ชุดของค่าสำหรับบันทึกฟังก์ชัน หัวข้อของบทเรียนคือ “ค่าต่างๆ ของฟังก์ชันในปัญหา Unified State Examination ชุดค่าของฟังก์ชันพื้นฐาน

ฟังก์ชันเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด

คำจำกัดความ: ถ้าแต่ละจำนวนจากชุด x หนึ่งเชื่อมโยงกัน เอกพจน์ y แล้วเราบอกว่าฟังก์ชัน y(x) ถูกกำหนดให้กับเซตนี้ ในกรณีนี้ x เรียกว่าตัวแปรอิสระหรืออาร์กิวเมนต์ และ y เรียกว่าตัวแปรตามหรือค่าของฟังก์ชันหรือเพียงแค่ฟังก์ชัน

ตัวแปร y ยังกล่าวได้ว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x

เมื่อกำหนดให้การจับคู่ด้วยตัวอักษรเช่น f จะสะดวกในการเขียน: y=f (x) นั่นคือค่า y ได้มาจากอาร์กิวเมนต์ x โดยใช้การจับคู่ f (อ่าน: y เท่ากับ f ของ x) สัญลักษณ์ f (x) หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับค่าของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ x

ตัวอย่างที่ 1 ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร y=2x 2 –6 จากนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า f(x)=2x 2 –6 ลองค้นหาค่าของฟังก์ชันสำหรับค่า x เท่ากับเช่น 1; 2.5;–3; กล่าวคือ เราพบ f(1), f(2.5), f(–3):

ฉ(1)=2 1 2 –6=–4;
ฉ(2.5)=2 2.5 2 –6=6.5;
ฉ(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

โปรดทราบว่าในรูปแบบ y=f (x) มีการใช้ตัวอักษรอื่นแทน f: g เป็นต้น

คำจำกัดความ: โดเมนของฟังก์ชันคือค่าทั้งหมดของ x ที่มีฟังก์ชันอยู่

หากฟังก์ชันถูกระบุโดยสูตรและไม่ได้ระบุโดเมนของคำจำกัดความ โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันจะถือว่าประกอบด้วยค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ที่สูตรสมเหตุสมผล

กล่าวอีกนัยหนึ่งโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรคือค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ยกเว้นค่าที่ส่งผลให้เกิดการกระทำที่เราไม่สามารถดำเนินการได้ ในขณะนี้เรารู้เพียงสองการกระทำดังกล่าวเท่านั้น เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์และเราไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้

คำจำกัดความ: ค่าทั้งหมดที่ตัวแปรตามใช้จากช่วงของฟังก์ชัน

ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่อธิบายกระบวนการจริงนั้นขึ้นอยู่กับ เงื่อนไขเฉพาะแน่นอนของมัน ตัวอย่างเช่น การพึ่งพาความยาว l ของแท่งเหล็กกับอุณหภูมิความร้อน t แสดงโดยสูตร โดยที่ l 0 คือความยาวเริ่มต้นของแท่งเหล็ก และเป็นค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงเส้น สูตรนี้เหมาะสมกับค่าใดๆ ของ t อย่างไรก็ตาม ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน l=g(t) คือช่วงหลายสิบองศา ซึ่งกฎการขยายตัวเชิงเส้นนั้นใช้ได้

ตัวอย่าง.

ระบุช่วงฟังก์ชัน y = อาร์คซินx.

สารละลาย.

ขอบเขตของคำจำกัดความของอาร์คไซน์คือส่วน [-1; 1] - ลองหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในส่วนนี้กัน

อนุพันธ์เป็นผลบวกสำหรับทุกคน xจากช่วงเวลา (-1; 1) กล่าวคือ ฟังก์ชันอาร์กไซน์จะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ดังนั้นจึงใช้ค่าที่น้อยที่สุดเมื่อ x = -1และยิ่งใหญ่ที่สุดที่ x = 1.

เราได้รับช่วงของฟังก์ชันอาร์คไซน์แล้ว .

ค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน บนส่วน .

สารละลาย.

เรามาค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดกัน

ให้เรากำหนดจุดสุดขั้วที่เป็นของกลุ่ม :

บ่อยครั้ง ในการแก้ปัญหา เราต้องค้นหาค่าต่างๆ ของฟังก์ชันในโดเมนของคำจำกัดความหรือเซ็กเมนต์ ตัวอย่างเช่นควรทำสิ่งนี้เมื่อทำการแก้ไข ประเภทต่างๆความไม่เท่าเทียมกัน การประเมินการแสดงออก ฯลฯ

ในเนื้อหานี้ เราจะบอกคุณว่าช่วงของค่าของฟังก์ชันคืออะไร ให้วิธีการหลักที่สามารถคำนวณได้ และวิเคราะห์ปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนต่างกัน เพื่อความชัดเจน ข้อกำหนดส่วนบุคคลจะแสดงด้วยกราฟ หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณจะได้รับความเข้าใจอย่างครอบคลุมเกี่ยวกับช่วงของฟังก์ชันต่างๆ

เริ่มจากคำจำกัดความพื้นฐานกันก่อน

คำจำกัดความ 1

ชุดของค่าของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วงเวลาหนึ่ง x คือชุดของค่าทั้งหมดที่ฟังก์ชันนี้ใช้ในการวนซ้ำค่าทั้งหมด x ∈ X

คำจำกัดความ 2

ช่วงของค่าของฟังก์ชัน y = f (x) คือชุดของค่าทั้งหมดที่สามารถรับเมื่อค้นหาผ่านค่าของ x จากช่วง x ∈ (f)

ช่วงของค่าของฟังก์ชันบางอย่างมักจะแสดงด้วย E (f)

โปรดทราบว่าแนวคิดของชุดค่าของฟังก์ชันนั้นไม่เหมือนกันกับช่วงของค่าเสมอไป แนวคิดเหล่านี้จะเทียบเท่าก็ต่อเมื่อช่วงเวลาของค่า x เมื่อค้นหาชุดของค่าตรงกับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

สิ่งสำคัญคือต้องแยกแยะระหว่างช่วงของค่าและช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x สำหรับนิพจน์ทางด้านขวา y = f (x) ช่วงของค่าที่อนุญาต x สำหรับนิพจน์ f (x) จะเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้

ด้านล่างนี้เป็นภาพประกอบที่แสดงตัวอย่างบางส่วน เส้นสีน้ำเงินคือกราฟฟังก์ชัน เส้นสีแดงคือเส้นกำกับ จุดสีแดงและเส้นบนแกนพิกัดคือช่วงฟังก์ชัน

แน่นอนว่าสามารถรับช่วงของค่าของฟังก์ชันได้โดยการฉายกราฟของฟังก์ชันลงบนแกน O y ยิ่งไปกว่านั้น มันสามารถแสดงได้ทั้งตัวเลขเดี่ยวหรือชุดตัวเลข, ส่วน, ช่วง, รังสีเปิด, การรวมกันของช่วงตัวเลข ฯลฯ

มาดูวิธีหลักในการค้นหาช่วงค่าของฟังก์ชันกัน

เริ่มต้นด้วยการกำหนดชุดของค่าของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f (x) บนส่วนใดส่วนหนึ่งที่แสดง [ a ; ข ] . เรารู้ว่าฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเซกเมนต์หนึ่งถึงค่าต่ำสุดและสูงสุดของมัน นั่นคือ ค่าที่ใหญ่ที่สุด m a x x ∈ a ; b f (x) และค่าที่น้อยที่สุด m i n x ∈ a ; ขฉ(x) . นี่หมายความว่าเราได้เซ็กเมนต์ m i n x ∈ a ; เพื่อน(x); ม x x ∈ ก ; b f (x) ซึ่งจะมีชุดค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม จากนั้นสิ่งที่เราต้องทำคือค้นหาจุดต่ำสุดและสูงสุดที่ระบุในส่วนนี้

ลองใช้ปัญหาที่เราต้องกำหนดช่วงของค่าอาร์กไซน์กัน

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:ค้นหาช่วงของค่า y = a rc sin x .

สารละลาย

ในกรณีทั่วไป โดเมนของคำจำกัดความของอาร์คไซน์จะอยู่ที่เซ็กเมนต์ [ - 1 ; 1]. เราจำเป็นต้องกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่ระบุ

y " = a rc บาป x " = 1 1 - x 2

เรารู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่อยู่ในช่วงเวลา [ - 1 ; 1 ] นั่นคือ ฟังก์ชันอาร์กไซน์จะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความ ซึ่งหมายความว่าจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดเมื่อ x เท่ากับ - 1 และค่าที่ใหญ่ที่สุดคือเมื่อ x เท่ากับ 1

ม ฉัน n x ∈ - 1 ; 1 a rc sin x = a rc sin - 1 = - π 2 ม. x x ∈ - 1 ; 1 a rc บาป x = a rc บาป 1 = π 2

ดังนั้นช่วงของค่าของฟังก์ชันอาร์กไซน์จะเท่ากับ E (a rc sin x) = - π 2; พาย 2.

คำตอบ: E (a rc sin x) = - π 2 ; พาย 2

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:คำนวณช่วงของค่า y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 ในช่วงเวลาที่กำหนด [ 1 ; 4].

สารละลาย

สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

ในการกำหนดจุดสุดขั้ว ต้องทำการคำนวณต่อไปนี้:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 · 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 1 ; = 15 + 33 8 µ 2 .

ตอนนี้เรามาดูค่าของฟังก์ชันที่กำหนดที่ส่วนท้ายของส่วนและจุด x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

ปี (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 ปี 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 data 2. 08 ปี 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 data - 1 . 62 ปี (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

ซึ่งหมายความว่าชุดของค่าฟังก์ชันจะถูกกำหนดโดยส่วน 117 - 165 33 512 32.

คำตอบ: 117 - 165 33 512 ; 32 .

เรามาดูชุดของค่าของฟังก์ชันต่อเนื่องกัน y = f (x) ในช่วงเวลา (a ; b) และ a ; + ; ข , - ∞ ; + .

เริ่มต้นด้วยการกำหนดจุดที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด รวมถึงช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลาที่กำหนด หลังจากนี้ เราจะต้องคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาและ/หรือขีดจำกัดที่อนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจำเป็นต้องกำหนดพฤติกรรมของฟังก์ชันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด เรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับสิ่งนี้

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:คำนวณช่วงของฟังก์ชัน y = 1 x 2 - 4 ในช่วงเวลา (- 2 ; 2) .

สารละลาย

กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

เราได้ค่าสูงสุดเท่ากับ 0 เนื่องจากเมื่อถึงจุดนี้สัญญาณของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปและกราฟเริ่มลดลง ดูภาพประกอบ:

นั่นคือ y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 จะเป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

ตอนนี้เรามาดูพฤติกรรมของฟังก์ชันสำหรับ x ที่มีแนวโน้มเป็น - 2 ทางด้านขวาและ + 2 ทางด้านซ้าย กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบขีดจำกัดด้านเดียว:

ลิม x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = ลิม x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ ลิม x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = ลิม x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

ปรากฎว่าค่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็น - 1 4 เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก - 2 เป็น 0 และเมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก 0 เป็น 2 ค่าฟังก์ชันจะลดลงไปสู่ลบอนันต์ ดังนั้นชุดของค่าของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาที่เราต้องการจะเป็น (- ∞ ; - 1 4 ] .

คำตอบ: (- ∞ ; - 1 4 ] .

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข: ระบุชุดของค่า y = t g x ในช่วงเวลาที่กำหนด - π 2; พาย 2.

สารละลาย

เรารู้ว่าในกรณีทั่วไป อนุพันธ์ของแทนเจนต์คือ - π 2; π 2 จะเป็นค่าบวก นั่นคือฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ตอนนี้เรามาพิจารณาว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรภายในขอบเขตที่กำหนด:

ลิม x → π 2 + 0 เสื้อ g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 เสื้อ g x = t g π 2 - 0 = + ∞

เราได้รับค่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็นบวกอนันต์เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก - π 2 เป็น π 2 และเราสามารถพูดได้ว่าเซตของคำตอบสำหรับฟังก์ชันนี้จะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ตัวเลข

คำตอบ: - ∞ ; + ∞ .

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:กำหนดช่วงของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ y = ln x

สารละลาย

เรารู้ว่าฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ D (y) = 0; + . อนุพันธ์ในช่วงเวลาที่กำหนดจะเป็นค่าบวก: y " = ln x " = 1 x . ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ต่อไป เราต้องกำหนดขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับกรณีที่อาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็น 0 (ทางด้านขวา) และเมื่อ x ไปที่ค่าอนันต์:

ลิม x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

เราพบว่าค่าของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็นบวกอนันต์เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจากศูนย์เป็นบวกอนันต์ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนจริงทั้งหมดคือช่วงของค่าของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ

คำตอบ:เซตของจำนวนจริงทั้งหมดคือช่วงของค่าของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:กำหนดช่วงของฟังก์ชัน y = 9 x 2 + 1 .

สารละลาย

ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดโดยให้ x เป็นจำนวนจริง ให้เราคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันตลอดจนช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

ด้วยเหตุนี้ เราจึงพิจารณาว่าฟังก์ชันนี้จะลดลงหาก x ≥ 0; เพิ่มขึ้นถ้า x ≤ 0 ; มีจุดสูงสุด y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 โดยมีตัวแปรเท่ากับ 0

มาดูกันว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรที่ระยะอนันต์:

ลิม x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 ลิม x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

จากบันทึกเป็นที่ชัดเจนว่าค่าฟังก์ชันในกรณีนี้จะเข้าใกล้ 0 แบบไม่แสดงสัญญาณ

โดยสรุป: เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็นศูนย์ ค่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น 9 เมื่อค่าอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก 0 เป็นบวกอนันต์ ค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องจะลดลงจาก 9 เป็น 0 เราได้แสดงสิ่งนี้ในรูป:

แสดงว่าช่วงค่าของฟังก์ชันจะเป็นช่วง E (y) = (0 ; 9 ]

คำตอบ:จ (ย) = (0 ; 9 ]

หากเราจำเป็นต้องกำหนดชุดของค่าของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วงเวลา [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] จากนั้นเราจะต้องดำเนินการศึกษาแบบเดียวกันทุกประการ เราจะไม่วิเคราะห์กรณีเหล่านี้ในตอนนี้: เราจะพบพวกเขาในภายหลัง ปัญหา.

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าโดเมนของนิยามของฟังก์ชันหนึ่งๆ เป็นผลรวมของหลายช่วง? จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณชุดของค่าในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้และรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 7

เงื่อนไข:กำหนดช่วงของค่าที่จะเป็น y = x x - 2 .

สารละลาย

เนื่องจากไม่ควรหมุนตัวส่วนของฟังก์ชันเป็น 0 ดังนั้น D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + .

เริ่มต้นด้วยการกำหนดค่าฟังก์ชันในส่วนแรก - ∞; 2 ซึ่งเป็นลำแสงเปิด เรารู้ว่าฟังก์ชันบนมันจะลดลง นั่นคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้จะเป็นลบ

ลิม x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ ลิม x → - ∞ x x - 2 = ลิม x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = ลิม x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

จากนั้นในกรณีที่อาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไปทางลบอนันต์ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ 1 แบบไม่แสดงกำกับ หากค่าของ x เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็น 2 ค่านั้นจะลดลงจาก 1 เป็นลบอนันต์นั่นคือ ฟังก์ชั่นในส่วนนี้จะใช้ค่าจากช่วงเวลา - ∞; 1. เราแยกความสามัคคีออกจากการให้เหตุผลของเราเนื่องจากค่าของฟังก์ชันไปไม่ถึง แต่เพียงเข้าใกล้มันเท่านั้น

สำหรับไฟเปิด 2; + ∞ เราทำการกระทำแบบเดียวกันทุกประการ ฟังก์ชั่นก็ลดลงเช่นกัน:

ลิม x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ ลิม x → + ∞ x x - 2 = ลิม x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = ลิม x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

ค่าของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยชุดที่ 1 + . ซึ่งหมายความว่าช่วงของค่าที่เราต้องการสำหรับฟังก์ชันที่ระบุในเงื่อนไขจะเป็นการรวมกันของเซต - ∞ ; 1 และ 1; + .

คำตอบ:จ (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + .

สามารถดูได้บนกราฟ:

กรณีพิเศษคือฟังก์ชันคาบ ช่วงของค่าตรงกับชุดของค่าในช่วงเวลาที่สอดคล้องกับช่วงเวลาของฟังก์ชันนี้

ตัวอย่างที่ 8

เงื่อนไข:กำหนดช่วงของค่าของไซน์ y = บาป x

สารละลาย

ไซน์เป็นฟังก์ชันคาบและมีคาบคือ 2 ไพ เราใช้ส่วน 0; 2 π แล้วดูว่าเซตของค่านั้นจะเป็นอย่างไร

y " = (บาป x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

ภายใน 0 ; 2 π ฟังก์ชันจะมีจุดปลายสุด π 2 และ x = 3 π 2 . ลองคำนวณว่าค่าฟังก์ชันจะเท่ากับค่าใดรวมถึงขอบเขตของเซ็กเมนต์แล้วเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

y (0) = บาป 0 = 0 y π 2 = บาป π 2 = 1 y 3 π 2 = บาป 3 π 2 = - 1 y (2 π) = บาป (2 π) = 0 ⇔ นาที x ∈ 0 ; 2 π บาป x = บาป 3 π 2 = - 1 , สูงสุด x ∈ 0 ; 2 π บาป x = บาป π 2 = 1

คำตอบ: E (บาป x) = - 1 ; 1.

หากคุณต้องการทราบช่วงของฟังก์ชันต่างๆ เช่น กำลัง เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติผกผัน เราขอแนะนำให้คุณอ่านบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานอีกครั้ง ทฤษฎีที่เรานำเสนอที่นี่ช่วยให้เราสามารถตรวจสอบค่าที่ระบุไว้ในนั้นได้ ขอแนะนำให้เรียนรู้สิ่งเหล่านี้เพราะมักจำเป็นในการแก้ปัญหา หากคุณทราบช่วงของฟังก์ชันพื้นฐาน คุณสามารถค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่ได้รับจากฟังก์ชันพื้นฐานได้อย่างง่ายดายโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิต

ตัวอย่างที่ 9

เงื่อนไข:กำหนดช่วงของค่า y = 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

สารละลาย

เรารู้ว่าส่วนตั้งแต่ 0 ถึง pi คือช่วงอาร์คโคไซน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง E (rc cos x) = 0; π หรือ 0 ≤ a rc cos x ≤ π เราสามารถหาฟังก์ชัน a r c cos x 3 + 5 π 7 จากส่วนโค้งโคไซน์ได้โดยการขยับและยืดมันไปตามแกน O x แต่การแปลงดังกล่าวไม่ได้ให้อะไรเราเลย นี่หมายถึง 0 ≤ a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ π

ฟังก์ชัน 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 สามารถหาได้จากโคไซน์ส่วนโค้ง a r c cos x 3 + 5 π 7 โดยการยืดไปตามแกนพิกัด เช่น 0 ≤ 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . การแปลงครั้งสุดท้ายคือการเลื่อนไปตามแกน O y ด้วยค่า 4 ค่า เป็นผลให้เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า:

0 - 4 ≤ 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 อาร์คคอส x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

เราพบว่าช่วงของค่าที่เราต้องการจะเท่ากับ E (y) = - 4; 3 π - 4 .

คำตอบ:จ (ย) = - 4 ; 3 π - 4 .

เราจะเขียนอีกตัวอย่างหนึ่งโดยไม่มีคำอธิบายเพราะว่า มันคล้ายกับอันก่อนหน้าโดยสิ้นเชิง

ตัวอย่างที่ 10

เงื่อนไข:คำนวณว่าช่วงของฟังก์ชัน y = 2 2 x - 1 + 3 จะเป็นเท่าใด

สารละลาย

ลองเขียนฟังก์ชันที่ระบุในเงื่อนไขใหม่เป็น y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 สำหรับฟังก์ชันกำลัง y = x - 1 2 ช่วงของค่าจะถูกกำหนดในช่วงเวลา 0 + ∞ เช่น x - 1 2 > 0 . ในกรณีนี้:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

ดังนั้น E(y) = 3; + .

คำตอบ:อี(ย) = 3; + .

ตอนนี้เรามาดูวิธีการหาช่วงของค่าของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องกัน ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นระยะๆ และค้นหาชุดของค่าในแต่ละชุด จากนั้นจึงรวมสิ่งที่เราได้รับ เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ได้ดีขึ้น เราขอแนะนำให้คุณตรวจสอบเบรกพอยต์ฟังก์ชันประเภทหลักๆ

ตัวอย่างที่ 11

เงื่อนไข:เมื่อกำหนดฟังก์ชัน y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. คำนวณช่วงของค่า

สารละลาย

ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของ x ให้เราวิเคราะห์เพื่อความต่อเนื่องของค่าอาร์กิวเมนต์เท่ากับ - 3 และ 3:

ลิม x → - 3 - 0 f (x) = ลิม x → - 3 2 บาป x 2 - 4 = 2 บาป - 3 2 - 4 = - 2 บาป 3 2 - 4 ลิม x → - 3 + 0 f (x) = ลิม x → - 3 (1) = - 1 ⇒ ลิม x → - 3 - 0 f (x) ≠ ลิม x → - 3 + 0 f (x)

เรามีความไม่ต่อเนื่องแบบแรกที่ไม่สามารถถอดออกได้โดยมีค่าของอาร์กิวเมนต์ - 3 เมื่อเราเข้าใกล้ ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มเป็น - 2 sin 3 2 - 4 และเมื่อ x มีแนวโน้มเป็น - 3 ทางด้านขวา ค่าจะมีแนวโน้มเป็น - 1 .

ลิม x → 3 - 0 f (x) = ลิม x → 3 - 0 (- 1) = 1 ลิม x → 3 + 0 f (x) = ลิม x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

เรามีความไม่ต่อเนื่องแบบที่สองที่ไม่อาจลบเลือนได้ที่จุดที่ 3 เมื่อฟังก์ชันมีแนวโน้มไปที่ค่าของมัน ค่าของมันจะเข้าใกล้ - 1 เมื่อพุ่งไปที่จุดเดียวกันทางด้านขวา - ถึงลบอนันต์

ซึ่งหมายความว่าโดเมนคำจำกัดความทั้งหมดของฟังก์ชันนี้แบ่งออกเป็น 3 ช่วง (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞)

ในตอนแรก เราได้ฟังก์ชัน y = 2 sin x 2 - 4 เนื่องจาก - 1 ≤ sin x ≤ 1 เราได้:

1 ≤ บาป x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลาที่กำหนด (- ∞ ; - 3 ] ชุดของค่าฟังก์ชันคือ [ - 6 ; 2 ] .

ในช่วงครึ่งเวลา (- 3; 3 ] ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันคงที่ y = - 1 ดังนั้นค่าทั้งชุดในกรณีนี้จะลดลงเหลือตัวเลขเดียว - 1

ในช่วงเวลาที่สอง 3 ; + ∞ เรามีฟังก์ชัน y = 1 x - 3 . กำลังลดลงเพราะ y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

ลิม x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ ลิม x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

ซึ่งหมายความว่าชุดของค่าของฟังก์ชันดั้งเดิมสำหรับ x > 3 คือชุด 0; + . ทีนี้มารวมผลลัพธ์กัน: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + .

คำตอบ:จ (ย) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + .

วิธีแก้ไขจะแสดงในกราฟ:

ตัวอย่างที่ 12

เงื่อนไข: มีฟังก์ชัน y = x 2 - 3 e x กำหนดชุดของค่าของมัน

สารละลาย

มันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง ให้เราพิจารณาว่าฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาใดและจะลดลงในช่วงใด:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

เรารู้ว่าอนุพันธ์จะกลายเป็น 0 ถ้า x = - 1 และ x = 3 ลองวางจุดสองจุดนี้ไว้บนแกนแล้วดูว่าอนุพันธ์จะมีสัญญาณอะไรในช่วงเวลาผลลัพธ์

ฟังก์ชั่นจะลดลง (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) และเพิ่มขึ้น [ - 1 ; 3]. จุดต่ำสุดจะเป็น - 1 สูงสุด - 3

ตอนนี้เรามาดูค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกัน:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

ลองดูพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อนันต์:

ลิม x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = ลิม x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = ลิม x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 ลิม x → + ∞ 1 เช่น x = 2 1 + ∞ = + 0

กฎของโลปิตาลใช้ในการคำนวณขีดจำกัดที่สอง เรามาพรรณนาถึงความคืบหน้าของโซลูชันของเราบนกราฟกัน

มันแสดงให้เห็นว่าค่าฟังก์ชันจะลดลงจากบวกอนันต์เป็น - 2 e เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็น - 1 หากเปลี่ยนจาก 3 เป็นบวกอนันต์ค่าจะลดลงจาก 6 e - 3 เป็น 0 แต่จะไม่ถึง 0

ดังนั้น E(y) = [ - 2 e ; + ) .

คำตอบ:อี(y) = [ - 2 อี ; + )

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ง(ฉ)- ค่าเหล่านั้นที่อาร์กิวเมนต์สามารถรับได้เช่น โดเมนของฟังก์ชัน.

อี(ฉ)- ค่าเหล่านั้นที่ฟังก์ชันสามารถรับได้เช่น ชุดของค่าฟังก์ชัน.

วิธีการหาช่วงของฟังก์ชัน

การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามลำดับ

การประมาณค่า/วิธีขอบเขต

การใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่องและความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

การใช้อนุพันธ์

ใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

วิธีกราฟิก

วิธีการป้อนพารามิเตอร์

วิธีการฟังก์ชันผกผัน

ลองดูบางส่วนของพวกเขา

การใช้อนุพันธ์

แนวทางทั่วไปในการค้นหาชุดค่าของฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ประกอบด้วยการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน f(x) ในโดเมนของมัน (หรือการพิสูจน์ว่าไม่มีค่าใดค่าหนึ่งหรือทั้งสองค่า)

ในกรณีที่คุณต้องการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน บนส่วน:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด f "(x);

ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน f(x) และเลือกจุดที่อยู่ในส่วนนี้

คำนวณค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดวิกฤติที่เลือก

ในค่าที่พบ ให้เลือกค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด

ชุดของค่าฟังก์ชันอยู่ระหว่างค่าเหล่านี้

ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็น ช่วงเวลาจากนั้นจะใช้โครงร่างเดียวกัน แต่แทนที่จะใช้ค่าที่ส่วนท้าย ขีดจำกัดของฟังก์ชันจะถูกใช้เนื่องจากอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะสิ้นสุดช่วงเวลา ค่าจำกัดจากไม่รวมอยู่ในชุดค่า

วิธีขอบเขต/คะแนน

หากต้องการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน ขั้นแรกให้ค้นหาชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ จากนั้นค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน ใช้ความไม่เท่าเทียมกำหนดขอบเขต

สาระสำคัญคือการประมาณค่าฟังก์ชันต่อเนื่องจากด้านล่างและด้านบน และเพื่อพิสูจน์ว่าฟังก์ชันถึงขอบเขตล่างและบนของการประมาณค่า ในกรณีนี้ความบังเอิญของชุดของค่าฟังก์ชันที่มีช่วงเวลาจากขอบเขตล่างของการประมาณค่าถึงค่าบนจะถูกกำหนดโดยความต่อเนื่องของฟังก์ชันและการไม่มีค่าอื่น ๆ

คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง

อีกทางเลือกหนึ่งคือการแปลงฟังก์ชันให้เป็นโมโนโทนิกแบบต่อเนื่อง จากนั้นใช้คุณสมบัติของอสมการชุดของค่าของฟังก์ชันที่ได้รับใหม่โดยประมาณ

การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามลำดับ

ขึ้นอยู่กับการค้นหาตามลำดับสำหรับชุดค่าของฟังก์ชันระดับกลางที่ประกอบด้วยฟังก์ชัน

ช่วงค่าของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น

การทำงาน	ความหมายหลายประการ
$y = kx+ b$	อี(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	อี(ย) =
$y = \cos(x)$	อี(ย) = [-1;1]
$y = (\rm tg)\, x$	อี(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	อี(y) = (-∞;+∞)
$y = \อาร์คซิน(x)$	อี(y) = [-π/2; พาย/2]
$y = \arccos(x)$	อี(ย) =
$y = (\rm อาร์คแทน)\, x$	อี(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	อี(y) = (0; π)

ตัวอย่าง

ค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน:

การใช้อนุพันธ์

เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ: D(f)=[-3;3] เพราะ $9-x^(2)\geq 0$

ค้นหาอนุพันธ์: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 ถ้า x = 0 f"(x) ไม่มีอยู่ถ้า $\sqrt(9-x^(2))=0$ นั่นคือ สำหรับ x = ±3 เราได้จุดวิกฤตสามจุด: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3 ซึ่งสองจุดตรงกับจุดสิ้นสุดของส่วน ลองคำนวณกัน: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0 ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของ f(x) คือ 0 มูลค่าสูงสุดเท่ากับ 3

ตอบ: E(f) = .

ไม่ใช้อนุพันธ์

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน:

ตั้งแต่ $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ แล้ว:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ สำหรับ x ทั้งหมด;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ สำหรับทั้งหมด x(ตั้งแต่ $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

คำตอบ: $\frac(3)(4)$ และ $-\frac(3)(2)$

หากคุณแก้ปัญหานี้โดยใช้อนุพันธ์ คุณจะต้องเอาชนะอุปสรรคที่เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าฟังก์ชัน f(x) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่เซกเมนต์ แต่อยู่บนเส้นจำนวนทั้งหมด

การใช้วิธีขอบเขต/การประมาณค่า

จากคำจำกัดความของไซน์จะได้ดังนี้ $-1\leq\sin(x)\leq 1$ ต่อไปเราจะใช้คุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (คูณทั้งสามส่วนของอสมการสองเท่าด้วย -4)

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (บวกเข้ากับสามส่วนของอสมการสองเท่า 5)

เนื่องจากฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องกันตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ชุดของค่าจึงอยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ หากมี

ในกรณีนี้ ชุดของค่าของฟังก์ชัน $y = 5 - 4\sin(x)$ คือชุด

จากความไม่เท่าเทียมกัน $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ เราได้รับค่าประมาณ $$\\ -6\leq y\ เล็ก 6$ $

ที่ x = p และ x = 0 ฟังก์ชันรับค่า -6 และ 6 เช่น ถึงขอบเขตล่างและบนของการประมาณการ เนื่องจากเป็นการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันต่อเนื่อง cos(7x) และ cos(x) ฟังก์ชัน y จึงต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด ดังนั้นด้วยคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง จึงนำค่าทั้งหมดตั้งแต่ -6 ถึง 6 รวม และมีเพียงพวกเขาเท่านั้น เนื่องจากเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน $- 6\leq y\leq 6$ ค่าอื่น ๆ จึงเป็นไปไม่ได้

ดังนั้น E(y) = [-6;6]

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ คำตอบ: E(f) = .

$$ \\ -\อายุน้อย< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\อายุน้อย< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

มาแปลงนิพจน์ $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ ปี่) (4)) $$

จากคำจำกัดความของโคไซน์เป็นไปตาม $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); -

เนื่องจากฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ชุดของค่าจึงอยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด ถ้ามี ชุดของค่าฟังก์ชัน $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ คือเซต $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

ให้เราแสดงว่า $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$ โดยที่ -∞≤t≤4 ดังนั้นปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชัน $y = \log_(0,5)(t)$ บนเรย์ (-∞;4) เนื่องจากฟังก์ชัน $y = \log_(0,5)(t)$ ถูกกำหนดไว้สำหรับ t > 0 เท่านั้น ดังนั้นชุดของค่าบนเรย์ (-∞;4) จึงเกิดขึ้นพร้อมกับชุดของค่าฟังก์ชัน ​​ในช่วงเวลา (0;4) ซึ่งแสดงถึงจุดตัดของรังสี (-∞;4) กับโดเมนของคำจำกัดความ (0;+∞) ของฟังก์ชันลอการิทึม ในช่วงเวลา (0;4) ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องและลดลง ที่ t > 0 มีแนวโน้มว่าจะ +∞ และที่ t = 4 จะได้ค่า -2 ดังนั้น E(y) = (-2, +∞)

เราใช้เทคนิคตามการแสดงฟังก์ชันแบบกราฟิก

หลังจากเปลี่ยนฟังก์ชันแล้ว เราจะได้: y 2 + x 2 = 25 และ y ≥ 0, |x| ≤ 5

ควรจำไว้ว่า $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ คือสมการของวงกลมที่มีรัศมี r

ภายใต้ข้อจำกัดเหล่านี้ กราฟของสมการนี้คือครึ่งวงกลมบนซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมีเท่ากับ 5 แน่นอนว่า E(y) =

ตอบ: E(y) = .

วรรณกรรมที่ใช้

ช่วงของฟังก์ชั่นใน งานสอบ Unified State, มินยุก อิรินา บอริซอฟน่า

เคล็ดลับในการค้นหาชุดค่าของฟังก์ชัน Belyaeva I. , Fedorova S.

การหาเซตของค่าฟังก์ชัน

วิธีแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ในการสอบเข้า I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

แนวคิดของฟังก์ชันและทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันนี้มีความซับซ้อนและไม่เข้าใจอย่างถ่องแท้ สิ่งกีดขวางพิเศษเมื่อศึกษาฟังก์ชันและเตรียมพร้อมสำหรับการสอบ Unified State คือขอบเขตของคำจำกัดความและช่วงของค่า (การเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชัน
บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่เห็นความแตกต่างระหว่างโดเมนของฟังก์ชันและโดเมนของค่าของมัน
และถ้านักเรียนสามารถจัดการงานในการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันได้ งานในการค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันจะทำให้เกิดปัญหาอย่างมาก
วัตถุประสงค์ของบทความนี้: เพื่อทำความคุ้นเคยกับวิธีการค้นหาค่าฟังก์ชัน
จากการพิจารณาหัวข้อนี้ ได้ทำการศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎี พิจารณาวิธีการแก้ปัญหาการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน สื่อการสอนสำหรับงานอิสระของนักศึกษา
ครูสามารถใช้บทความนี้ในการเตรียมนักเรียนสำหรับการสอบปลายภาคและการสอบเข้าเมื่อศึกษาหัวข้อ "โดเมนของฟังก์ชัน" ในวิชาเลือกทางคณิตศาสตร์

I. การกำหนดช่วงของค่าของฟังก์ชัน

โดเมน (ชุด) ของค่า E(y) ของฟังก์ชัน y = f(x) คือชุดของตัวเลขดังกล่าว y 0 โดยแต่ละค่าจะมีตัวเลข x 0 ดังนี้: f(x 0) = ใช่ 0

ให้เรานึกถึงช่วงของค่าหลัก ฟังก์ชันเบื้องต้น.

มาดูตารางกันดีกว่า

การทำงาน	ความหมายหลายประการ
y = kx+ ข	อี(y) = (-∞;+∞)
y = x2n	อี(ย) =
y = cos x	อี(ย) = [-1;1]
y = สีแทน x	อี(y) = (-∞;+∞)
y = CTG x	อี(y) = (-∞;+∞)
y = อาร์คซิน x	อี(y) = [-π/2 ;
พาย/2]	y = ส่วนโค้ง x
อี(ย) =	y = อาร์คแทน x
อี(y) = (-π/2 ; π/2)	y = ส่วนโค้ง x

อี(y) = (0; π)

โปรดทราบว่าช่วงของค่าพหุนามใดๆ ที่เป็นระดับคู่คือช่วง โดยที่ n คือค่าที่ใหญ่ที่สุดของพหุนามนี้

หากต้องการค้นหาชุดค่าของฟังก์ชันให้สำเร็จ คุณต้องมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน โดยเฉพาะโดเมนของคำจำกัดความ ช่วงของค่า และลักษณะของความซ้ำซากจำเจ ให้เรานำเสนอคุณสมบัติของฟังก์ชันหาอนุพันธ์แบบโมโนโทนต่อเนื่องซึ่งใช้บ่อยที่สุดเมื่อค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน

ตามกฎแล้ว คุณสมบัติ 2 และ 3 จะใช้ร่วมกับคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานเพื่อให้ต่อเนื่องกันในโดเมนของคำจำกัดความ ในกรณีนี้วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายและรัดกุมที่สุดในการค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันนั้นทำได้โดยอาศัยคุณสมบัติ 1 หากเป็นไปได้ที่จะกำหนดความน่าเบื่อของฟังก์ชันโดยใช้วิธีการง่าย ๆ การแก้ปัญหาจะง่ายกว่านี้อีกหากฟังก์ชันยังเป็นเลขคู่หรือคี่ เป็นงวด เป็นต้น ดังนั้นเมื่อแก้ไขปัญหาในการค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันเราควรตรวจสอบและใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อไปนี้ตามความจำเป็น:

• ความต่อเนื่อง;
• โมโนโทน;
• ความแตกต่าง;
• คู่ คี่ ช่วงเวลา ฯลฯ

งานง่าย ๆ ในการค้นหาชุดค่าของฟังก์ชันส่วนใหญ่จะเน้นไปที่:

ก) ใช้การประมาณการและข้อจำกัดที่ง่ายที่สุด: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 ฯลฯ)

b) เพื่อแยกกำลังสองที่สมบูรณ์: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;

c) เพื่อแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) การใช้ความน่าเบื่อของฟังก์ชัน x 1/3 + 2 x-1 เพิ่มขึ้นโดย R

ที่สาม ลองพิจารณาวิธีหาช่วงของฟังก์ชันกัน

ก) การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามลำดับ
ข) วิธีการประมาณค่า
c) การใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่องและความซ้ำซ้อนของฟังก์ชัน
d) การใช้อนุพันธ์;
e) การใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน
f) วิธีกราฟิก
g) วิธีการป้อนพารามิเตอร์
h) วิธีการฟังก์ชันผกผัน

ให้เราเปิดเผยสาระสำคัญของวิธีการเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1: ค้นหาช่วง อี(ญ)ฟังก์ชัน y = บันทึก 0.5 (4 – 2 3 x – 9 x)

ลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยการค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามลำดับ การเลือกกำลังสองสมบูรณ์ภายใต้ลอการิทึม เราจะแปลงฟังก์ชัน

y = บันทึก 0.5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = บันทึก 0.5 (5 – (3 x + 1) 2)

และเราจะค้นหาชุดค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนตามลำดับ:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

มาแสดงกันเถอะ ที= 5 – (3 x +1) 2 โดยที่ -∞≤ t≤4- ดังนั้นปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการค้นหาเซตของค่าของฟังก์ชัน y = log 0.5 t บนรังสี (-∞;4) - เนื่องจากฟังก์ชัน y = log 0.5 t ถูกกำหนดไว้สำหรับเท่านั้น ชุดของค่าบนเรย์ (-∞;4) เกิดขึ้นพร้อมกับชุดของค่าฟังก์ชันในช่วงเวลา (0;4) ซึ่งเป็นจุดตัด ของรังสี (-∞;4) โดยมีโดเมนคำจำกัดความ (0;+∞) ของฟังก์ชันลอการิทึม ในช่วงเวลา (0;4) ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องและลดลง ที่ ที> 0 มีแนวโน้มว่าจะ +∞ และเมื่อใด เสื้อ = 4 รับค่า -2 ดังนั้น อี(ย) =(-2, +∞).

ตัวอย่างที่ 2: ค้นหาช่วงของฟังก์ชัน

y = cos7x + 5cosx

ลองแก้ตัวอย่างนี้โดยใช้วิธีการประมาณค่า ซึ่งมีสาระสำคัญคือการประมาณค่าฟังก์ชันต่อเนื่องจากด้านล่างและด้านบน และเพื่อพิสูจน์ว่าฟังก์ชันถึงขอบเขตล่างและบนของการประมาณค่า ในกรณีนี้ความบังเอิญของชุดของค่าฟังก์ชันที่มีช่วงเวลาจากขอบเขตล่างของการประมาณค่าถึงค่าบนจะถูกกำหนดโดยความต่อเนื่องของฟังก์ชันและการไม่มีค่าอื่น ๆ

จากความไม่เท่าเทียมกัน -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 เราได้ค่าประมาณ -6≤y?6 ที่ x = p และ x = 0 ฟังก์ชันรับค่า -6 และ 6 เช่น ถึงขอบเขตล่างและบนของการประมาณการ เนื่องจากเป็นการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันต่อเนื่อง cos7x และ cosx ฟังก์ชัน y จะต่อเนื่องบนแกนจำนวนทั้งหมด ดังนั้นด้วยคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง จึงรับค่าทั้งหมดตั้งแต่ -6 ถึง 6 รวมและมีเพียงค่าเหล่านี้เท่านั้น เนื่องจาก เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน -6≤y?6 ค่าอื่น ๆ จึงเป็นไปไม่ได้สำหรับเธอ เพราะฉะนั้น, อี(ญ)= [-6;6].

ตัวอย่างที่ 3: ค้นหาช่วง อี(ฉ)ฟังก์ชั่น ฉ(x)= cos2x + 2cosx

โดยใช้สูตรโคไซน์มุมคู่ เราจะแปลงฟังก์ชัน ฉ(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 และแสดงถึง ที=คอสเอ็กซ์ แล้ว ฉ(x)= 2t 2 + 2t – 1 เนื่องจาก อี(คอสเอ็กซ์) =

[-1;1] จากนั้นคือช่วงของค่าของฟังก์ชัน ฉ(x)เกิดขึ้นพร้อมกับชุดของค่าของฟังก์ชัน g (เสื้อ)= 2t 2 + 2t – 1 บนเซ็กเมนต์ [-1;1] ซึ่งเราพบในรูปแบบกราฟิก เมื่อพล็อตฟังก์ชัน y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0.5) 2 – 1.5 ในช่วงเวลา [-1;1] เราจะพบว่า อี(ฉ) = [-1,5; 3].

หมายเหตุ: ปัญหามากมายเกี่ยวกับพารามิเตอร์จะลดลงในการค้นหาชุดค่าของฟังก์ชันซึ่งส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับความสามารถในการแก้และจำนวนวิธีแก้สมการและอสมการ ตัวอย่างเช่นสมการ ฉ(x)= a สามารถแก้ไขได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น

อี(ฉ)ในทำนองเดียวกันสมการ ฉ(x)= a มีอย่างน้อยหนึ่งรูตที่อยู่ในบางช่วง X หรือไม่มีรูทเดียวในช่วงเวลานี้หากและเฉพาะในกรณีที่ a เป็นหรือไม่ได้อยู่ในชุดของค่าของฟังก์ชัน ฉ(x)ในช่วงเวลา X ศึกษาโดยใช้ชุดค่าฟังก์ชันและอสมการด้วย ฉ(x)≠เอ, ฉ(x)>ก ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฉ(x)≠และสำหรับค่า x ที่ยอมรับได้ทั้งหมด ถ้า E(f)

ตัวอย่างที่ 4 สำหรับค่าของพารามิเตอร์ a สมการ (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) มีรูตเดียวในช่วงเวลา [-4;-1]

ลองเขียนสมการในรูปแบบ (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a สมการสุดท้ายมีอย่างน้อยหนึ่งรูตในช่วงเวลา [-4;-1] ถ้าหาก a อยู่ในชุดของค่าของฟังก์ชัน ฉ(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) บนส่วน [-4;-1] ลองหาเซตนี้โดยใช้คุณสมบัติของความต่อเนื่องและความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

ในช่วงเวลา [-4;-1] ฟังก์ชัน y = xІ + 4 ต่อเนื่อง ลดลงและเป็นบวก ดังนั้นฟังก์ชันนี้ ก.(x) = 1/(x 2 + 4) มีความต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นในส่วนนี้ เนื่องจากเมื่อหารด้วยฟังก์ชันบวก ธรรมชาติของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม การทำงาน ชั่วโมง(x) =(x + 5) 1/2 มีความต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นในขอบเขตคำจำกัดความ ด(ซ) =[-5;+∞) และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วน [-4;-1] โดยที่เป็นบวกด้วย แล้วฟังก์ชัน ฉ(x)=ก(x) ชั่วโมง(x)เนื่องจากผลคูณของฟังก์ชันต่อเนื่องเพิ่มขึ้นและบวกสองฟังก์ชันก็ต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ [-4;-1] ดังนั้นชุดของค่าบน [-4;-1] คือเซ็กเมนต์ [ ฉ(-4); ฉ(-1)- ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบในช่วงเวลา [-4;-1] และคำตอบเฉพาะ (โดยคุณสมบัติของฟังก์ชันโมโนโทนิกต่อเนื่อง) สำหรับ 0.05 ≤ a ≤ 0.4

ความคิดเห็น การแก้สมการได้ ฉ(x) = กในช่วงเวลาหนึ่ง X เทียบเท่ากับการอยู่ในค่าของพารามิเตอร์ กชุดของค่าฟังก์ชัน ฉ(x)บน X ดังนั้นเซตของค่าของฟังก์ชัน ฉ(x)ในช่วง X เกิดขึ้นพร้อมกับชุดของค่าพารามิเตอร์ กซึ่งสมการนี้ ฉ(x) = กมีอย่างน้อยหนึ่งรากในช่วง X โดยเฉพาะช่วงของค่า อี(ฉ)ฟังก์ชั่น ฉ(x)ตรงกับชุดของค่าพารามิเตอร์ กซึ่งสมการนี้ ฉ(x) = กมีอย่างน้อยหนึ่งราก

ตัวอย่างที่ 5: ค้นหาช่วง อี(ฉ)ฟังก์ชั่น

ให้เราแก้ตัวอย่างโดยแนะนำพารามิเตอร์ตามนั้น อี(ฉ)ตรงกับชุดของค่าพารามิเตอร์ กซึ่งสมการนี้

มีอย่างน้อยหนึ่งราก

เมื่อ a = 2 สมการจะเป็นเส้นตรง - 4x - 5 = 0 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์สำหรับ x ที่ไม่ทราบค่า จึงมีคำตอบ สำหรับ a≠2 สมการนี้เป็นกำลังสอง ดังนั้นจึงแก้ได้ก็ต่อเมื่อสมการจำแนกเท่านั้น

เนื่องจากจุด a = 2 เป็นของกลุ่ม

จากนั้นชุดค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการ เอ,ดังนั้นช่วงของค่า อี(ฉ)จะเป็นทั้งเซ็กเมนต์

จากการพัฒนาโดยตรงของวิธีการแนะนำพารามิเตอร์เมื่อค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน เราสามารถพิจารณาวิธีการของฟังก์ชันผกผันเพื่อค้นหาว่าสิ่งใดบ้างที่จำเป็นในการแก้สมการของ x ฉ(x)=yโดยพิจารณาว่า y เป็นพารามิเตอร์ หากสมการนี้มีคำตอบเฉพาะ x =ก(ย)แล้วตามด้วยช่วงของค่า อี(ฉ)ฟังก์ชั่นดั้งเดิม ฉ(x)ตรงกับขอบเขตของคำจำกัดความ ดี(ก)ฟังก์ชันผกผัน ก(ย)- ถ้าสมการ ฉ(x)=yมีวิธีแก้ปัญหาหลายประการ x =ก.1 (ย), x =ก.2 (ย)ฯลฯ แล้ว อี(ฉ)เท่ากับการรวมกันของโดเมนของฟังก์ชัน ก 1 (ย) ก 2 (ย)ฯลฯ

ตัวอย่างที่ 6: ค้นหาช่วง อี(ญ)ฟังก์ชัน y = 5 2/(1-3x)

จากสมการ

มาหาฟังก์ชันผกผัน x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) และโดเมนของคำจำกัดความ ง(x):

เนื่องจากสมการของ x มีวิธีแก้เฉพาะตัว

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ )

หากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันประกอบด้วยหลายช่วงเวลาหรือฟังก์ชันในช่วงเวลาที่แตกต่างกันได้รับจากสูตรที่แตกต่างกันดังนั้นในการค้นหาโดเมนของค่าของฟังก์ชันจำเป็นต้องค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชัน ในแต่ละช่วงเวลาและรวมกลุ่มกัน

ตัวอย่างที่ 7: ค้นหาช่วง ฉ(x)และ ฉ(ฉ(x)), ที่ไหน

ฉ(x)บนรังสี (-∞;1) ซึ่งตรงกับนิพจน์ 4 x + 9 4 -x + 3 ให้เราแสดงว่า เสื้อ = 4 x- แล้ว ฉ(x) = เสื้อ + 9/เสื้อ + 3โดยที่ 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции ฉ(x)บนเรย์ (-∞;1] เกิดขึ้นพร้อมกับชุดค่าของฟังก์ชัน ก.(ที) = เสื้อ + 9/เสื้อ + 3ในช่วงเวลา (0;4) ซึ่งเราพบว่าใช้อนุพันธ์ ก.(เสื้อ) = 1 – 9/เสื้อ 2- ในช่วงเวลา (0;4] อนุพันธ์ ก'(ที)ถูกกำหนดไว้แล้วหายไป ณ ที่นั้น เสื้อ = 3- เวลา 0<ที<3 она отрицательна, а при 3<ที<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция ก.(ที)ลดลง และในช่วงเวลา (3;4) จะเพิ่มขึ้น โดยยังคงต่อเนื่องตลอดช่วงทั้งหมด (0;4) ดังนั้น g (3)= 9 – ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลา (0;4] ในขณะที่ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดไม่มีอยู่ ดังนั้นเมื่อ เสื้อ → 0ฟังก์ชั่นทางด้านขวา ก.(t)→+∞จากนั้นด้วยคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง ชุดของค่าของฟังก์ชัน ก.(ที)ในช่วงเวลา (0;4) และดังนั้นจึงเป็นชุดของค่า ฉ(x)บน (-∞;-1) ก็จะมีรังสี

ตอนนี้รวมช่วงเวลา - ชุดของค่าฟังก์ชัน ฉ(ฉ(x)), แสดงถึง เสื้อ = ฉ(x)- แล้ว ฉ(ฉ(x)) = ฉ(ที)โดยที่ สำหรับที่ระบุไว้ ทีการทำงาน ฉ(ที)= 2คอส( x-1) 1/2+ 7 และใช้ค่าทั้งหมดตั้งแต่ 5 ถึง 9 อีกครั้งนั่นคือ พิสัย E(ฉІ) = E(ฉ(f(x))) =.

ในทำนองเดียวกันแสดงถึง z = ฉ(ฉ(x))คุณสามารถค้นหาช่วงของค่าได้ อี(ฉ 3)ฟังก์ชั่น ฉ(ฉ(ฉ(x))) = ฉ(z)โดยที่ 5 ≤ z ≤ 9 เป็นต้น ตรวจสอบให้แน่ใจ จ(ฉ 3) = .

วิธีการที่เป็นสากลที่สุดในการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชันคือการใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 8 ค่าพารามิเตอร์ใด รอสมการ 8 x - ร ≠ 2 x+1 – 2 xถือไว้สำหรับ -1 ≤ x ทั้งหมด< 2.

กำหนดแล้ว เสื้อ = 2xเราเขียนอสมการในรูปแบบ р ≠ เสื้อ 3 – 2t 2 + เสื้อ- เพราะ เสื้อ = 2x– เปิดฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง อาร์จากนั้นสำหรับ -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ ที<2 2 ↔

0.5 ≤ ที< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда รแตกต่างจากค่าฟังก์ชัน ฉ(เสื้อ) = เสื้อ 3 – 2t 2 + เสื้อที่ 0.5 ≤ เสื้อ< 4.

ก่อนอื่นเรามาค้นหาเซตของค่าของฟังก์ชันกันก่อน ฉ(ที)ในส่วนที่มีอนุพันธ์อยู่ทุกที่ ฉ’(t) =3t 2 – 4t + 1- เพราะฉะนั้น, ฉ(ที)สามารถหาอนุพันธ์ได้ และดังนั้นจึงต่อเนื่องกันตามช่วงเวลา จากสมการ ฉ(t) = 0หาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน เสื้อ = 1/3, เสื้อ = 1,อันแรกไม่ได้อยู่ในเซ็กเมนต์ และอันที่สองเป็นของกลุ่มนั้น เพราะ ฉ(0.5) = 1/8, ฉ(1) = 0, ฉ(4) = 36,จากนั้น ตามคุณสมบัติของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ 0 คือค่าที่น้อยที่สุด และ 36 คือค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ฉ(ที)บนส่วน แล้ว ฉ(ที)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยจะใช้ตามช่วงเวลาของค่าทั้งหมดตั้งแต่ 0 ถึง 36 และค่า 36 จะใช้เฉพาะเมื่อ เสื้อ=4ดังนั้นสำหรับ 0.5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }