скорость вращения нити можно считать постоянной. Поэтому и смещение маятника запишем в виде

Таким образом, малые колебания математического маятника есть гармонические колебания. Из Рис. 82 следует, что сила , но , следовательно

Где m, g, и l постоянные величины. Обозначим и получим модуль возвращающей силы в виде . Если учесть, что сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. против смещения, то её выражение запишем в виде .

Итак, сила, вызывающая колебания математического маятника пропорциональна смещению и направлена против смещения, как при колебаниях пружинного маятника, т.е характер этой силы такой же как и силы упругой. Но по природе упругая сила есть сила электромагнитная. Сила же вызывающая колебания математического маятника по своей природе есть сила гравитационная – неэлектромагнитная поэтому её называютквазиупругой силой. Любая сила, которая действует как сила упругая, по природе не является электромагнитной, называется квазиупругой силой. Это позволяет нам записать выражение периода колебаний математического маятника в виде

.

Из этого равенства следует, что период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника, но зависит от его длины и ускорения свободного падения. Зная период колебаний математического маятника и его длину, можно определить ускорение свободного падения в любой точке на поверхности Земли.

17. Колебания тела, плавающего на поверхности жидкости. Для простоты рассмотрим тело массы m в форме цилиндра с площадью основания S. Тело плавает частично погрузившись в жидкость, плотность которой (Рис. 83).

Пусть в положении равновесия глубина погружения . При этом равнодействующая силы Архимеда и силы тяжести равна нулю

.

Если изменить глубину погружения на х то сила Архимеда станет равной и модуль равнодействующей силы F станет отличен от нуля

Учитывая, что получим

Обозначая , модуль силы F в виде

Если глубина погружения увеличивается, т.е. тело смещается вниз, сила Архимеда становится больше силы тяжести и равнодействующая F направлена вверх, т.е. против смещения. Если же глубина погружения уменьшается, т.е. смещается вверх от положения равновесия, сила Архимеда становится меньше силы тяжести и равнодействующая F направлена вниз, т.е. против смещения.

Итак, сила F всегда направлена против смещения и её модуль пропорционален смещению

Эта сила квазиупругая и она вызывает гармонические колебания тела, плавающего на поверхности жидкости. Период этих колебаний вычисляется по общей для гармонических колебаний формуле

.

18. Колебания однородной жидкости в U-трубке . Пусть однородная жидкость массы m , плотность которой налита в U – образную трубку, площадь сечения которой S (Рис.84) В состоянии равновесия высоты столбов в обоих коленах трубки одинаковы, по закону сообщающихся сосудов для однородной жидкости.

Если жидкость вывести из состояния равновесия, то высоты столбов жидкости в коленах будут периодически изменяться, т.е. жидкость в трубке будет совершать колебания.

Пусть в некоторый момент времени высота столба жидкости в правом колене на х больше. чем в левом. Это значит, что на жидкость в трубке действует сил тяжести жидкости в столбе высотой х , , где - объём столба жидкости высотой x . Произведение величина постоянная, следовательно .

Таким образом, модуль силы F пропорционален разности высот столбов жидкости в коленах, т.е. пропорционален смещению жидкости в трубке. Направление этой силы всегда противоположно смещению, т.е.

Следовательно эта сила вызывает гармонические колебания жидкости в трубке. Период этих колебаний запишем по правилу для гармонических колебаний

19. Колебания тела в сферической чаше. Пусть тело скользит без трения в сферической чаше радиуса R (Рис. 78). При малых отклонениях от положения равновесия колебания этого тела можно рассматривать как гармонические колебания математического маятника, длина которого равна R , с периодом равным

20. Энергия гармонического колебания . В качестве примера рассмотрим колебания пружинного маятника. При смещении х

Если сила трения очень велика, то затухающие колебания не происходят. Тело, выведенное из положения равновесия какими-либо силами, после прекращения действия этих сил возвращается в положение равновесия и останавливается. Такое движение называется апериодическим (непериодическим). График апериодического движения представлен на Рис.86.

22. Вынужденные колебания – незатухающие колебания системы, которые вызываются внешними периодически меняющимися с течением времени силами (вынуждающие силы).

Если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

, где амплитуда вынуждающей силы, её циклическая частота, то в системе могут установиться вынужденные гармонические колебания с циклической частотой равной частоте вынуждающей силы

.

23. Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой свободных колебаний системы . Если колебание происходит в среде, оказывающей сопротивление, то график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы выглядит так как на Рис.87

Вынуждающая сила, частота которой совпадает с частотой свободных колебаний системы, даже при очень малых амплитудах вынуждающей силы может вызвать колебания с очень большой амплитудой.

24. Свободные колебания. Собственная частота системы. Свободными колебаниями называют колебания системы, происходящие под действием её внутренних сил. Для пружинного маятника внутренней силой является сила упругости. Для математического маятника, который состоит из самого маятника и Земли, внутренней силой является сила тяжести. Для тела, плавающего на поверхности жидкости, внутренней силой является сила Архимеда.

25. Автоколебания – незатухающие колебания, происходящие в среде, за счет источника энергии не обладающего колебательными свойствами, компенсирующего потери энергии на преодоление сил трения. Автоколебательные системы получают равные порции энергии через равные интервалы времени например, через один период. Примером автоколебательной системы являются часы.

- 131.04 Кб

Введение………………………………………………………… …..

1. Виды и характеристики колебаний.

1. Механические колебания…………………………………………….

1. Электомагнитные колебания………………………..

Литература…………………………………………………… ……………..

Введение.

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Звук – это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет – тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны и достигающее в некоторых местностях 18 метров, биение пульса – периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д. Смена бодрствования и сна, труда и отдыха, зимы и лета...

Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Специальный раздел физики – теория колебаний – занимается изучением закономерностей этих явлений. Знать их необходимо судо- и самолетостроителям, специалистам промышленности и транспорта, создателям радиотехнической и акустической аппаратуры.

Любые колебания характеризуются амплитудой – наибольшим отклонением некоторой величины от своего нулевого значения, периодом (T ) или частотой (v ). Последние две величины связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью: T = 1/v . Частота колебаний выражается в герцах (Гц). Единица измерения названа так в честь известного немецкого физика Генриха Герца (1857...1894). 1 Гц – это одно колебание в секунду. Примерно с такой частотой бьется человеческое сердце. Слово «херц» по-немецки означает «сердце». При желании в этом совпадении можно усмотреть некую символическую связь.

Первыми учеными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием люстры в соборе и отмеряя время по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрел первые часы с маятником (1657) и во втором издании своей монографии «Маятниковые часы» (1673) исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника.

Большой вклад в изучение колебаний внесли многие ученые: английские – У. Томсон (лорд Кельвин) и Дж. Рэлей , русские – А.С. Попов и П.Н. Лебедев, советские – А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, А.А. Андронов и другие.

1.Виды колебаний и их характеристики.

Колебательными процессами (колебаниями) называются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом.

В зависимости от физической природы и механизма возбуждения колебаний различают:

- механические колебания (колебания маятников, струн, балок, частей машин и механизмов, качка кораблей, волнение моря, колебания давления при распространении звука в газе, жидкости, твердом теле и т.д.);

- электромагнитные колебания (переменный ток, колебания тока, заряда, векторов E и H в колебательных контурах и т.д.);

- электромеханические колебания (колебания мембран телефонов, диффузоров электродинамических громкоговорителей и т.д.).

Колебательные движения отличаются от других видов движений. Они характеризуются некоторыми общими признаками. На языке теории колебаний различия между колебательным движением тела и процессами в колебательных электромагнитных контурах исчезают, если подходить к ним с точки зрения общих принципов. Такой подход называется электромеханическими аналогиями.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Колебания, которые возникают вследствие какого-либо начального отклонения системы от ее устойчивого равновесия, называются собственными колебаниями.

Колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия, называются вынужденными колебаниями.

Общие признаки и понятия, единые для различных колебательных систем, следующие:

• дифференциальное уравнение (его вид одинаков для любых колеблющихся систем);
• уравнение колебаний;
• амплитуда;
• частота или период колебаний;
• фаза;
• начальная фаза.

Рассмотрим колебания в механической и электромагнитной системах, выделяя именно перечисленные выше признаки.

1.1.Механические колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называют такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник). Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо отведя в сторону, отпустить его.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

В качестве механической колебательной системы, на примере которой мы будем рассматривать колебания, выбираем пружинный маятник : маленькое тело (материальная точка) массой m подвешено на пружине с жесткостью k (Рисунок 2).

Ненагруженная пружина имела длину l 0 . Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести. Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника . Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая этих сил равна:

Знак минус означает, что направление силы F упр. и направление смещения х противоположны. F упр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости от того, в какую сторону от положения равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы (чем больше смещение, тем больше F упр.).

Рисунок 1.1 – Положения пружинного маятника за время одного периода колебаний.

Если система совершает колебания под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе без внешних воздействий и без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями .

Отсутствие затухания колебаний характерно для идеальной колебательной системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

Дифференциальное уравнение , соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона ma = F .

Учитывая, что ускорение есть вторая производная от смещения по времени
,
а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как, получим

или
.

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

Величина, обозначим ее, получим

Решением дифференциального уравнения такого вида являются уравнения:

Или

Эти решения называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение х пружинного маятника в любой момент времени.

Колебания, при которых характеризующие их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими .

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет, т.е. .
В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде.

В уравнении колебаний:

А – амплитуда смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

х – смещение маятника, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

α – начальная фаза определяет положение маятника в начальный момент времени (t = 0).

Периодом T называется наименьший интервал времени, за который система возвращается в исходное положение. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется величина, равная числу колебаний, совершаемых за единиц времени.

Для пружинного маятника частота и период собственных колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:

, .

Зная уравнение смещения пружинного маятника, получим подобные уравнения для других физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний, если уравнение смещения пружинного маятника задано в виде.

Скорость колебаний маятника есть первая производная по времени от смещения:

Краткое описание

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Механические колебания…………………………………………….

Электомагнитные колебания………………………..

Литература…………………………………………………………………..

Колебания - это движение тела, в ходе которого оно многократно движется по одной и той же траектории и проходит при этом одни и те же точки пространства. Примерами колеблющихся объектов могут служить - маятник часов, струна скрипки или фортепиано, вибрации автомобиля.

Колебания играют важную роль во многих физических явлениях за пределами области механики. Например, напряжение и сила тока в электрических цепях могут колебаться. Биологическими примерами колебаний могут служить сердечные сокращения, артериальный пульс и производство звука голосовыми связками.

Хотя физическая природа колеблющихся систем может существенно отличаться, разнообразные типы колебаний могут быть охарактеризованы количественно сходным образом. Физическая величина, которая изменяется со временем при колебательном движении, называется смещением . Амплитуда представляет собой максимальное смещение колеблющегося объекта от положения равновесия. Полное колебание, или цикл - это движение, при котором тело, выведенное из положения равновесия на некоторую амплитуду, возвращается в это положение, отклоняется до максимального смещения в противоположную сторону и возвращается в свое первоначальное положение. Период колебания T - время, необходимое для осуществления одного полного цикла. Число колебаний за единицу времени - это частота колебаний .

Простое гармоническое колебание

В некоторых телах при их растяжении или сжатии возникают силы, противодействующие этим процессам. Эти силы прямо пропорциональны длине растяжения или сжатия. Таким свойством обладают пружины. Когда тело, подвешенное к пружине, отклоняют от положения равновесия, а потом отпускают, его движение представляет собой простое гармоническое колебание.

Рассмотрим тело массой m , подвешенное на пружине в положении равновесия. Смещая тело вниз, можно вызвать колебание тела. Если - смещение тела от положения равновесия, то в пружине возникает сила F (сила упругости), направленная в противоположную смещению сторону. В соответствии с законом Гука, сила упругости пропорциональна смещению F упр = -k·S , где k - константа, которая зависит от упругих свойств пружины. Сила является отрицательной, поскольку она стремится вернуть тело в положение равновесия.

Действуя на тело массой m, сила упругости придает ему ускорение вдоль направления смещения. Согласно закону Ньютона F = ma , где a = d 2 S/d 2 t. Для упрощения последующих рассуждений пренебрежем трением и вязкостью в колеблющейся системе. В таком случае амплитуда колебаний не будет изменяться со временем.

Если не действуют никакие внешние силы (даже сопротивление среды) на колеблющиеся тело, то колебания осуществляются с определенной частотой. Эти колебания называются свободными. Амплитуда таких колебаний остается постоянной.

Таким образом, m·d 2 S/d 2 t = -k·S (1) . Перемещая все члены равенства и деля их на m, получим уравнения d 2 S/d 2 t +(k/m) · S = 0 ,
а затем d 2 S/d 2 t +ω 0 2 · S = 0 (2), где k/m = ω 0 2

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением простого гармонического колебания .
Решение уравнения (2) дает две функции:
S = A sin(ω 0 t + φ 0 ) (3) и S = A cos(ω 0 t + φ 0 ) (4)

Таким образом, если тело массой m осуществляет простые гармонические колебания, изменение смещения этого тела от точки равновесия во времени осуществляется по закону синуса или косинуса.

(ω 0 t + φ 0 ) - фаза колебания с начальной фазой φ 0 . Фаза является свойством колебательного движения, которое характеризует величину смещения тела в любой момент времени. Измеряется фаза в радианах.

Величина называется угловой, или круговой, частотой . Измеряется в радианах, деленных за секунду ω 0 = 2πν или ω 0 = 2 π /T (5)

График уравнения простого гармонического колебания представлен на Рис. 1 . Тело, первоначально смещенное на расстояние А - амплитуды колебания, а затем отпущенное, продолжает колеблется от -A и до A за время T - период колебания.

Рис 1.

Таким образом, в ходе простого гармонического колебания величина смещения тела изменяется во времени вдоль синусоиды или косинусоиды. Поэтому простое гармоническое колебание часто называют синусоидальным колебанием.

Простое гармоническое колебание имеет следующие основные характеристики:

A) движущееся тело попеременно находится по обе стороны от положения равновесия;
б) тело повторяет свое движение за определенный интервал времени;
c) ускорение тела всегда пропорционально смещению и направлено противоположно ему;
д) графически этот тип колебания описывает синусоида.

Затухающее колебание

Простое гармоническое колебание не может продолжаться сколь угодно долго при постоянной амплитуде. В реальных условиях через некоторое время гармонические колебания прекращаются. Такие гармонические колебания в реальных системах называются затухающим колебаниями (рис.2) . К снижению амплитуды колебаний с последующим их прекращением приводит действие внешних сил, например, трения и вязкости. Эти силы уменьшают энергию колебаний. Они называются диссипативными силами , поскольку способствуют рассеиванию потенциальной и кинетической энергии макроскопических тел в энергию теплового движения атомов и молекул тела.

Рис 2.

Величина диссипативных сил зависит от скорости тела. Если скорость ν сравнительно мала, то диссипативная сила F прямо пропорциональна этой скорости F тр = -rν = -r·dS/dt (6)

Здесь r - постоянный коэффициент, независимый от скорости или частоты колебаний. Знак минус указывает на то, что тормозящая сила направлена против вектора скорости движения.

Принимаясь во внимание действие диссипативных сил, дифференциальное уравнение гармонического затухающего колебания имеет вид: m· d 2 S/d 2 t = -kS - r·dS/dt .

Перенеся все члены равенства в одну сторону, разделив каждый член на m и заменяя k/m = ω 2 ,r/m = 2β , получим дифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний

где β - коэффициент затухания, характеризующий затухание колебаний за единицу времени.

Решением уравнения является функция S = A 0 ·e -βt ·sin(ωt + φ 0) (8)

Уравнение (8) показывает, что амплитуда гармонического колебания уменьшается экспоненциально во времени. Частота затухающих колебаний определяется уравнением ω = √(ω 0 2 - β 2) (9)

Если колебание не может происходить вследствие большого, то система возвращается в свое положение равновесия по экспоненциальному пути без колебания.

Вынужденное колебание и резонанс

Если не сообщать колеблющейся системе внешнюю энергию, то амплитуда гармонического колебания уменьшается во времени из-за диссипативных эффектов. Периодическое действие силы может увеличить амплитуду колебаний. Теперь колебание не будет затухать со временем, поскольку потерянная энергия восполняется в течение каждого цикла действием внешней силы. Если будет достигнут баланс этих двух энергий, то амплитуда колебаний будет оставаться постоянной. Эффект зависит от соотношения частот вынуждающей силы ω и собственной частоты колебания системы ω 0 .

Если тело колеблется под действием внешней периодической силы с частотой этой внешней силы, то колебание тела называется вынужденным .

Энергия внешней силы оказывает наибольшее действие на колебания системы, если внешняя сила обладает определенной частотой. Эта частота должна быть такой же, как и частота собственных колебаний системы, которые бы эта система совершала в отсутствие внешних сил. В таком случае происходит резонанс - явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы.

Механические волны

Распространение колебаний из одного места в другое называется волновым движением, или просто волной .

Механические волны образуются вследствие простых гармонических колебаний частиц среды от их среднего положения. Вещество среды не перемещается при этом из одного места в другое. Но частицы среды, передающие друг другу энергию, необходимы для распространения механических волн.

Таким образом, механическая волна является возмущением материальной среды, которое проходит эту среду с определенной скоростью, не изменяя своей формы.

Если в воду бросить камень, от места возмущения среды побежит одиночная волна. Однако волны иногда могут быть периодическими. Например, вибрирующий камертон производит попеременные сжатия и разрежения окружающего его воздуха. Эти возмущения, воспринимаемые как звук, происходят периодически с частотой колебаний камертона.

Существуют механические волны двух видов.

(1) Поперечная волна . Этот вид волн характеризуется вибрацией частиц среды под прямым углом к направлению распространения волны. Поперечные механические волны могут возникать только в твердых веществах и на поверхности жидкостей.

В поперечной волне все частицы среды осуществляют простое гармоническое колебание возле своих средних положений. Положение максимального смещения вверх называется "пиком ", а положение максимального смещения вниз - "впадиной ". Расстояние между двумя последующими пиками или впадинами называется длиной поперечной волны λ.

(2) Продольная волна . Этот вид волн характеризуется колебаниями частиц среды вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут распространяться в жидкостях, газах и твердых телах.

В продольной волне все частицы среды также осуществляют простое гармоническое колебание около их среднего положения. В некоторых местах частицы среды расположены ближе, а в других местах - дальше, чем в нормальном состоянии.

Места, где частицы расположены близко, называются областями сжатия , а места где они находятся далеко друг от друга - областями разрежения . Расстояние между двумя последовательными сжатиями или разрежениями называются длиной продольной волны.

Выделяют следующие характеристики волн .

(1) Амплитуда - максимальное смещение колеблющейся частицы среды от ее положения равновесия (A ).

(2) Период - время, необходимое частице для одного полного колебания (T ).

(3) Частота - количество колебаний, произведенных частицей среды, за единицу времени (ν). Между частотой волны и ее периодом существует обратная зависимость: ν = 1/T .

(4) Фаза колеблющейся частицы в любой момент определяет ее положение и направление движения в данный момент. Фаза представляет собой часть длины волны или периода времени.

(5) Скорость волны является скоростью распространения в пространстве пика волны (v).

Совокупность частиц среды, колеблющихся в одинаковой фазе, формирует фронт волны. С этой точки зрения, волны делятся на два вида.

(1) Если источник волны является точкой, из которой она распространяется во всех направлениях, то образуется сферическая волна .

(2) Если источник волны колеблющаяся плоская поверхность, то образуется плоская волна .

Смещение частиц плоской волны можно описать общим уравнением для всех типов волнового движения: S = A·sin ω · (t - x/v) (10)

Это означает, что величина смещения (S ) для каждой значения времени (t ) и расстояния от источника волны (x ) зависит от амплитуды колебания (A ), угловой частоты (ω ) и скорости волны (v).

Эффект Доплера

Эффект Доплера - изменение частоты волны, воспринимаемой наблюдателем (приемником) благодаря относительному движению источника волн и наблюдателя. Если источник волн приближается к наблюдателю, число волн, прибывающих к наблюдателю волн, каждую секунду превышает испускаемое источником волн. Если источник волн удаляется от наблюдателя, то число испускаемых волн больше, чем прибывающих к наблюдателю.

Аналогичный эффект следует в случае, если наблюдатель перемещается относительно неподвижного источника.

Примером эффекта Доплера является изменение частоты гудка поезда при его приближении и удалении от наблюдателя.

Общее уравнение для эффекта Доплера имеет вид

Здесь ν источн - частота волн, испускаемых источником, и ν приемн - частота волн, воспринятая наблюдателем. ν 0 - скорость волн в неподвижной среде, ν приемн и ν источн - скорости наблюдателя и источника волн соответственно. Верхние знаки в формуле относятся к случаю, когда источник и наблюдатель перемещаются друг к другу. Нижние знаки относятся к случаю удаления друг от друга источника и наблюдателя волн.

Изменение частоты волн вследствие эффекта Доплера называют доплеровским сдвигом частоты. Этот феномен используется для измерения скорости перемещения различных тел, включая эритроциты в кровеносных сосудах.

Смотрите задачи на тему "