ตัวเลขที่น่าทึ่งของศาสตราจารย์สจ๊วต กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน

สิ่งหนึ่งที่คุณมั่นใจได้เต็มร้อยเปอร์เซ็นต์ก็คือ เมื่อถามว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร ผู้ใหญ่คนใดก็ตามจะตอบอย่างกล้าหาญว่า "ผลรวมของกำลังสองของขา" ทฤษฎีบทนี้ฝังแน่นอยู่ในจิตใจของผู้มีการศึกษาทุกคน แต่คุณเพียงแค่ต้องขอให้ใครสักคนพิสูจน์ และอาจเกิดปัญหาได้ ดังนั้นเรามาจำและพิจารณากัน วิธีการที่แตกต่างกันการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ประวัติโดยย่อ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นที่คุ้นเคยของเกือบทุกคน แต่ด้วยเหตุผลบางประการชีวประวัติของบุคคลที่นำมันมาสู่โลกจึงไม่ได้รับความนิยมมากนัก สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ ดังนั้น ก่อนที่จะศึกษาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส คุณต้องมาทำความรู้จักกับบุคลิกภาพของเขาก่อน

พีทาโกรัส - นักปรัชญานักคณิตศาสตร์นักคิดที่มีพื้นเพมาจาก วันนี้ เป็นเรื่องยากมากที่จะแยกแยะชีวประวัติของเขาจากตำนานที่พัฒนาขึ้นในความทรงจำของชายผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ แต่ดังต่อไปนี้จากผลงานของผู้ติดตามของเขา Pythagoras of Samos เกิดบนเกาะ Samos พ่อของเขาเป็นคนตัดหินธรรมดา แต่แม่ของเขามาจากตระกูลขุนนาง

เมื่อพิจารณาจากตำนานแล้ว การกำเนิดของพีธากอรัสนั้นถูกทำนายโดยผู้หญิงชื่อไพเธียซึ่งมีชื่อว่าเด็กชายเพื่อเป็นเกียรติแก่ ตามคำทำนายของเธอ เด็กชายที่เกิดควรจะนำผลประโยชน์และดีมาสู่มนุษยชาติมากมาย ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาทำ

กำเนิดของทฤษฎีบท

ในวัยเด็ก พีทาโกรัสย้ายไปอียิปต์เพื่อพบกับปราชญ์ชาวอียิปต์ที่มีชื่อเสียงที่นั่น หลังจากพบกับพวกเขาแล้ว เขาได้รับอนุญาตให้ศึกษา โดยที่เขาได้เรียนรู้ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ทั้งหมดของปรัชญา คณิตศาสตร์ และการแพทย์ของอียิปต์

อาจเป็นที่อียิปต์ว่าพีทาโกรัสได้รับแรงบันดาลใจจากความสง่างามและความงามของปิรามิด และสร้างทฤษฎีอันยิ่งใหญ่ของเขาขึ้นมา สิ่งนี้อาจทำให้ผู้อ่านตกใจ แต่นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่เชื่อว่าพีทาโกรัสไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเขา แต่เขาเพียงถ่ายทอดความรู้ของเขาให้กับผู้ติดตามของเขาเท่านั้น ซึ่งต่อมาได้เสร็จสิ้นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว

อาจเป็นไปได้ว่าทุกวันนี้ไม่ได้มีเพียงวิธีเดียวในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่มีหลายวิธีในคราวเดียว วันนี้เราทำได้แค่เดาว่าชาวกรีกโบราณคำนวณได้อย่างไร ดังนั้นเราจะมาดูวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ก่อนที่คุณจะเริ่มคำนวณ คุณต้องหาก่อนว่าคุณต้องการพิสูจน์ทฤษฎีใด ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นดังนี้: “ในรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมหนึ่งเป็น 90° ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก”

มีทั้งหมด 15 วิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นี่เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมากดังนั้นเราจะให้ความสนใจกับจำนวนที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

วิธีที่หนึ่ง

ก่อนอื่น มากำหนดสิ่งที่เราได้รับมากันก่อน ข้อมูลเหล่านี้จะนำไปใช้กับวิธีอื่นๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ดังนั้นจึงควรจดจำสัญลักษณ์ที่มีอยู่ทั้งหมดทันที

สมมติว่าเราได้รับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ c วิธีการพิสูจน์วิธีแรกนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าคุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเพิ่มส่วนที่เท่ากับขา b เข้ากับความยาวของขา a และในทางกลับกัน นี่จะส่งผลให้มีด้านเท่ากันสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สิ่งที่เหลืออยู่คือการวาดเส้นขนานสองเส้นแล้วสี่เหลี่ยมก็พร้อม

ภายในรูปที่ได้ออกมา คุณจะต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกอันโดยมีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมเดิม ในการทำเช่นนี้ จากจุดยอด ас และ св คุณต้องวาดส่วนคู่ขนานสองส่วนเท่ากับ с ดังนั้นเราจึงได้ด้านทั้งสามของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนึ่งในนั้นคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากดั้งเดิม สิ่งที่เหลืออยู่คือการวาดส่วนที่สี่

จากรูปที่ได้ เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกคือ (a + b) 2 หากคุณมองเข้าไปในรูป คุณจะเห็นว่านอกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในแล้ว ยังมีสามเหลี่ยมมุมฉากอีกสี่รูปอีกด้วย พื้นที่แต่ละแห่งคือ 0.5av.

ดังนั้น พื้นที่จึงเท่ากับ: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

ดังนั้น (a+c) 2 =2ab+c 2

ดังนั้น c 2 =a 2 +b 2

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีที่สอง: สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สูตรในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ได้มาจากข้อความในส่วนเรขาคณิตเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โดยระบุว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม 90°

ข้อมูลเริ่มต้นยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นเรามาเริ่มด้วยการพิสูจน์กันดีกว่า ให้เราวาดส่วน CD ตั้งฉากกับด้าน AB จากข้อความข้างต้น ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:

เอซี=√AB*โฆษณา, SV=√AB*DV.

ในการตอบคำถามว่าจะพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างไร การพิสูจน์จะต้องเสร็จสิ้นโดยการยกกำลังสองของอสมการทั้งสอง

เอซี 2 = AB * AD และ CB 2 = AB * DV

ตอนนี้เราต้องบวกผลลัพธ์ความไม่เท่าเทียมกันเข้าด้วยกัน

เอซี 2 + CB 2 = AB * (AD * DV) โดยที่ AD + DV = AB

ปรากฎว่า:

เอซี 2 + CB 2 =AB*AB

ดังนั้น:

เอซี 2 + CB 2 = เอบี 2

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการต่างๆ ในการแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางที่หลากหลายในการแก้ไขปัญหานี้ อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกนี้เป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุด

วิธีการคำนวณอื่น

คำอธิบายของวิธีการต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจไม่มีความหมายใดๆ จนกว่าคุณจะเริ่มฝึกด้วยตนเอง เทคนิคหลายอย่างไม่เพียงเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการสร้างตัวเลขใหม่จากสามเหลี่ยมดั้งเดิมด้วย

ในกรณีนี้ จำเป็นต้องสร้าง VSD สามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันจากด้าน BC ดังนั้น ตอนนี้จึงมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขาร่วม BC

เมื่อรู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันมีอัตราส่วนเป็นกำลังสองของมิติเชิงเส้นที่เหมือนกัน ดังนั้น:

S avs * c 2 - S avd * ใน 2 = S avd * a 2 - S กับ * a 2

S avs *(จาก 2 - ถึง 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

จาก 2 - ถึง 2 = a 2

ค 2 =ก 2 +ข 2

เนื่องจากวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับเกรด 8 มีวิธีต่างๆ มากมาย ตัวเลือกนี้จึงไม่ค่อยเหมาะสม คุณสามารถใช้วิธีต่อไปนี้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รีวิว

ตามที่นักประวัติศาสตร์กล่าวไว้ วิธีนี้ถูกใช้ครั้งแรกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทกลับเข้ามา กรีกโบราณ- เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดเนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีการคำนวณใดๆ เลย หากคุณวาดภาพอย่างถูกต้องก็จะมองเห็นหลักฐานของข้อความที่ว่า a 2 + b 2 = c 2 ได้ชัดเจน

เงื่อนไขสำหรับวิธีนี้จะแตกต่างจากวิธีก่อนหน้าเล็กน้อย เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท สมมติว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC คือหน้าจั่ว

เราใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ววาดทั้งสามด้าน นอกจากนี้จำเป็นต้องวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นในช่องสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ ข้างในนั้นคุณจะได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่อัน

คุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขา AB และ CB แล้ววาดเส้นตรงแนวทแยงหนึ่งเส้นในแต่ละอัน เราลากเส้นแรกจากจุดยอด A เส้นที่สองจาก C

ตอนนี้คุณต้องดูภาพวาดผลลัพธ์อย่างรอบคอบ เนื่องจากบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC มีสามเหลี่ยมสี่รูปเท่ากับสามเหลี่ยมดั้งเดิม และด้านข้างมีสองรูป ซึ่งบ่งบอกถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้

อย่างไรก็ตามต้องขอบคุณวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ทำให้วลีที่โด่งดังเกิดขึ้น: “ กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง"

พิสูจน์โดยเจ. การ์ฟิลด์

เจมส์ การ์ฟิลด์เป็นประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา นอกเหนือจากการสร้างชื่อเสียงให้กับประวัติศาสตร์ในฐานะผู้ปกครองของสหรัฐอเมริกาแล้ว เขายังเป็นผู้ที่มีความสามารถพิเศษอีกด้วย

ในช่วงเริ่มต้นอาชีพของเขาเขาเป็นครูธรรมดาในโรงเรียนรัฐบาล แต่ในไม่ช้าก็กลายเป็นผู้อำนวยการของหนึ่งในครูที่สูงที่สุด สถาบันการศึกษา- ความปรารถนาที่จะพัฒนาตนเองทำให้เขาสามารถเสนอทฤษฎีใหม่เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ ทฤษฎีบทและตัวอย่างการแก้ปัญหามีดังนี้

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันบนกระดาษแผ่นหนึ่งเพื่อให้ขาของหนึ่งในนั้นต่อจากอันที่สอง จุดยอดของสามเหลี่ยมเหล่านี้จำเป็นต้องเชื่อมต่อกันจนกลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูในที่สุด

ดังที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง

S=ก+ข/2 * (ก+ข)

หากเราพิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูที่เกิดขึ้นเป็นรูปที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสามรูป ก็จะสามารถหาพื้นที่ได้ดังนี้:

S=av/2 *2 + วิ 2 /2

ตอนนี้เราต้องทำให้สำนวนดั้งเดิมทั้งสองเท่ากัน

2ab/2 + ค/2=(ก+ข) 2 /2

ค 2 =ก 2 +ข 2

สามารถเขียนได้มากกว่าหนึ่งเล่มเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์มัน อุปกรณ์ช่วยสอน- แต่มีประเด็นใดบ้างที่ความรู้นี้ไม่สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้?

การประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ

น่าเสียดายที่หลักสูตรของโรงเรียนสมัยใหม่กำหนดให้ใช้ทฤษฎีบทนี้เฉพาะในปัญหาทางเรขาคณิตเท่านั้น ผู้สำเร็จการศึกษาจะออกจากโรงเรียนในไม่ช้าโดยไม่รู้ว่าจะนำความรู้และทักษะไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

ที่จริงแล้ว ใครๆ ก็สามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวันได้ และไม่เพียงแต่ในกิจกรรมทางวิชาชีพเท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานบ้านทั่วไปด้วย ลองพิจารณาหลายกรณีที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์อาจมีความจำเป็นอย่างยิ่ง

ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทกับดาราศาสตร์

ดูเหมือนว่าดาวและสามเหลี่ยมบนกระดาษจะเชื่อมโยงกันได้อย่างไร อันที่จริง ดาราศาสตร์เป็นสาขาวิทยาศาสตร์ที่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกันอย่างแพร่หลาย

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการเคลื่อนที่ของลำแสงในอวกาศ เป็นที่รู้กันว่าแสงเคลื่อนที่ทั้งสองทิศทางด้วยความเร็วเท่ากัน ลองเรียกวิถี AB ที่รังสีแสงเคลื่อนที่ไป ล. และลองเรียกครึ่งหนึ่งของเวลาที่ต้องใช้แสงเพื่อเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ที- และความเร็วของลำแสง - ค. ปรากฎว่า: ค*t=ล

หากคุณดูรังสีเดียวกันนี้จากระนาบอื่น เช่น จากเรือโดยสารอวกาศที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ดังนั้นเมื่อสังเกตวัตถุในลักษณะนี้ ความเร็วของพวกมันจะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้ แม้แต่องค์ประกอบที่อยู่นิ่งก็จะเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ในทิศทางตรงกันข้าม

สมมติว่าการ์ตูนไลเนอร์แล่นไปทางขวา จากนั้นจุด A และ B ซึ่งลำแสงวิ่งอยู่ระหว่างนั้นจะเริ่มเคลื่อนไปทางซ้าย นอกจากนี้เมื่อลำแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B จุด A จะมีเวลาเคลื่อนที่และด้วยเหตุนี้แสงจึงจะมาถึงที่แล้ว จุดใหม่ C. หากต้องการค้นหาระยะทางครึ่งหนึ่งที่จุด A เคลื่อนที่ คุณต้องคูณความเร็วของสายการบินด้วยครึ่งหนึ่งของระยะเวลาการเดินทางของลำแสง (t")

และเพื่อหาว่ารังสีแสงสามารถเดินทางได้ไกลแค่ไหนในช่วงเวลานี้ คุณต้องทำเครื่องหมายครึ่งหนึ่งของเส้นทางด้วยตัวอักษร s ใหม่ และรับนิพจน์ต่อไปนี้:

ถ้าเราจินตนาการว่าจุดของแสง C และ B รวมถึงเส้นในอวกาศคือจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จากนั้นส่วนที่จากจุด A ถึงเส้นในจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณจึงสามารถหาระยะทางที่รังสีแสงเดินทางได้

แน่นอนว่าตัวอย่างนี้ไม่ใช่ตัวอย่างที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่จะโชคดีพอที่จะลองใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้น ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้แบบธรรมดาๆ กัน

ระยะการส่งสัญญาณมือถือ

ชีวิตสมัยใหม่ไม่สามารถจินตนาการได้อีกต่อไปหากไม่มีสมาร์ทโฟน แต่จะมีประโยชน์มากแค่ไหนหากไม่สามารถเชื่อมต่อสมาชิกผ่านการสื่อสารเคลื่อนที่ได้!

คุณภาพของการสื่อสารเคลื่อนที่โดยตรงขึ้นอยู่กับความสูงของเสาอากาศ ผู้ให้บริการมือถือ- ในการคำนวณว่าโทรศัพท์สามารถรับสัญญาณได้ไกลแค่ไหนจากเสาสัญญาณมือถือ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้

สมมติว่าคุณต้องหาความสูงโดยประมาณของหอคอยที่อยู่นิ่งเพื่อที่จะสามารถกระจายสัญญาณภายในรัศมี 200 กิโลเมตร

AB (ความสูงของหอคอย) = x;

BC (รัศมีการส่งสัญญาณ) = 200 กม.;

OS (รัศมีของโลก) = 6380 กม.;

OB=OA+ABOB=r+x

จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบว่าความสูงขั้นต่ำของหอคอยควรอยู่ที่ 2.3 กิโลเมตร

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวัน

น่าแปลกที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์แม้ในชีวิตประจำวัน เช่น การกำหนดความสูงของตู้เสื้อผ้า เป็นต้น เมื่อมองแวบแรกไม่จำเป็นต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนเช่นนี้เพราะคุณสามารถทำการวัดโดยใช้สายวัดได้ แต่หลายคนสงสัยว่าเหตุใดปัญหาบางอย่างจึงเกิดขึ้นในระหว่างกระบวนการประกอบ หากการวัดทั้งหมดทำมากกว่าความแม่นยำ

ความจริงก็คือตู้เสื้อผ้าประกอบในแนวนอนแล้วยกและติดตั้งชิดผนังเท่านั้น ดังนั้นในระหว่างขั้นตอนการยกโครงสร้าง ด้านข้างของตู้จะต้องเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระทั้งตามความสูงและแนวทแยงของห้อง

สมมติว่ามีตู้เสื้อผ้าที่มีความลึก 800 มม. ระยะห่างจากพื้นถึงเพดาน - 2,600 มม. ผู้ผลิตเฟอร์นิเจอร์ที่มีประสบการณ์จะบอกว่าความสูงของตู้ควรน้อยกว่าความสูงของห้อง 126 มม. แต่ทำไมถึง 126 มม. ล่ะ? ลองดูตัวอย่าง

ด้วยขนาดตู้ที่เหมาะสมที่สุด เรามาตรวจสอบการทำงานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน:

เอซี =√AB 2 +√BC 2

AC = √2474 2 +800 2 =2600 มม. - ทุกอย่างลงตัว

สมมติว่าความสูงของตู้ไม่ใช่ 2474 มม. แต่เป็น 2505 มม. แล้ว:

เอซี=√2505 2 +√800 2 =2629 มม.

ดังนั้นตู้นี้ไม่เหมาะกับการติดตั้งในห้องนี้ เนื่องจากการยกขึ้นในแนวตั้งอาจทำให้ร่างกายได้รับความเสียหายได้

บางที เมื่อพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยนักวิทยาศาสตร์หลายๆ คนแล้ว เราก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทดังกล่าวเป็นมากกว่าความจริง ตอนนี้คุณสามารถใช้ข้อมูลที่ได้รับในชีวิตประจำวันของคุณและมั่นใจอย่างยิ่งว่าการคำนวณทั้งหมดจะไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังถูกต้องอีกด้วย

ศักยภาพในการสร้างสรรค์มักเป็นผลมาจากมนุษยศาสตร์ โดยปล่อยให้วิทยาศาสตร์ธรรมชาติเป็นหน้าที่ของการวิเคราะห์ วิธีปฏิบัติ และภาษาที่แห้งแล้งของสูตรและตัวเลข คณิตศาสตร์ถึง วิชาด้านมนุษยธรรมคุณไม่สามารถเกี่ยวข้องได้ แต่หากไม่มีความคิดสร้างสรรค์คุณจะไม่ไปไกลกว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" - ผู้คนรู้จักสิ่งนี้มาเป็นเวลานาน ตั้งแต่สมัยพีทาโกรัส เป็นต้น

น่าเสียดายที่ตำราเรียนของโรงเรียนมักไม่ได้อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญไม่เพียงแต่ต้องยัดเยียดทฤษฎีบท สัจพจน์ และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและรู้สึกถึงหลักการพื้นฐานของมัน และในเวลาเดียวกันพยายามปลดปล่อยจิตใจของคุณจากความคิดโบราณและความจริงเบื้องต้น - เฉพาะในเงื่อนไขเช่นนี้เท่านั้นที่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่จะเกิดขึ้นทั้งหมด

การค้นพบดังกล่าวรวมถึงสิ่งที่เรารู้ในปัจจุบันว่าเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่สามารถทำได้ แต่ยังน่าตื่นเต้นอีกด้วย และการผจญภัยครั้งนี้ไม่เพียงเหมาะสำหรับเด็กเนิร์ดแว่นตาหนาเท่านั้น แต่ยังเหมาะสำหรับทุกคนที่มีจิตใจเข้มแข็งและจิตวิญญาณที่แข็งแกร่งอีกด้วย

จากประวัติความเป็นมาของปัญหา

พูดอย่างเคร่งครัด แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แต่พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้ค้นพบทฤษฎีบทนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากและคุณสมบัติพิเศษของมันได้รับการศึกษามานานแล้ว มีมุมมองสองขั้วเกี่ยวกับปัญหานี้ ตามเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่ค้นพบข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สมบูรณ์ อีกประการหนึ่งหลักฐานไม่ได้เป็นของผู้ประพันธ์ของพีทาโกรัส

วันนี้คุณไม่สามารถตรวจสอบได้อีกต่อไปว่าใครถูกและใครผิด สิ่งที่ทราบก็คือข้อพิสูจน์ของพีทาโกรัส (หากเคยมีอยู่จริง) ก็ไม่รอด อย่างไรก็ตาม มีข้อเสนอแนะว่าข้อพิสูจน์ที่มีชื่อเสียงจาก Euclid's Elements อาจเป็นของ Pythagoras และ Euclid บันทึกไว้เท่านั้น

เป็นที่ทราบกันดีในปัจจุบันว่าปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากพบได้ในแหล่งที่มาของอียิปต์ตั้งแต่สมัยฟาโรห์อาเมเนมฮัตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนตั้งแต่รัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี ในตำราอินเดียโบราณ "Sulva Sutra" และงานของจีนโบราณ " โจวปี้ ซวนจิน”

อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสครอบครองจิตใจของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ สิ่งนี้ได้รับการยืนยันด้วยหลักฐานต่าง ๆ ประมาณ 367 ชิ้นที่มีอยู่ในปัจจุบัน ในข้อนี้ไม่มีทฤษฎีบทอื่นใดสามารถแข่งขันกับทฤษฎีบทนี้ได้ ในบรรดานักเขียนบทพิสูจน์ที่มีชื่อเสียง เราสามารถระลึกถึง Leonardo da Vinci และ James Garfield ประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกาได้ ทั้งหมดนี้พูดถึงความสำคัญอย่างยิ่งยวดของทฤษฎีบทนี้สำหรับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่ได้มาจากทฤษฎีบทนี้หรือมีความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทนี้ในทางใดทางหนึ่ง

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่จะให้ข้อพิสูจน์เกี่ยวกับพีชคณิต แต่แก่นแท้ของทฤษฎีบทนั้นอยู่ที่เรขาคณิต ดังนั้นก่อนอื่นเรามาพิจารณาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้ก่อน

หลักฐานที่ 1

เพื่อการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ง่ายที่สุดสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องกำหนดเงื่อนไขในอุดมคติ: ปล่อยให้รูปสามเหลี่ยมไม่เพียงแต่เป็นมุมฉากเท่านั้น แต่ยังมีหน้าจั่วด้วย มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าสามเหลี่ยมชนิดนี้เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์โบราณพิจารณาในตอนแรก

คำแถลง “สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน”สามารถแสดงด้วยภาพวาดต่อไปนี้:

ดูสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC: บนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม 4 รูปซึ่งเท่ากับ ABC ดั้งเดิม และด้าน AB และ BC ก็มีการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมา แต่ละอันมีสามเหลี่ยมสองอันที่คล้ายกัน

อย่างไรก็ตาม ภาพวาดนี้เป็นพื้นฐานของเรื่องตลกและการ์ตูนมากมายที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่มีชื่อเสียงที่สุดน่าจะเป็น “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง”:

หลักฐานที่ 2

วิธีการนี้เป็นการผสมผสานพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน และถือได้ว่าเป็นอีกวิธีหนึ่งของการพิสูจน์ Bhaskari นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณ

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง ก ข และค(รูปที่ 1) จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันโดยให้ด้านเท่ากับผลรวมของความยาวของขาทั้งสองข้าง - (ก+ข)- ในแต่ละช่อง ให้ก่อสร้างดังรูปที่ 2 และ 3

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ให้สร้างสามเหลี่ยมสี่อันเหมือนกับในรูปที่ 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือสี่เหลี่ยมสองอัน: อันหนึ่งมีด้าน a, อันที่สองมีด้าน ข.

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอง รูปสามเหลี่ยมสี่รูปที่สร้างขึ้นคล้ายกันจะประกอบกันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เราสร้างด้วยด้าน c ในรูปที่ 3 สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ด้วยการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมในรูป 2 ตามสูตร และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ในรูปที่ 3 โดยการลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่มีขนาดเท่ากันที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้าน (ก+ข).

การเขียนทั้งหมดนี้เรามี: ก 2 +ข 2 =(ก+ข) 2 – 2ab- เปิดวงเล็บ คำนวณพีชคณิตที่จำเป็นทั้งหมด แล้วรับสิ่งนั้น ก 2 +ข 2 = ก 2 +ข 2- ในกรณีนี้ พื้นที่ที่ถูกจารึกไว้ในรูปที่ 3 สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดั้งเดิม ส=ค 2- เหล่านั้น. ก 2 +ข 2 =ค 2– คุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว

หลักฐานที่ 3

การพิสูจน์ของอินเดียโบราณนั้นอธิบายไว้ในศตวรรษที่ 12 ในบทความเรื่อง "มงกุฎแห่งความรู้" (“สิทธันตะ ชิโรมานี”) และเป็นข้อโต้แย้งหลักที่ผู้เขียนใช้คำอุทธรณ์ที่ส่งถึงความสามารถทางคณิตศาสตร์และทักษะการสังเกตของนักเรียนและผู้ติดตาม: “ ดู!"

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียด:

ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันตามที่ระบุในภาพวาด ให้เราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่หรือที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ- เรียกขาของสามเหลี่ยมกันดีกว่า กและ ข- ตามรูปวาด ด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านในคือ (ก-ข).

ใช้สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ส=ค 2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอก และในเวลาเดียวกันก็คำนวณค่าเดียวกันโดยบวกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านในและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสี่รูป: (ก-ข) 2 2+4*1\2*ก*ข.

คุณสามารถใช้ทั้งสองตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์เหมือนกัน และนี่ให้สิทธิ์คุณเขียนลงไป ค 2 =(ก-ข) 2 +4*1\2*ก*ข- จากผลของการแก้ปัญหา คุณจะได้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค 2 =ก 2 +ข 2- ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐาน 4

หลักฐานจีนโบราณที่น่าสงสัยนี้ถูกเรียกว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว" - เนื่องจากรูปร่างที่เหมือนเก้าอี้ซึ่งเป็นผลมาจากการก่อสร้างทั้งหมด:

โดยจะใช้ภาพวาดที่เราได้เห็นแล้วในรูปที่ 3 ในการพิสูจน์ครั้งที่สอง และจัตุรัสด้านในที่มีด้าน c ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับหลักฐานอินเดียโบราณที่ให้ไว้ข้างต้น

หากคุณตัดสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวสองอันออกจากภาพวาดในรูปที่ 1 ให้ย้ายไปที่ ฝั่งตรงข้ามติดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c และด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมไลแลค คุณจะได้ร่างที่เรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" (รูปที่ 2) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถทำแบบเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมได้ คุณจะต้องแน่ใจว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" นั้นประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอัน: อันเล็กที่มีด้านข้าง ขและใหญ่มีด้านข้าง ก.

โครงสร้างเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวจีนโบราณและพวกเราติดตามพวกเขาได้ข้อสรุปว่า ค 2 =ก 2 +ข 2.

หลักฐานที่ 5

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาคำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้เรขาคณิต เรียกว่าวิธีการ์ฟิลด์

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี- เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + เอบี 2.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ทำขาต่อ เครื่องปรับอากาศและสร้างส่วน ซีดีซึ่งเท่ากับขา เอบี- ลดแนวตั้งฉากลง ค.ศส่วน ส.อ- เซ็กเมนต์ ส.อและ เครื่องปรับอากาศมีความเท่าเทียมกัน เชื่อมต่อจุดต่างๆ อีและ ในและยัง อีและ กับและรับภาพวาดตามภาพด้านล่าง:

เพื่อพิสูจน์หอคอยเราใช้วิธีที่เราได้ลองไปแล้วอีกครั้ง: เราค้นหาพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ในสองวิธีและแบ่งนิพจน์ให้กันและกัน

ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม อาเบดสามารถทำได้โดยการบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสามที่ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมนั้น และหนึ่งในนั้น อีอาร์ยู, ไม่ใช่แค่สี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีหน้าจั่วอีกด้วย อย่าลืมสิ่งนั้นด้วย เอบี=ซีดี, เอซี=อีดีและ พ.ศ.=SE– สิ่งนี้จะช่วยให้เราบันทึกได้ง่ายขึ้นและไม่โอเวอร์โหลด ดังนั้น, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

ขณะเดียวกันก็เป็นที่ชัดเจนว่า อาเบด- นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร: ส เอเบด =(DE+AB)*1/2AD- สำหรับการคำนวณของเรา การแสดงกลุ่มจะสะดวกและชัดเจนยิ่งขึ้น ค.ศเป็นผลรวมของส่วนต่างๆ เครื่องปรับอากาศและ ซีดี.

มาเขียนทั้งสองวิธีในการคำนวณพื้นที่ของร่างโดยใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างพวกเขา: AB*เอซี+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(เอซี+ซีดี)- เราใช้ความเท่าเทียมกันของเซ็กเมนต์ที่เราทราบอยู่แล้วและอธิบายไว้ข้างต้น เพื่อลดความซับซ้อนของด้านขวาของสัญกรณ์: AB*เอซี+1/2บีซี 2 =1/2(เอบี+เอซี) 2- ตอนนี้เรามาเปิดวงเล็บและแปลงความเท่าเทียมกัน: AB*เอซี+1/2บีซี 2 =1/2เอซี 2 +2*1/2(เอบี*เอซี)+1/2เอบี 2- เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเสร็จแล้ว เราก็ได้สิ่งที่เราต้องการ: ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + เอบี 2- เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังห่างไกลจากความสมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์ สเตอริโอเมทรี ฯลฯ และแม้แต่นักฟิสิกส์: ตัวอย่างเช่นหากของเหลวถูกเทลงในปริมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมคล้ายกับที่แสดงในภาพวาด ด้วยการเทของเหลว คุณสามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของพื้นที่และทฤษฎีบทได้

คำไม่กี่คำเกี่ยวกับแฝดพีทาโกรัส

ประเด็นนี้มีน้อยหรือไม่มีการศึกษาเลยในหลักสูตรของโรงเรียน ในขณะเดียวกันเขาก็น่าสนใจมากและมี คุ้มค่ามากในเรขาคณิต ค่าสามเท่าของพีทาโกรัสใช้เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง การทำความเข้าใจสิ่งเหล่านี้อาจเป็นประโยชน์กับคุณในการศึกษาต่อ

แล้วแฝดพีทาโกรัสคืออะไร? นี่คือชื่อของจำนวนธรรมชาติที่รวบรวมไว้เป็นกลุ่มสามกลุ่ม ผลรวมของกำลังสองของจำนวนนั้นเท่ากับจำนวนตัวที่สามยกกำลังสอง

ทริปเปิลพีทาโกรัสสามารถเป็น:

• ดั้งเดิม (ทั้งสามตัวเลขค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ);
• ไม่ใช่แบบดั้งเดิม (ถ้าแต่ละหมายเลขของ Triple คูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้ Triple ใหม่ซึ่งไม่ใช่แบบดั้งเดิม)

แม้กระทั่งก่อนยุคของเรา ชาวอียิปต์โบราณหลงใหลในความคลุ้มคลั่งในเรื่องจำนวนแฝดพีทาโกรัส: ในปัญหาพวกเขาถือว่าสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5 หน่วย อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านเท่ากับตัวเลขจากสามเหลี่ยมพีทาโกรัสจะเป็นสี่เหลี่ยมตามค่าเริ่มต้น

ตัวอย่างของแฝดพีทาโกรัส: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50) ฯลฯ

การประยุกต์ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง ดาราศาสตร์ และแม้แต่วรรณคดีด้วย

ประการแรก เกี่ยวกับการก่อสร้าง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนต่างๆ ตัวอย่างเช่น ดูที่หน้าต่างแบบโรมาเนสก์:

ให้เราแสดงความกว้างของหน้าต่างเป็น ขจากนั้นรัศมีของครึ่งวงกลมหลักสามารถเขียนแทนได้ว่าเป็น รและแสดงออกผ่าน ข: R=ข/2- รัศมีของครึ่งวงกลมเล็กๆ ก็สามารถแสดงผ่านได้เช่นกัน ข: r=b/4- ในปัญหานี้ เราสนใจรัศมีของวงกลมด้านในของหน้าต่าง (เรียกอีกอย่างว่า พี).

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์ในการคำนวณเท่านั้น ร- ในการทำเช่นนี้ เราใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งระบุด้วยเส้นประในรูป ด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยสองรัศมี: ข/4+พี- ขาข้างหนึ่งแสดงถึงรัศมี ข/4, อื่น b/2-p- เราเขียนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2- ต่อไปเราจะเปิดวงเล็บแล้วรับ ข 2 /16+ บีพี/2+พี 2 =ข 2 /16+ข 2 /4-bp+p 2- ลองแปลงนิพจน์นี้เป็น บีพี/2=บี 2 /4-bp- แล้วเราก็หารพจน์ทั้งหมดด้วย ขเรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันเพื่อรับ 3/2*พี=ข/4- และในที่สุดเราก็พบว่า พี=ข/6- ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

เมื่อใช้ทฤษฎีบท คุณสามารถคำนวณความยาวของจันทันได้ หลังคาหน้าจั่ว- พิจารณาว่าต้องใช้เสาสัญญาณโทรศัพท์มือถือสูงแค่ไหนเพื่อให้สัญญาณไปถึงระดับหนึ่ง การตั้งถิ่นฐาน- และแม้กระทั่งติดตั้งต้นคริสต์มาสอย่างยั่งยืนในจัตุรัสกลางเมือง อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่อยู่บนหน้าหนังสือเรียนเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในชีวิตจริงอีกด้วย

ในวรรณคดี ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักเขียนมาตั้งแต่สมัยโบราณและยังคงเป็นเช่นนั้นในยุคของเรา ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 ได้รับแรงบันดาลใจให้เขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่ดับไปในเร็ววัน
แต่เมื่อส่องแสงแล้ว ก็ไม่น่าจะสลายไป
และเช่นเดียวกับเมื่อหลายพันปีก่อน
จะไม่ทำให้เกิดข้อสงสัยหรือข้อโต้แย้ง

ฉลาดที่สุดเมื่อสัมผัสดวงตาของคุณ
แสงแห่งความจริง ขอบคุณพระเจ้า
และวัวร้อยตัวถูกฆ่าโกหก -
ของขวัญตอบแทนจากพีทาโกรัสผู้โชคดี

ตั้งแต่นั้นมาวัวก็คำรามอย่างสิ้นหวัง:
ทำให้ชนเผ่าวัวตื่นตระหนกตลอดไป
เหตุการณ์ที่กล่าวถึงที่นี่

ดูเหมือนว่าเวลานั้นกำลังจะมาถึงแล้ว
และพวกเขาจะเสียสละอีกครั้ง
ทฤษฎีบทที่ดีบางอย่าง

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 Evgeniy Veltistov นักเขียนชาวโซเวียตได้อุทิศทั้งบทในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหนังสือของเขาเรื่อง The Adventures of Electronics และอีกครึ่งบทเป็นเรื่องราวเกี่ยวกับโลกสองมิติที่อาจดำรงอยู่ได้หากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและแม้แต่ศาสนาสำหรับโลกใบเดียว การใช้ชีวิตที่นั่นจะง่ายกว่ามาก แต่ก็น่าเบื่อกว่ามากด้วย เช่น ไม่มีใครเข้าใจความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ผู้เขียนผ่านปากของครูคณิตศาสตร์ Taratar กล่าวว่า "สิ่งสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์คือการเคลื่อนไหวของความคิด แนวคิดใหม่ ๆ" มันเป็นการหลีกหนีจากความคิดที่สร้างสรรค์อย่างแม่นยำซึ่งก่อให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีข้อพิสูจน์ที่หลากหลายมากมาย ช่วยให้คุณก้าวข้ามขอบเขตของสิ่งที่คุ้นเคยและมองสิ่งที่คุ้นเคยในรูปแบบใหม่

บทสรุป

บทความนี้ออกแบบมาเพื่อช่วยให้คุณมองข้ามไปได้ หลักสูตรของโรงเรียนในคณิตศาสตร์และเรียนรู้ไม่เพียง แต่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ให้ไว้ในหนังสือเรียน "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) และ "เรขาคณิต 7-11" (A.V. Pogorelov) แต่และวิธีการพิสูจน์ที่น่าสนใจอื่น ๆ ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และยังดูตัวอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างไร

ประการแรก ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณมีสิทธิ์ได้รับข้อมูลเพิ่มเติม คะแนนสูงในบทเรียนคณิตศาสตร์ ข้อมูลเกี่ยวกับเรื่องนี้จากแหล่งข้อมูลเพิ่มเติมมักจะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

ประการที่สอง เราต้องการช่วยให้คุณรู้สึกว่าคณิตศาสตร์น่าสนใจเพียงใด ตรวจสอบให้แน่ใจ ตัวอย่างเฉพาะว่ามีสถานที่สำหรับความคิดสร้างสรรค์อยู่เสมอ เราหวังว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้คุณสำรวจและค้นพบสิ่งที่น่าตื่นเต้นในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ อย่างอิสระ

บอกเราในความคิดเห็นหากคุณพบหลักฐานที่นำเสนอในบทความที่น่าสนใจ คุณพบว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์ในการศึกษาของคุณหรือไม่? เขียนถึงเราว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ - เรายินดีที่จะหารือทั้งหมดนี้กับคุณ

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

กางเกง - รับรหัสส่งเสริมการขาย Ridestep ที่ถูกต้องบน Akademika หรือซื้อกางเกงพร้อมส่วนลดจากการขายที่ Ridestep

จาร์ก. โรงเรียน ล้อเล่น. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก รถไฟฟ้า 835… พจนานุกรมขนาดใหญ่คำพูดของรัสเซีย

กางเกงพีทาโกรัส- ชื่อการ์ตูนสำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากการที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและแยกไปในทิศทางที่ต่างกันคล้ายกับการตัดกางเกง ฉันชอบเรขาคณิต... และในการสอบเข้ามหาวิทยาลัย ฉันยังได้รับ... พจนานุกรมวลีของภาษาวรรณกรรมรัสเซีย

กางเกงพีทาโกรัส- ชื่อตลกๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งในภาพดูเหมือนการตัดกางเกง... พจนานุกรมสำนวนมากมาย

พระภิกษุ : เกี่ยวกับชายผู้มีพรสวรรค์ พ. ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่คือปราชญ์ ในสมัยโบราณเขาคงจะประดิษฐ์กางเกงพีทาโกรัสขึ้นมา... ซอลตีคอฟ ตัวอักษรที่แตกต่างกัน กางเกงพีทาโกรัส (geom.): ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของขา (สอน ... ... พจนานุกรมอธิบายและวลีขนาดใหญ่ของ Michelson

กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน- ทราบจำนวนปุ่มแล้ว ทำไมจู๋ถึงแน่นล่ะ? (หยาบคาย) เรื่องกางเกงกับอวัยวะเพศชาย กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ จำเป็นต้องลบและแสดง 1) เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส; 2)เรื่องกางเกงขากว้าง... คำพูดสด พจนานุกรมสำนวนภาษาพูด

กางเกงพีทาโกรัส (ประดิษฐ์) พระภิกษุ เกี่ยวกับคนที่มีพรสวรรค์ พ. ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่คือปราชญ์ ในสมัยโบราณเขาคงจะประดิษฐ์กางเกงพีทาโกรัสขึ้นมา... ซอลตีคอฟ ตัวอักษรหลากสี กางเกงพีทาโกรัส (geom.): ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส... ... พจนานุกรมอธิบายและวลีขนาดใหญ่ของ Michelson (การสะกดต้นฉบับ)

กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง- การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างตลกขบขัน แถมยังเป็นเรื่องตลกเรื่องกางเกงขาบานของเพื่อนอีกด้วย... พจนานุกรมวลีพื้นบ้าน

ว.,หยาบคาย...

กางเกงพีทาโกรัสมีค่าเท่ากันทุกด้าน (รู้จำนวนปุ่มแล้วเหตุใดจึงรัดแน่น / เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ คุณต้องถอดมันออกแล้วแสดง)- คำวิเศษณ์ หยาบคาย... พจนานุกรมทันสมัย หน่วยวลีภาษาพูดและสุภาษิต

คำนามพหูพจน์ใช้ เปรียบเทียบ มักจะ สัณฐานวิทยา: pl. อะไร กางเกง (ไม่) อะไร? กางเกงอะไร? กางเกง (ดู) อะไร? กางเกงอะไร? กางเกง แล้วไง? เกี่ยวกับกางเกง 1. กางเกง คือ เสื้อผ้าที่มีขาสั้นหรือขายาว 2 ขา และคลุมส่วนล่าง... ... พจนานุกรมอธิบายของ Dmitriev

หนังสือ

• กางเกงพีทาโกรัส ในหนังสือเล่มนี้คุณจะได้พบกับแฟนตาซีและการผจญภัย ปาฏิหาริย์และนิยาย ตลกและเศร้า ธรรมดาและลึกลับ... คุณต้องการอะไรอีกเพื่อการอ่านเพื่อความบันเทิง? สิ่งสำคัญคือมี...
• ปาฏิหาริย์บนล้อ Markusha Anatoly ล้อนับล้านหมุนไปทั่วโลก - รถหมุนไป, วัดเวลาในนาฬิกา, แตะใต้รถไฟ, ทำงานนับไม่ถ้วนในเครื่องจักรและกลไกต่างๆ พวกเขา…

การสนทนาบางเรื่องทำให้ฉันขบขันอย่างมาก...

สวัสดี คุณกำลังทำอะไรอยู่?
-ใช่ ฉันกำลังแก้ปัญหาจากนิตยสาร
- เอาล่ะคุณให้ฉัน! ฉันไม่ได้คาดหวังจากคุณ
- คุณไม่ได้คาดหวังอะไร?
-ว่าคุณจะก้มลงไขปริศนา คุณดูฉลาด แต่คุณเชื่อเรื่องไร้สาระทุกประเภท
-ขออภัย ฉันไม่เข้าใจ อะไรที่เรียกว่าไร้สาระ?
- ใช่ คณิตศาสตร์ทั้งหมดนี้เป็นของคุณ เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเรื่องไร้สาระโดยสิ้นเชิง
- พูดแบบนั้นได้ยังไง? คณิตศาสตร์คือราชินีแห่งวิทยาศาสตร์...
- แค่มาหลีกเลี่ยงสิ่งที่น่าสมเพชนี้กันเถอะใช่ไหม? คณิตศาสตร์ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่เป็นกฎและกฎเกณฑ์โง่ๆ กองหนึ่งที่ต่อเนื่องกัน
-อะไร?!
-โอ้ อย่าทำตาโตขนาดนั้น คุณก็รู้ว่าตัวเองพูดถูก ไม่ ฉันไม่เถียง ตารางสูตรคูณเป็นสิ่งที่ดี มันมีบทบาทสำคัญในการก่อตัวของวัฒนธรรมและประวัติศาสตร์ของมนุษย์ แต่ตอนนี้ทั้งหมดนี้ไม่เกี่ยวข้องอีกต่อไป! แล้วทำไมทุกอย่างถึงซับซ้อน? ไม่มีอินทิกรัลหรือลอการิทึมในธรรมชาติ สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นสิ่งประดิษฐ์ของนักคณิตศาสตร์
-รอ. นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ประดิษฐ์อะไรเลย พวกเขาค้นพบกฎใหม่ของการโต้ตอบของตัวเลข โดยใช้เครื่องมือที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว...
- ใช่แล้วแน่นอน! และคุณเชื่อสิ่งนี้หรือไม่? คุณไม่เห็นว่าพวกเขาพูดถึงเรื่องไร้สาระอะไรอยู่ตลอดเวลา? คุณช่วยยกตัวอย่างให้ฉันได้ไหม?
- ครับ กรุณามีน้ำใจด้วย
- ได้โปรด! ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- แล้วมันมีอะไรผิดปกติล่ะ?
-มันไม่ใช่แบบนั้น! “กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันทุกด้าน” คุณเข้าใจ คุณรู้ไหมว่าชาวกรีกในสมัยพีทาโกรัสไม่สวมกางเกง? พีทาโกรัสพูดเรื่องที่เขาไม่รู้ได้อย่างไร
-รอ. เกี่ยวอะไรกับกางเกง?
- ดูเหมือนพวกมันจะเป็นพีทาโกรัสเหรอ? หรือไม่? ยอมรับว่าพีทาโกรัสไม่มีกางเกง?
- จริงๆ แล้ว แน่นอนว่ามันไม่ใช่...
- อ๋อ นั่นหมายความว่ามีความคลาดเคลื่อนอย่างเห็นได้ชัดในชื่อของทฤษฎีบท! แล้วคุณจะจริงจังกับสิ่งที่พูดอยู่ที่นั่นได้อย่างไร?
- แค่นาทีเดียว พีทาโกรัสไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับกางเกง...
-คุณยอมรับแล้วใช่ไหม?
- ใช่... ฉันสามารถดำเนินการต่อได้หรือไม่? พีทาโกรัสไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับกางเกง และไม่จำเป็นต้องถือว่าเขาโง่เขลาของคนอื่น...
- ใช่แล้วคุณเองก็ยอมรับว่าทั้งหมดนี้เป็นเรื่องไร้สาระ!
- ฉันไม่ได้พูดอย่างนั้น!
- ฉันเพิ่งพูดอย่างนั้น คุณขัดแย้งกับตัวเอง
-ดังนั้น. หยุด. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสพูดว่าอะไร?
- กางเกงทุกตัวเท่ากัน
- ให้ตายเถอะ คุณได้อ่านทฤษฎีบทนี้ด้วยหรือเปล่า!
-ฉันรู้.
-ที่ไหน?
-ฉันอ่าน.
- คุณอ่านอะไร!
-โลบาเชฟสกี.
*หยุดชั่วคราว*
- ขออภัย Lobachevsky เกี่ยวอะไรกับพีทาโกรัส?
- โลบาเชฟสกีก็เป็นนักคณิตศาสตร์เหมือนกัน และดูเหมือนว่าเขาจะมีอำนาจมากกว่าพีธากอรัสด้วยซ้ำ คุณจะไม่พูดอย่างนั้นเหรอ?
*ถอนหายใจ*
- Lobachevsky พูดอะไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส?
-กางเกงก็เท่ากัน แต่นี่เป็นเรื่องไร้สาระ! คุณจะใส่กางเกงแบบนี้ได้ยังไง? นอกจากนี้พีทาโกรัสก็ไม่ใส่กางเกงเลย!
-โลบาเชฟสกีพูดอย่างนั้นเหรอ?!
*หยุดครั้งที่สองด้วยความมั่นใจ*
-ใช่!
- แสดงให้ฉันเห็นว่ามันเขียนอยู่ที่ไหน
- ไม่ คือ มันไม่ได้เขียนตรงนั้นโดยตรง...
- หนังสือชื่ออะไรคะ?
- ใช่ นี่ไม่ใช่หนังสือ แต่เป็นบทความในหนังสือพิมพ์ เกี่ยวกับความจริงที่ว่า Lobachevsky เป็นตัวแทนของหน่วยข่าวกรองเยอรมันจริงๆ... นั่นก็ไม่ใช่ประเด็น นั่นคือสิ่งที่เขาอาจจะพูดต่อไป เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ด้วย ซึ่งหมายความว่าเขาและพีธากอรัสอยู่พร้อมๆ กัน
-พีทาโกรัสไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับกางเกง
- ใช่แล้ว! นั่นคือสิ่งที่เรากำลังพูดถึง นี่เป็นเรื่องไร้สาระทั้งหมด
-ไปตามลำดับกัน โดยส่วนตัวแล้วคุณรู้ได้อย่างไรว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสพูดว่าอะไร?
-โอ้ มาเลย! ทุกคนรู้เรื่องนี้ ถามใครก็จะตอบคุณทันที
-กางเกงพีทาโกรัสไม่ใช่กางเกง...
-โอ้ แน่นอน! นี่คือชาดก! คุณรู้ไหมว่าฉันเคยได้ยินเรื่องนี้มากี่ครั้งแล้ว?
- ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก และนั่นคือทั้งหมด!
- กางเกงอยู่ไหน?
- ใช่ พีทาโกรัสไม่มีกางเกง!!!
- คุณก็เห็นนั่นคือสิ่งที่ฉันกำลังบอกคุณ คณิตศาสตร์ของคุณมันไร้สาระไปหมด
-แต่มันไม่ใช่เรื่องไร้สาระ! ดูด้วยตัวคุณเอง นี่คือรูปสามเหลี่ยม นี่คือด้านตรงข้ามมุมฉาก นี่ขา...
- ทำไมจู่ๆ พวกนี้ถึงเป็นขา และนี่คือด้านตรงข้ามมุมฉาก? บางทีมันอาจจะเป็นอย่างอื่น?
-เลขที่. ขาเป็นสองด้านที่ประกอบเป็นมุมฉาก
- นี่เป็นอีกมุมหนึ่งสำหรับคุณ
-เขาไม่ตรง.
- เขาเป็นยังไงบ้างคดเคี้ยว?
- ไม่ มันคม
- อันนี้ก็เผ็ดเหมือนกัน
-มันไม่คม มันตรง.
- รู้แล้วอย่าหลอกฉัน! คุณเพียงแค่เรียกสิ่งต่าง ๆ ตามที่คุณต้องการ เพียงเพื่อปรับผลลัพธ์ให้เข้ากับสิ่งที่คุณต้องการ
-ด้านสั้นสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากคือขา ด้านยาวคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
- และใครสั้นกว่า - ขานั้น? แล้วด้านตรงข้ามมุมฉากจึงไม่ม้วนอีกต่อไป? ฟังตัวเองจากภายนอก คุณกำลังพูดถึงเรื่องไร้สาระแบบไหน มันคือศตวรรษที่ 21 ซึ่งเป็นยุครุ่งเรืองของระบอบประชาธิปไตย แต่คุณอยู่ในยุคกลางบางประเภท เห็นไหมว่าด้านข้างของเขาไม่เท่ากัน...
-ไม่มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเท่ากัน...
- คุณแน่ใจเหรอ? ขอผมวาดมันให้คุณนะ นี่ดูสิ สี่เหลี่ยม? สี่เหลี่ยม และทุกฝ่ายก็เท่าเทียมกัน!
-คุณวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส
-แล้วไงล่ะ?
- สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่ใช่สามเหลี่ยม
-โอ้ แน่นอน! พอไม่เข้ากับเรา มันก็ “ไม่ใช่สามเหลี่ยม” ทันที! อย่าหลอกฉัน. นับด้วยตัวคุณเอง: มุมหนึ่ง สองมุม สามมุม
-สี่
-แล้วไงล่ะ?
-มันเป็นสี่เหลี่ยม.
- มันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่ใช่สามเหลี่ยมใช่ไหม? เขาแย่กว่าใช่ไหม? เพียงเพราะฉันวาดมันเหรอ? มีสามมุมมั้ย? มีและยังมีเหลืออีกอันหนึ่งด้วย ไม่มีอะไรผิดปกติที่นี่คุณรู้ไหม...
-เอาล่ะ เรามาออกจากหัวข้อนี้กันดีกว่า
-ใช่ คุณจะยอมแพ้แล้วเหรอ? มีอะไรจะค้านไหม? คุณยอมรับว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องไร้สาระ?
- ไม่ ฉันไม่ยอมรับมัน
- เอาล่ะ เอาล่ะ อีกครั้ง - เยี่ยมมาก! ฉันเพิ่งพิสูจน์ทุกอย่างให้คุณเห็นอย่างละเอียด! หากพื้นฐานของเรขาคณิตทั้งหมดของคุณคือการสอนเรื่องพีธากอรัส และฉันขอโทษด้วย มันไร้สาระโดยสิ้นเชิง... แล้วคุณจะพูดถึงอะไรเพิ่มเติมอีกล่ะ?
-คำสอนของพีทาโกรัสไม่ใช่เรื่องไร้สาระ...
- แน่นอน! ฉันไม่เคยได้ยินเรื่องโรงเรียนพีทาโกรัสมาก่อน! ถ้าคุณอยากรู้ พวกเขาก็หมกมุ่นอยู่กับเซ็กส์หมู่!
-เกี่ยวอะไรกับ...
- และพีทาโกรัสก็เป็นคนเจ้าเล่ห์จริงๆ! ตัวเขาเองบอกว่าเพลโตเป็นเพื่อนของเขา
-พีทาโกรัส?!
- คุณไม่รู้เหรอ? ใช่ พวกเขาทั้งหมดเป็นพวก faggot และถูกเตะหัว คนหนึ่งนอนในถัง อีกคนวิ่งไปรอบเมืองโดยเปลือยเปล่า...
-ไดโอจีเนสนอนในถัง แต่เขาเป็นนักปรัชญา ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์...
-โอ้ แน่นอน! หากมีใครปีนเข้าไปในถังแสดงว่าพวกเขาไม่ใช่นักคณิตศาสตร์อีกต่อไป! ทำไมเราต้องอับอายเป็นพิเศษ? เรารู้ เรารู้ เราผ่านไปแล้ว แต่คุณอธิบายให้ฉันฟังหน่อยสิว่าทำไมพวกไอ้เวรที่มีชีวิตอยู่เมื่อสามพันปีก่อนและวิ่งไปรอบ ๆ โดยไม่สวมกางเกงจึงควรเป็นผู้มีอำนาจสำหรับฉัน เหตุใดฉันจึงควรยอมรับมุมมองของพวกเขาบนโลกนี้?
- เอาล่ะ ปล่อยมันไป...
- ไม่ฟัง! ในที่สุดฉันก็ฟังคุณเช่นกัน นี่คือการคำนวณของคุณ การคำนวณ... พวกคุณทุกคนรู้วิธีนับ! และถ้าฉันถามคุณบางอย่างโดยพื้นฐานแล้ว: "นี่คือผลหาร นี่คือตัวแปร และนี่คือสิ่งที่ไม่รู้สองตัว" และคุณบอกฉันโดยทั่วไปโดยไม่เจาะจง! และไม่มีตัวตนที่ไม่รู้จัก ไม่รู้จัก... นี่ทำให้ฉันรู้สึกแย่นะรู้ไหม?
-เข้าใจ.
- อธิบายให้ฉันฟังว่าทำไมสองและสองถึงสี่เสมอ? ใครเป็นคนคิดเรื่องนี้ขึ้นมา? และเหตุใดฉันจึงต้องรับไว้และไม่มีสิทธิ์สงสัย?
-ใช่ สงสัยมันมากเท่าที่คุณต้องการ...
- ไม่ คุณอธิบายให้ฉันฟัง! ปราศจากสิ่งเล็กๆ น้อยๆ เหล่านี้ของคุณ แต่โดยปกติแล้วจะเป็นในลักษณะของมนุษย์จึงจะชัดเจน
- สองครั้งสองเท่ากับสี่ เพราะสองครั้งเท่ากับสี่
-น้ำมัน. มีอะไรใหม่บอกฉัน?
- สองครั้งคือสองคูณสอง เอาสองกับสองมารวมกัน...
- ดังนั้นบวกหรือคูณ?
-ก็เรื่องเดียวกัน...
-ทั้งสอง-ออน! ปรากฎว่าถ้าฉันบวกและคูณเจ็ดกับแปด มันก็จะออกมาเหมือนเดิมใช่ไหม?
-เลขที่.
-ทำไม?
-เพราะเจ็ดบวกแปดไม่เท่ากับ...
-และถ้าฉันคูณเก้าด้วยสอง ฉันจะได้สี่ไหม?
-เลขที่.
-ทำไม? ฉันคูณสองแล้วได้ผล แต่จู่ๆ เก้าก็แย่เหรอ?
-ใช่. เก้าสองครั้งคือสิบแปด
- แล้วเจ็ดสองครั้งล่ะ?
-สิบสี่.
- และสองครั้งคือห้าเหรอ?
-สิบ.
-นั่นคือสี่ปรากฎในกรณีใดกรณีหนึ่งเท่านั้น?
- ถูกต้อง.
- ตอนนี้คิดด้วยตัวเอง คุณบอกว่ามีกฎและกฎการคูณที่เข้มงวดอยู่บ้าง เราจะพูดถึงกฎหมายประเภทไหนได้บ้างหากได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันในแต่ละกรณี!
- นั่นไม่เป็นความจริงทั้งหมด บางครั้งผลลัพธ์อาจจะเหมือนกัน เช่น สองครั้งหกเท่ากับสิบสอง และสี่คูณสามด้วย...
- แย่กว่านั้นอีก! สอง หก สาม สี่ ไม่มีอะไรเหมือนกันเลย! คุณสามารถเห็นได้ด้วยตัวเองว่าผลลัพธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้น แต่อย่างใด การตัดสินใจแบบเดียวกันเกิดขึ้นในสองอย่างรุนแรง สถานการณ์ที่แตกต่างกัน- และแม้ว่าทั้งสองอันเดียวกันซึ่งเราใช้ตลอดเวลาและไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย มักจะให้คำตอบที่แตกต่างกันกับตัวเลขทั้งหมดเสมอ สิ่งมหัศจรรย์อย่างหนึ่งคือตรรกะอยู่ที่ไหน?
-แต่นี่เป็นเพียงตรรกะ!
-สำหรับคุณ-บางที พวกนักคณิตศาสตร์มักเชื่อเรื่องไร้สาระทุกประเภทเสมอ แต่การคำนวณของคุณเหล่านี้ไม่ได้ทำให้ฉันเชื่อ และคุณรู้ไหมว่าทำไม?
-ทำไม?
-เพราะฉัน ฉันรู้เหตุใดคณิตศาสตร์ของคุณจึงจำเป็นจริงๆ มันทั้งหมดเดือดลงไปเพื่ออะไร? “ Katya มีแอปเปิ้ลหนึ่งลูกอยู่ในกระเป๋าของเธอ และ Misha มีแอปเปิ้ลห้าลูก Misha ควรให้ Katya กี่ลูกเพื่อที่จะได้มีแอปเปิ้ลเท่ากัน” และคุณรู้ไหมว่าฉันจะบอกคุณอย่างไร? มิชา ไม่เป็นหนี้ใครเลยให้! คัทย่ามีแอปเปิ้ลหนึ่งลูกก็เพียงพอแล้ว เธอไม่พอเหรอ? ปล่อยให้เธอทำงานหนักและหาเงินมาเพื่อตัวเองอย่างซื่อสัตย์ แม้แต่แอปเปิ้ล แม้แต่ลูกแพร์ แม้แต่สับปะรดในแชมเปญ และถ้าใครไม่อยากทำงาน แต่เพียงเพื่อแก้ปัญหาก็ให้เขานั่งกับแอปเปิ้ลลูกเดียวแล้วไม่อวด!

» โดยศาสตราจารย์เกียรติคุณสาขาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Warwick ผู้มีชื่อเสียงด้านวิทยาศาสตร์ Ian Stewart ซึ่งอุทิศให้กับบทบาทของตัวเลขในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติและความเกี่ยวข้องของการศึกษาในยุคของเรา

ด้านตรงข้ามมุมฉากของพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสมีมุมฉากและด้านจำนวนเต็ม ที่ง่ายที่สุดมีด้านที่ยาวที่สุด 5 ส่วนที่เหลือ - 3 และ 4 มีทั้งหมด 5 รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ สมการระดับที่ 5 ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้รากที่ 5 หรือรากอื่นใด โครงตาข่ายบนระนาบและในพื้นที่สามมิติไม่มีสมมาตรในการหมุนแบบห้าแฉก ดังนั้นจึงไม่มีความสมมาตรดังกล่าวในผลึก อย่างไรก็ตาม พวกมันสามารถพบได้ในโครงตาข่ายในสี่มิติและในโครงสร้างที่น่าสนใจที่เรียกว่าควอซิคริสตัล

ด้านตรงข้ามมุมฉากของค่าสามเท่าของพีทาโกรัสที่เล็กที่สุด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉากฉาวโฉ่) สัมพันธ์กับอีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้ด้วยวิธีที่เรียบง่ายและสวยงามมาก นั่นก็คือ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมจัตุรัสของอีกสองด้าน

ตามเนื้อผ้าเราเรียกทฤษฎีบทนี้ว่าพีทาโกรัส แต่จริงๆ แล้วประวัติของมันค่อนข้างคลุมเครือ แผ่นจารึกดินเหนียวแนะนำว่าชาวบาบิโลนโบราณรู้จักทฤษฎีบทของพีทาโกรัสมานานก่อนพีทาโกรัสเสียอีก ชื่อเสียงของผู้ค้นพบถูกนำมาหาเขาโดยลัทธิทางคณิตศาสตร์ของชาวพีทาโกรัสซึ่งผู้สนับสนุนเชื่อว่าจักรวาลนั้นมีพื้นฐานมาจากกฎตัวเลข ผู้เขียนสมัยโบราณกล่าวถึงทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายว่าเป็นของพีทาโกรัส - และดังนั้นจึงเป็นของพีทาโกรัส แต่ในความเป็นจริงเราไม่รู้ว่าพีทาโกรัสทางคณิตศาสตร์ประเภทใดเกี่ยวข้องกับอะไร เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าชาวพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้หรือไม่ หรือแค่เชื่อว่าทฤษฎีนั้นเป็นจริง หรือเป็นไปได้มากว่าพวกเขามีหลักฐานที่น่าเชื่อถือเกี่ยวกับความจริงซึ่งยังคงไม่เพียงพอสำหรับสิ่งที่เราพิจารณาเป็นหลักฐานในปัจจุบัน

ข้อพิสูจน์ของพีทาโกรัส

หลักฐานแรกที่ทราบเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบได้ในองค์ประกอบของยุคลิด นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อน โดยใช้ภาพวาดที่เด็กนักเรียนชาววิกตอเรียจะจำได้ทันทีว่าเป็น "กางเกงพีทาโกรัส" ภาพวาดนี้ดูคล้ายกับกางเกงในที่แห้งเป็นเส้นจริงๆ มีหลักฐานอื่นๆ อีกหลายร้อยข้อ ซึ่งส่วนใหญ่ทำให้ข้อยืนยันชัดเจนยิ่งขึ้น

// ข้าว. 33. กางเกงพีทาโกรัส

การพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือปริศนาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง นำสามเหลี่ยมมุมฉากมาทำสำเนาสี่ชุดแล้วประกอบเข้าในจัตุรัส ในการจัดเรียงครั้งหนึ่ง เราเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก กับอีกอัน - สี่เหลี่ยมที่อีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ในทั้งสองกรณีเท่ากัน

// ข้าว. 34. ซ้าย: ยกกำลังสองบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (บวกสามเหลี่ยมสี่อัน) ขวา: ผลรวมของกำลังสองบนอีกสองด้าน (บวกสามเหลี่ยมสี่อันที่เหมือนกัน) ตอนนี้กำจัดสามเหลี่ยมออก

การผ่าของ Perigal เป็นอีกหนึ่งข้อพิสูจน์ปริศนา

// ข้าว. 35. การผ่าของ Perigal

นอกจากนี้ยังมีข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้การจัดเรียงสี่เหลี่ยมบนระนาบอีกด้วย บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่ชาวพีทาโกรัสหรือบรรพบุรุษที่ไม่รู้จักค้นพบทฤษฎีบทนี้ ถ้าคุณดูว่าสี่เหลี่ยมเอียงซ้อนทับกับสี่เหลี่ยมอีกสองอันอย่างไร คุณสามารถดูวิธีตัดสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่เป็นชิ้นๆ แล้วนำมาต่อกันเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ สองอัน คุณยังสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งด้านข้างบอกขนาดของสี่เหลี่ยมทั้งสามที่เกี่ยวข้อง

// ข้าว. 36. พิสูจน์ด้วยการปู

มีข้อพิสูจน์ที่น่าสนใจโดยใช้สามเหลี่ยมที่คล้ายกันในตรีโกณมิติ รู้จักตั้งแต่ อย่างน้อยหลักฐานที่แตกต่างกันห้าสิบชิ้น

พีทาโกรัสสามเท่า

ในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นที่มาของแนวคิดที่ได้ผล นั่นคือ การค้นหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการพีชคณิต ทริปเปิลพีทาโกรัสคือเซตของจำนวนเต็ม a, b และ c ในลักษณะนั้น

ในเชิงเรขาคณิต ทริปเปิลดังกล่าวกำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านจำนวนเต็ม

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็กที่สุดของค่าสามเท่าของพีทาโกรัสคือ 5

อีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้คือ 3 และ 4 ตรงนี้

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดถัดไปคือ 10 เพราะว่า

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

อย่างไรก็ตาม นี่คือสามเหลี่ยมอันเดียวกันที่มีด้านสองด้าน ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดและแตกต่างอย่างแท้จริงรองลงมาคือ 13 ซึ่งในกรณีนี้

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

ยุคลิดรู้ว่าแฝดพีทาโกรัสมีรูปแบบต่างๆ มากมายนับไม่ถ้วน และเขาได้ให้สิ่งที่เรียกว่าสูตรในการค้นหาพวกมันทั้งหมด ต่อมา ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียเสนอสูตรอาหารง่ายๆ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับสูตรในยุคลิด

นำจำนวนธรรมชาติสองตัวมาคำนวณ:

ผลิตภัณฑ์คู่ของพวกเขา

ความแตกต่างของกำลังสอง

ผลรวมของกำลังสองของพวกเขา

ตัวเลขผลลัพธ์ทั้งสามตัวจะเป็นด้านข้างของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ยกตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2 และ 1 มาคำนวณกัน:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 2 × 1 = 4;

ผลต่างของกำลังสอง: 22 - 12 = 3;

ผลรวมของกำลังสอง: 22 + 12 = 5,

และเราได้สามเหลี่ยม 3-4-5 อันโด่งดัง หากเราใช้ตัวเลข 3 และ 2 แทน เราจะได้:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 3 × 2 = 12;

ผลต่างของกำลังสอง: 32 - 22 = 5;

ผลรวมของกำลังสอง: 32 + 22 = 13,

และเราจะได้สามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงที่สุดถัดไป 5 - 12 - 13 ลองใช้ตัวเลข 42 และ 23 และรับ:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 42 × 23 = 1932;

ผลต่างของกำลังสอง: 422 - 232 = 1235;

ผลรวมของกำลังสอง: 422 + 232 = 2293

ไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยม 1235–1932–2293 มาก่อน

แต่ตัวเลขเหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

มีคุณลักษณะอื่นของกฎไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการบอกเป็นนัยแล้ว: เมื่อได้รับตัวเลขสามตัวแล้ว เราสามารถนำตัวเลขอื่นมาคูณกันเองได้ ดังนั้น สามเหลี่ยมขนาด 3–4–5 สามารถแปลงเป็นสามเหลี่ยมขนาด 6–8–10 ได้โดยการคูณทุกด้านด้วย 2 หรือให้เป็นสามเหลี่ยมขนาด 15–20–25 โดยคูณทั้งหมดด้วย 5

หากเราเปลี่ยนมาเป็นภาษาพีชคณิต กฎจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ ให้ u, v และ k เป็นตัวเลขธรรมชาติ จากนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง

2kuv และ k (u2 - v2) มีด้านตรงข้ามมุมฉาก

มีวิธีอื่นในการนำเสนอแนวคิดหลัก แต่ทั้งหมดก็เหลือเพียงแนวคิดที่อธิบายไว้ข้างต้น วิธีนี้ช่วยให้คุณได้รับเลขสามเท่าของพีทาโกรัสทั้งหมด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบพอดี รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยม) คือรูปทรงสามมิติที่มีหน้าแบนจำนวนจำกัด ใบหน้าพบกันบนเส้นที่เรียกว่าขอบ ขอบมาบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าจุดยอด

จุดสุดยอดของปรินซิเปียของยุคลิดเป็นข้อพิสูจน์ว่าสามารถมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้เพียงห้ารูปทรงเท่านั้น กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่แต่ละหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากัน มุมเท่ากัน) ใบหน้าทุกด้านจะเหมือนกัน และจุดยอดทั้งหมดล้อมรอบด้วยค่าเท่ากัน จำนวนหน้าที่มีระยะห่างเท่ากัน นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ:

จัตุรมุขที่มีหน้าสามเหลี่ยมสี่หน้า จุดยอดสี่จุดและขอบหกด้าน

ลูกบาศก์หรือหกเหลี่ยม มีหน้าสี่เหลี่ยม 6 หน้า จุดยอด 8 จุด และขอบ 12 ด้าน

แปดหน้าที่มีหน้าสามเหลี่ยม 8 หน้า 6 จุดยอดและ 12 ขอบ

สิบสองหน้าที่มีหน้าห้าเหลี่ยม 12 หน้า จุดยอด 20 จุด และขอบ 30 ด้าน

รูปทรงสามมิติที่มีหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้า จุดยอด 12 จุด และขอบ 30 ด้าน

// ข้าว. 37. ห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในปี 1904 Ernst Haeckel ตีพิมพ์ภาพวาดของสิ่งมีชีวิตเล็กๆ ที่เรียกว่า radiolarians; หลายอันมีรูปร่างเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบเดียวกัน อย่างไรก็ตาม บางทีเขาอาจจะแก้ไขธรรมชาติเล็กน้อย และภาพวาดก็ไม่ได้สะท้อนรูปร่างของสิ่งมีชีวิตที่เฉพาะเจาะจงได้ครบถ้วน โครงสร้างสามตัวแรกนั้นพบได้ในผลึกเช่นกัน คุณจะไม่พบรูปทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนในผลึก แม้ว่าบางครั้งจะพบรูปทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนที่ไม่สม่ำเสมอก็ตาม รูปทรงสิบสองหน้าที่แท้จริงสามารถเกิดขึ้นได้ในรูปของผลึกควอซิกคริสตัล ซึ่งคล้ายกับผลึกในทุกด้าน ยกเว้นว่าอะตอมของพวกมันจะไม่ก่อตัวเป็นโครงตาข่ายเป็นระยะ

// ข้าว. 38. ภาพวาดของ Haeckel: radiolarians ในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

// ข้าว. 39. การพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

อาจเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะสร้างแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจากกระดาษโดยการตัดชุดของใบหน้าที่เชื่อมต่อถึงกันออกก่อน ซึ่งเรียกว่าการพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม การพัฒนาจะพับไปตามขอบและขอบที่เกี่ยวข้องจะติดกาวเข้าด้วยกัน การเพิ่มแผ่นกาวเพิ่มเติมที่ซี่โครงด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละคู่นั้นมีประโยชน์ ดังแสดงในรูปที่ 1 39. หากไม่มีแพลตฟอร์มดังกล่าว คุณสามารถใช้เทปกาวได้

สมการระดับที่ห้า

ไม่มีสูตรพีชคณิตในการแก้สมการขั้นที่ 5

ใน มุมมองทั่วไปสมการระดับที่ห้ามีลักษณะดังนี้:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + อดีต + f = 0

ปัญหาคือการหาสูตรสำหรับการแก้สมการดังกล่าว (สามารถมีได้ถึงห้าคำตอบ) ประสบการณ์กับสมการกำลังสองและลูกบาศก์ตลอดจนสมการระดับที่สี่แสดงให้เห็นว่าสูตรดังกล่าวควรมีอยู่ในสมการระดับที่ห้าด้วย และในทางทฤษฎีแล้ว รากของระดับที่ห้า สาม และสองควรปรากฏอยู่ในนั้น อีกครั้ง เราสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยว่าสูตรดังกล่าว ถ้ามีอยู่ จะซับซ้อนมาก

ในที่สุดสมมติฐานนี้กลับกลายเป็นว่าผิด ในความเป็นจริงไม่มีสูตรดังกล่าวอยู่ อย่างน้อยที่สุดก็ไม่มีสูตรใดที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ a, b, c, d, e และ f โดยใช้การบวก ลบ การคูณหาร และการหยั่งราก มีบางสิ่งที่พิเศษมากเกี่ยวกับหมายเลข 5 สาเหตุของพฤติกรรมที่ผิดปกติของทั้งห้านั้นลึกซึ้งมากและต้องใช้เวลามากในการทำความเข้าใจพวกเขา

สัญญาณแรกของปัญหาก็คือ ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะพยายามค้นหาสูตรดังกล่าวอย่างหนักเพียงใด ไม่ว่าพวกเขาจะฉลาดแค่ไหน พวกเขาก็ล้มเหลวอยู่เสมอ ในบางครั้ง ทุกคนเชื่อว่าเหตุผลนั้นเกิดจากความซับซ้อนอันเหลือเชื่อของสูตร เชื่อกันว่าไม่มีใครสามารถเข้าใจพีชคณิตนี้ได้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เมื่อเวลาผ่านไป นักคณิตศาสตร์บางคนเริ่มสงสัยว่าสูตรดังกล่าวมีอยู่จริง และในปี 1823 Niels Hendrik Abel ก็สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้ ไม่มีสูตรดังกล่าว หลังจากนั้นไม่นาน เอวาริสต์ กาลัวส์ก็พบวิธีที่จะระบุได้ว่าสมการระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง เช่น ระดับที่ 5, 6, 7 หรือแบบใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรประเภทนี้

ข้อสรุปทั้งหมดนี้ง่ายมาก: เลข 5 นั้นพิเศษ คุณสามารถแก้สมการพีชคณิตได้ (โดยใช้ รากที่ nองศาสำหรับค่าต่าง ๆ ของ n) สำหรับยกกำลัง 1, 2, 3 และ 4 แต่ไม่ใช่สำหรับยกกำลังที่ 5 นี่คือจุดที่รูปแบบที่ชัดเจนสิ้นสุดลง

ไม่มีใครแปลกใจที่สมการขององศาที่มากกว่า 5 จะมีพฤติกรรมแย่ลงไปอีก โดยเฉพาะอย่างยิ่งความยากแบบเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับพวกเขา: ไม่มีสูตรทั่วไปในการแก้ปัญหา นี่ไม่ได้หมายความว่าสมการไม่มีคำตอบ นี่ไม่ได้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาค่าตัวเลขที่แม่นยำมากสำหรับการแก้ปัญหาเหล่านี้ มันเป็นเรื่องของข้อจำกัดของเครื่องมือพีชคณิตแบบดั้งเดิม สิ่งนี้ชวนให้นึกถึงความเป็นไปไม่ได้ของการตัดมุมโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ คำตอบมีอยู่ แต่วิธีการที่ระบุไว้ยังไม่เพียงพอและไม่อนุญาตให้เราระบุได้ว่าคืออะไร

ข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์

คริสตัลในสองและสามมิติไม่มีความสมมาตรในการหมุนแบบ 5 รังสี

อะตอมในคริสตัลก่อตัวเป็นโครงตาข่ายซึ่งก็คือโครงสร้างที่ทำซ้ำเป็นระยะ ๆ ในทิศทางอิสระหลายทิศทาง ตัวอย่างเช่นลวดลายบนวอลเปเปอร์ถูกทำซ้ำตามความยาวของม้วน นอกจากนี้ มักจะทำซ้ำในแนวนอน บางครั้งอาจมีการเปลี่ยนจากวอลเปเปอร์ชิ้นหนึ่งไปยังอีกชิ้นหนึ่ง โดยพื้นฐานแล้ววอลเปเปอร์เป็นคริสตัลสองมิติ

รูปแบบวอลเปเปอร์บนเครื่องบินมี 17 แบบ (ดูบทที่ 17) พวกมันต่างกันในประเภทของความสมมาตร กล่าวคือ ในวิธีการเคลื่อนย้ายรูปแบบอย่างเข้มงวดเพื่อให้มันวางอยู่บนตัวมันเองในตำแหน่งดั้งเดิม ประเภทของความสมมาตรรวมถึงรูปแบบต่างๆ ของสมมาตรแบบหมุน โดยที่รูปแบบควรหมุนเป็นมุมที่กำหนดรอบจุดใดจุดหนึ่ง ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางของสมมาตร

ลำดับของสมมาตรในการหมุนคือจำนวนครั้งที่ร่างกายสามารถหมุนเป็นวงกลมได้ เพื่อให้รายละเอียดทั้งหมดของรูปแบบกลับสู่ตำแหน่งเดิม ตัวอย่างเช่น การหมุน 90° คือสมมาตรการหมุนลำดับที่ 4* รายการประเภทสมมาตรในการหมุนที่เป็นไปได้ในโครงตาข่ายคริสตัลชี้ให้เห็นถึงความผิดปกติของหมายเลข 5 อีกครั้ง: ไม่มีอยู่ตรงนั้น มีตัวเลือกที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่มีรูปแบบวอลเปเปอร์ใดที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 5 ความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่มากกว่า 6 ยังไม่มีอยู่ในผลึก แต่การละเมิดลำดับครั้งแรกยังคงเกิดขึ้นที่หมายเลข 5

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับระบบผลึกศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ ตรงนี้โครงตาข่ายจะซ้ำตัวเองในสามทิศทางที่เป็นอิสระ มีสมมาตรที่แตกต่างกัน 219 ประเภท หรือ 230 ประเภทหากคุณนับ ภาพสะท้อนวาดเป็นเวอร์ชันแยกต่างหาก - แม้ว่าในกรณีนี้จะไม่มีความสมมาตรของกระจกก็ตาม ขอย้ำอีกครั้งว่ามีความสมมาตรในการหมุนของอันดับ 2, 3, 4 และ 6 ที่ถูกสังเกต แต่ไม่ใช่ 5 ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าการกักขังผลึกศาสตร์

ในปริภูมิสี่มิติ มีโครงตาข่ายที่มีความสมมาตรลำดับที่ 5 อยู่ โดยทั่วไป สำหรับโครงตาข่ายที่มีมิติสูงเพียงพอ ลำดับสมมาตรในการหมุนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ ก็เป็นไปได้

// ข้าว. 40. ตาข่ายคริสตัลเกลือแกง ลูกบอลสีเข้มเป็นตัวแทนของอะตอมโซเดียม ลูกบอลแสงเป็นตัวแทนของอะตอมของคลอรีน

ควอซิคริสตัล

แม้ว่าสมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 จะไม่สามารถทำได้ในโครงตาข่าย 2 มิติหรือ 3 มิติ แต่ก็สามารถมีอยู่ในโครงสร้างปกติน้อยกว่าเล็กน้อยที่เรียกว่าควอซิคริสตัล โรเจอร์ เพนโรสค้นพบระบบแบนๆ ด้วยการใช้ภาพร่างของเคปเลอร์ ประเภททั่วไปสมมาตรห้าเท่า พวกมันถูกเรียกว่าควอซิคริสตัล

Quasicrystal มีอยู่ในธรรมชาติ ในปี 1984 Daniel Shechtman ค้นพบว่าโลหะผสมของอลูมิเนียมและแมงกานีสสามารถก่อตัวเป็นผลึกควอซิกได้ ในขั้นต้น นักผลึกศาสตร์ทักทายข้อความของเขาด้วยความสงสัย แต่ต่อมาการค้นพบนี้ได้รับการยืนยัน และในปี 2011 Shekhtman ได้รับรางวัล รางวัลโนเบลในวิชาเคมี ในปี 2009 ทีมนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดย Luca Bindi ค้นพบควอซิคริสตัลในแร่ธาตุจากที่ราบสูง Koryak ของรัสเซีย ซึ่งเป็นสารประกอบของอะลูมิเนียม ทองแดง และเหล็ก ปัจจุบันแร่นี้เรียกว่า icosahedrite นักวิทยาศาสตร์ได้แสดงให้เห็นว่าแร่ธาตุนี้ไม่ได้กำเนิดบนโลกด้วยการวัดปริมาณไอโซโทปออกซิเจนต่างๆ ในแร่โดยใช้แมสสเปกโตรมิเตอร์ มันก่อตัวขึ้นเมื่อประมาณ 4.5 พันล้านปีก่อน ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ ระบบสุริยะยังอยู่ในช่วงเริ่มต้น และใช้เวลาส่วนใหญ่อยู่ในแถบดาวเคราะห์น้อย โคจรรอบดวงอาทิตย์ จนกระทั่งสิ่งรบกวนบางอย่างเปลี่ยนวงโคจรของมันและนำมันมายังโลกในที่สุด

// ข้าว. 41. ซ้าย: หนึ่งในสองโครงตาข่ายควอซิคริสตัลไลน์ที่มีความสมมาตรห้าเท่าพอดี ขวา: แบบจำลองอะตอมของควอซิคริสตัลอะลูมิเนียม-แพลเลเดียม-แมงกานีสแบบไอโคซาฮีดรัล