ที่มาของสูตรสำหรับเลขลำดับที่ n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร? ตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมเฉลย คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

เมื่อเรียนพีชคณิตใน โรงเรียนมัธยมศึกษา(ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9) หัวข้อสำคัญอย่างหนึ่งคือการศึกษาลำดับจำนวนซึ่งรวมถึงความก้าวหน้า - เรขาคณิตและเลขคณิต ในบทความนี้ เราจะดูความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และตัวอย่างพร้อมคำตอบ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ จำเป็นต้องกำหนดความก้าวหน้าในคำถาม พร้อมทั้งเตรียมสูตรพื้นฐานที่จะใช้ในการแก้ปัญหาในภายหลัง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตคือชุดของจำนวนตรรกยะเรียงลำดับ ซึ่งแต่ละเทอมจะแตกต่างจากค่าก่อนหน้าด้วยค่าคงที่บางค่า ค่านี้เรียกว่าส่วนต่าง นั่นคือการรู้จักสมาชิกของชุดตัวเลขที่เรียงลำดับและความแตกต่างคุณสามารถคืนค่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดได้

ลองยกตัวอย่าง ลำดับตัวเลขต่อไปนี้จะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: 4, 8, 12, 16, ... เนื่องจากความแตกต่างในกรณีนี้คือ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) แต่ชุดของตัวเลข 3, 5, 8, 12, 17 ไม่สามารถนำมาประกอบกับประเภทของความก้าวหน้าที่กำลังพิจารณาได้อีกต่อไปเนื่องจากความแตกต่างนั้นไม่ใช่ค่าคงที่ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12)

สูตรสำคัญ

ตอนนี้เราขอนำเสนอสูตรพื้นฐานที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการใช้งาน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- ให้เราแสดงด้วยสัญลักษณ์ a n สมาชิกตัวที่ n ของลำดับ โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม เราแสดงความแตกต่างด้วยตัวอักษรละติน d ดังนั้นนิพจน์ต่อไปนี้จึงถูกต้อง:

1. เพื่อกำหนดค่าของเทอมที่ n สูตรต่อไปนี้มีความเหมาะสม: a n = (n-1)*d+a 1
2. วิธีหาผลรวมของ n เทอมแรก: S n = (a n +a 1)*n/2

เพื่อให้เข้าใจตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเฉลยในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ก็เพียงพอที่จะจำสูตรทั้งสองนี้ได้เนื่องจากปัญหาประเภทใด ๆ ที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นขึ้นอยู่กับการใช้งาน คุณควรจำไว้ว่าส่วนต่างของความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยสูตร: d = a n - a n-1

ตัวอย่าง #1: การค้นหาคำที่ไม่รู้จัก

เราจะยกตัวอย่างง่ายๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และสูตรที่จำเป็นต้องใช้ในการแก้โจทย์

ให้ลำดับ 10, 8, 6, 4, ... คุณต้องหาคำศัพท์ห้าคำในนั้น

จากเงื่อนไขของปัญหาก็เป็นไปตามที่ทราบ 4 คำแรกแล้ว ห้าสามารถกำหนดได้สองวิธี:

1. ก่อนอื่นมาคำนวณความแตกต่างกันก่อน เรามี: d = 8 - 10 = -2 ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถพาสมาชิกอีกสองคนมายืนอยู่ข้างๆ กันก็ได้ ตัวอย่างเช่น d = 4 - 6 = -2 เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่า d = a n - a n-1 ดังนั้น d = a 5 - a 4 ซึ่งเราได้รับ: a 5 = a 4 + d มาทดแทนกัน ค่านิยมที่ทราบ: ก 5 = 4 + (-2) = 2
2. วิธีที่สองยังต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับความแตกต่างของความก้าวหน้าที่เป็นปัญหา ดังนั้นคุณต้องพิจารณาก่อนดังที่แสดงไว้ด้านบน (d = -2) เมื่อรู้ว่าเทอมแรก a 1 = 10 เราใช้สูตรสำหรับจำนวน n ของลำดับ เรามี: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n เมื่อแทน n = 5 ลงในนิพจน์สุดท้าย เราจะได้: a 5 = 12-2 * 5 = 2

อย่างที่คุณเห็น ทั้งสองวิธีนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ผลต่างความก้าวหน้า d เป็นค่าลบ ลำดับดังกล่าวเรียกว่าการลดลง เนื่องจากแต่ละเทอมถัดไปจะน้อยกว่าลำดับก่อนหน้า

ตัวอย่างที่ 2: ความแตกต่างในความก้าวหน้า

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นอีกหน่อย เรามายกตัวอย่างว่าทำอย่างไร

เป็นที่ทราบกันว่าในบางเทอมที่ 1 มีค่าเท่ากับ 6 และเทอมที่ 7 เท่ากับ 18 มีความจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างและคืนค่าลำดับนี้เป็นเทอมที่ 7

ลองใช้สูตรเพื่อกำหนดคำที่ไม่รู้จัก: a n = (n - 1) * d + a 1 ลองแทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไขลงไปนั่นคือตัวเลข a 1 และ 7 เรามี: 18 = 6 + 6 * d จากนิพจน์นี้ คุณสามารถคำนวณความแตกต่างได้อย่างง่ายดาย: d = (18 - 6) /6 = 2 ดังนั้นเราจึงได้ตอบส่วนแรกของปัญหาแล้ว

ในการคืนลำดับให้เป็นเทอมที่ 7 คุณควรใช้คำจำกัดความของการก้าวหน้าทางพีชคณิต นั่นคือ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d และอื่นๆ เป็นผลให้เรากู้คืนลำดับทั้งหมด: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , 6 = 14 + 2 = 16, 7 = 18

ตัวอย่างที่ 3: วาดความก้าวหน้า

มาทำให้มันซับซ้อนยิ่งขึ้น สภาพที่แข็งแกร่งขึ้นงาน ตอนนี้เราต้องตอบคำถามว่าจะหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร สามารถให้ตัวอย่างต่อไปนี้: ให้ตัวเลขสองตัวเช่น - 4 และ 5 มีความจำเป็นต้องสร้างความก้าวหน้าทางพีชคณิตเพื่อให้มีคำศัพท์อีกสามคำอยู่ระหว่างคำเหล่านี้

ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ไขปัญหานี้ คุณต้องเข้าใจว่าตัวเลขที่ให้มาจะอยู่ในตำแหน่งใดในความก้าวหน้าในอนาคต เนื่องจากจะมีคำศัพท์อีกสามคำระหว่างกัน ดังนั้น 1 = -4 และ 5 = 5 เมื่อสร้างสิ่งนี้แล้ว เราจึงไปยังปัญหาซึ่งคล้ายกับปัญหาก่อนหน้า อีกครั้ง สำหรับเทอมที่ n เราใช้สูตร เราได้: a 5 = a 1 + 4 * d จาก: d = (ก 5 - ก 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25 สิ่งที่เราได้มานี้ไม่ใช่ค่าจำนวนเต็มของความแตกต่าง แต่เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นสูตรสำหรับการก้าวหน้าทางพีชคณิตจึงยังคงเหมือนเดิม

ทีนี้มาเพิ่มความแตกต่างที่พบให้กับ 1 และเรียกคืนเงื่อนไขที่ขาดหายไปของความก้าวหน้า เราได้รับ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5 ซึ่งใกล้เคียงกัน ด้วยเงื่อนไขของปัญหา

ตัวอย่างที่ 4: ระยะแรกของความก้าวหน้า

เราจะยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมเฉลยต่อไป ในปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมด ทราบจำนวนแรกของความก้าวหน้าทางพีชคณิต ทีนี้ลองพิจารณาปัญหาประเภทอื่น: ให้ระบุตัวเลขสองตัว โดยที่ 15 = 50 และ 43 = 37 จำเป็นต้องค้นหาว่าลำดับนี้ขึ้นต้นด้วยตัวเลขใด

สูตรที่ใช้จนถึงขณะนี้ถือว่าความรู้เกี่ยวกับ 1 และ d ในคำชี้แจงปัญหา ไม่มีใครทราบเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม เราจะเขียนนิพจน์สำหรับแต่ละเทอมเกี่ยวกับข้อมูลที่มีอยู่: a 15 = a 1 + 14 * d และ 43 = a 1 + 42 * d เราได้รับสมการสองสมการซึ่งมีปริมาณที่ไม่ทราบจำนวน 2 ปริมาณ (a 1 และ d) ซึ่งหมายความว่าปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ระบบนี้คือแสดง 1 ในแต่ละสมการ แล้วเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์ สมการแรก: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; สมการที่สอง: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d เมื่อเทียบนิพจน์เหล่านี้เราจะได้: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d ดังนั้นความแตกต่าง d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (ให้ทศนิยม 3 ตำแหน่งเท่านั้น)

เมื่อรู้ d แล้ว คุณสามารถใช้ 2 สำนวนข้างต้นเป็น 1 ได้ ตัวอย่างเช่น อย่างแรก: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้ก็สามารถตรวจสอบได้ เช่น กำหนดระยะความก้าวหน้าที่ 43 ซึ่งระบุไว้ในเงื่อนไข เราได้: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008 ข้อผิดพลาดเล็กน้อยเกิดจากการใช้การปัดเศษเป็นพันในการคำนวณ

ตัวอย่างหมายเลข 5: จำนวนเงิน

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างต่างๆ พร้อมคำตอบสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

ให้แสดงความก้าวหน้าเชิงตัวเลขของแบบฟอร์มต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4, ..., จะคำนวณผลรวมของ 100 ของตัวเลขเหล่านี้ได้อย่างไร?

ด้วยการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์จึงเป็นไปได้ที่จะแก้ไขปัญหานี้นั่นคือการเพิ่มตัวเลขทั้งหมดตามลำดับซึ่งคอมพิวเตอร์จะทำทันทีที่มีคนกดปุ่ม Enter อย่างไรก็ตามปัญหาสามารถแก้ไขได้ทางจิตหากคุณใส่ใจกับความจริงที่ว่าชุดตัวเลขที่นำเสนอนั้นเป็นความก้าวหน้าทางพีชคณิตและผลต่างเท่ากับ 1 เมื่อใช้สูตรสำหรับผลรวมเราจะได้: S n = n * ( ก 1 + ก n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าปัญหานี้เรียกว่า "เกาส์เซียน" เพราะใน ต้น XVIIIศตวรรษ ชาวเยอรมันผู้โด่งดังแม้จะอายุเพียง 10 ขวบก็สามารถแก้ปัญหาในหัวได้ภายในไม่กี่วินาที เด็กชายไม่ทราบสูตรสำหรับผลรวมของการก้าวหน้าทางพีชคณิต แต่เขาสังเกตว่าถ้าคุณบวกตัวเลขที่ท้ายลำดับเป็นคู่ คุณจะได้ผลลัพธ์เหมือนเดิมเสมอ นั่นคือ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... และเนื่องจากผลรวมเหล่านี้จะเท่ากับ 50 (100/2) พอดี ดังนั้นเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง ก็เพียงพอที่จะคูณ 50 ด้วย 101

ตัวอย่างที่ 6: ผลรวมของเงื่อนไขตั้งแต่ n ถึง m

อีกตัวอย่างทั่วไปของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีดังต่อไปนี้: เมื่อพิจารณาชุดตัวเลข: 3, 7, 11, 15, ... คุณต้องค้นหาว่าผลรวมของคำศัพท์ตั้งแต่ 8 ถึง 14 จะเท่ากับเท่าใด .

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสองวิธี วิธีแรกเกี่ยวข้องกับการค้นหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จักตั้งแต่ 8 ถึง 14 แล้วจึงรวมคำศัพท์ตามลำดับ เนื่องจากมีคำศัพท์ไม่มาก วิธีการนี้จึงใช้แรงงานคนไม่มาก อย่างไรก็ตามมีการเสนอให้แก้ไขปัญหานี้โดยใช้วิธีที่สองซึ่งเป็นสากลมากกว่า

แนวคิดคือการหาสูตรสำหรับผลรวมของการก้าวหน้าทางพีชคณิตระหว่างพจน์ m และ n โดยที่ n > m เป็นจำนวนเต็ม สำหรับทั้งสองกรณี เราจะเขียนนิพจน์สองนิพจน์เพื่อสรุปผลรวม:

1. S ม. = ม. * (ม. + ก 1) / 2
2. S n = n * (a n + a 1) / 2

เนื่องจาก n > m เห็นได้ชัดว่าผลรวมที่สองรวมผลรวมแรกด้วย ข้อสรุปสุดท้ายหมายความว่าถ้าเราหาผลต่างระหว่างผลรวมเหล่านี้แล้วบวกคำว่า a m ลงไป (ในกรณีที่นำผลต่างมาลบออกจากผลรวม S n) เราก็จะได้คำตอบที่จำเป็นของปัญหา เรามี: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + ม. * (1- ม./2) จำเป็นต้องแทนที่สูตรสำหรับ n และ a m ในนิพจน์นี้ จากนั้นเราจะได้: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - ม. / 2) = ก 1 * (น - ม. + 1) + ง * n * (n - 1) / 2 + ง *(3 * ม. - ม. 2 - 2) / 2

สูตรผลลัพธ์ค่อนข้างยุ่งยาก แต่ผลรวม S mn ขึ้นอยู่กับ n, m, 1 และ d เท่านั้น ในกรณีของเรา a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8 เมื่อแทนตัวเลขเหล่านี้ เราจะได้: S mn = 301

ดังที่เห็นได้จากวิธีแก้ปัญหาข้างต้น ปัญหาทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับนิพจน์สำหรับเทอมที่ n และสูตรสำหรับผลรวมของเซตของเทอมแรก ก่อนที่จะเริ่มแก้ไขปัญหาใดๆ เหล่านี้ ขอแนะนำให้คุณอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียด ทำความเข้าใจอย่างชัดเจนถึงสิ่งที่คุณต้องค้นหา จากนั้นจึงดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป

เคล็ดลับอีกประการหนึ่งคือการมุ่งมั่นเพื่อความเรียบง่าย กล่าวคือ หากคุณสามารถตอบคำถามได้โดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คุณก็จำเป็นต้องทำเช่นนั้น เนื่องจากในกรณีนี้ โอกาสที่จะทำผิดพลาดมีน้อยกว่า ตัวอย่างเช่นในตัวอย่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีแก้ปัญหาหมายเลข 6 เราสามารถหยุดที่สูตร S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m และ แบ่งปัญหาโดยรวมออกเป็นงานย่อยแยกกัน (ในกรณีนี้ หาเงื่อนไข a n และ a m ก่อน)

หากคุณมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้ ขอแนะนำให้ตรวจสอบดังที่ได้ดำเนินการไปแล้วในตัวอย่างบางส่วนที่ให้ไว้ เราพบวิธีค้นหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้าคุณเข้าใจ มันก็ไม่ใช่เรื่องยากขนาดนั้น

หรือเลขคณิตเป็นลำดับตัวเลขประเภทหนึ่งซึ่งมีการศึกษาคุณสมบัติต่างๆ หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิต. บทความนี้จะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับคำถามว่าจะหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร

นี่มันก้าวหน้าขนาดไหนเนี่ย?

ก่อนที่จะไปยังคำถาม (วิธีค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์) ควรทำความเข้าใจกับสิ่งที่เรากำลังพูดถึง

ลำดับของจำนวนจริงใดๆ ที่ได้รับโดยการบวก (ลบ) ค่าบางส่วนจากจำนวนก่อนหน้าแต่ละตัว เรียกว่าความก้าวหน้าทางพีชคณิต (เลขคณิต) คำจำกัดความนี้เมื่อแปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์จะอยู่ในรูปแบบ:

โดยที่ i คือหมายเลขลำดับขององค์ประกอบของแถว a i ดังนั้นเมื่อทราบหมายเลขเริ่มต้นเพียงหมายเลขเดียว คุณจึงสามารถกู้คืนทั้งชุดได้อย่างง่ายดาย พารามิเตอร์ d ในสูตรเรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้า

สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าสำหรับชุดตัวเลขที่พิจารณาจะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

n = a 1 + d * (n - 1)

กล่าวคือ หากต้องการค้นหาค่าขององค์ประกอบที่ n ตามลำดับ คุณควรบวกผลต่าง d เข้ากับองค์ประกอบแรกด้วย 1 n-1 คูณ

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร: สูตร

ก่อนที่จะให้สูตรตามจำนวนที่ระบุควรพิจารณากรณีพิเศษง่ายๆ ก่อน เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 10 คุณจะต้องค้นหาผลรวมของจำนวนเหล่านั้น เนื่องจากมีคำศัพท์ไม่กี่คำในการก้าวหน้า (10) จึงเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาแบบตรงหน้า กล่าวคือ รวมองค์ประกอบทั้งหมดตามลำดับ

ส 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

ควรพิจารณาสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: เนื่องจากแต่ละเทอมแตกต่างจากเทอมถัดไปด้วยค่าเดียวกัน d = 1 ดังนั้นผลรวมแบบคู่ของเทอมแรกกับเทอมที่สิบ, เทอมที่สองกับเทอมเก้าและอื่น ๆ จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน จริงหรือ:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

อย่างที่คุณเห็นมีเพียง 5 ผลรวมเหล่านี้ซึ่งน้อยกว่าจำนวนองค์ประกอบของอนุกรมถึงสองเท่า จากนั้นคูณจำนวนผลรวม (5) ด้วยผลลัพธ์ของแต่ละผลรวม (11) คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ได้รับในตัวอย่างแรก

หากเราสรุปข้อโต้แย้งเหล่านี้ เราสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้:

S n = n * (ก 1 + n) / 2

นิพจน์นี้แสดงให้เห็นว่าไม่จำเป็นเลยที่จะรวมองค์ประกอบทั้งหมดในแถว ก็เพียงพอที่จะทราบค่าของ 1 ตัวแรกและ n ตัวสุดท้ายตลอดจนจำนวนพจน์ทั้งหมด n

เชื่อกันว่าเกาส์คิดถึงความเท่าเทียมกันนี้เป็นครั้งแรกเมื่อเขามองหาวิธีแก้ไขปัญหาที่ครูในโรงเรียนมอบให้: รวมจำนวนเต็ม 100 ตัวแรก

ผลรวมขององค์ประกอบจาก m ถึง n: สูตร

สูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ตอบคำถามว่าจะหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร (องค์ประกอบแรก) แต่บ่อยครั้งที่มีปัญหาจำเป็นต้องรวมชุดตัวเลขไว้ตรงกลางของความก้าวหน้า วิธีการทำเช่นนี้?

วิธีที่ง่ายที่สุดในการตอบคำถามนี้คือการพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ปล่อยให้จำเป็นต้องค้นหาผลรวมของคำศัพท์ตั้งแต่เดือนถึงอันดับที่ n ในการแก้ปัญหา คุณควรนำเสนอส่วนที่กำหนดตั้งแต่ m ถึง n ของความก้าวหน้าในรูปแบบของชุดตัวเลขใหม่ ในมุมมองนี้ เทอมเดือน m จะเป็นอันดับแรก และ n จะเป็นหมายเลข n-(m-1) ในกรณีนี้ เมื่อใช้สูตรมาตรฐานสำหรับผลรวม จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2

ตัวอย่างการใช้สูตร

เมื่อทราบวิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ควรพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ของการใช้สูตรข้างต้น

ด้านล่างนี้เป็นลำดับตัวเลข คุณควรหาผลรวมของคำศัพท์ โดยเริ่มจากอันดับที่ 5 และลงท้ายด้วยอันดับที่ 12:

ตัวเลขที่ระบุระบุว่าส่วนต่าง d เท่ากับ 3 การใช้นิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่ n คุณสามารถค้นหาค่าของเงื่อนไขที่ 5 และ 12 ของความก้าวหน้าได้ ปรากฎว่า:

5 = 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

12 = 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29

การทราบค่าของตัวเลขที่ส่วนท้ายของความก้าวหน้าทางพีชคณิตที่กำลังพิจารณารวมถึงการรู้ว่าตัวเลขใดในชุดข้อมูลที่พวกเขาครอบครองคุณสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้า ปรากฎว่า:

ส 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148

เป็นที่น่าสังเกตว่าค่านี้สามารถหาได้แตกต่างออกไป ขั้นแรกให้หาผลรวมขององค์ประกอบ 12 องค์ประกอบแรกโดยใช้สูตรมาตรฐาน จากนั้นคำนวณผลรวมขององค์ประกอบ 4 รายการแรกโดยใช้สูตรเดียวกัน จากนั้นลบองค์ประกอบที่สองจากผลรวมแรก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ข้อมูลทางทฤษฎี

ข้อมูลทางทฤษฎี

	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งคือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับสมาชิกตัวก่อนหน้าบวกกับจำนวนเดียวกัน ง (ง- ความแตกต่างความก้าวหน้า)	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บีเอ็นคือลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีมีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ถาม (ถาม- ตัวส่วนของความก้าวหน้า)
สูตรการเกิดซ้ำ	สำหรับธรรมชาติใดๆ n n + 1 = n + d	สำหรับธรรมชาติใดๆ n bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
สูตรเทอมที่ n	n = 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
คุณสมบัติลักษณะ
ผลรวมของพจน์ n แรก

ตัวอย่างงานพร้อมข้อคิดเห็น

ภารกิจที่ 1

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6, 2

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1+ ง (22 - 1) = 1+ 21 วัน

ตามเงื่อนไข:

1= -6 แล้ว 22= -6 + 21 วัน .

จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

คำตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 2

ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....

วิธีที่ 1 (ใช้สูตร n-term)

ตามสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ข 5 = ข 1 ∙ ค 5 - 1 = ข 1 ∙ คิว 4.

เพราะ ข 1 = -3,

วิธีที่ 2 (ใช้สูตรเกิดซ้ำ)

เนื่องจากตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:

ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ข 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

คำตอบ : ข 5 = -48.

ภารกิจที่ 3

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( และ ) ก 74 = 34; 76= 156 จงหาพจน์ที่เจ็ดสิบห้าของความก้าวหน้านี้

สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติเฉพาะจะมีรูปแบบ .

จากนี้จะเป็นดังนี้:

.

ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:

คำตอบ: 95.

ภารกิจที่ 4

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( ก ) ก= 3n - 4 ค้นหาผลรวมของพจน์สิบเจ็ดตัวแรก

หากต้องการหาผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะใช้สูตร 2 สูตรดังนี้

.

อันไหนสะดวกกว่าที่จะใช้ในกรณีนี้?

ตามเงื่อนไข จะทราบสูตรสำหรับระยะที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิม ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4 คุณสามารถค้นหาได้ทันทีและ 1, และ 16โดยไม่พบ d ดังนั้นเราจะใช้สูตรแรก

คำตอบ: 368.

ภารกิจที่ 5

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. ค้นหาระยะที่ยี่สิบสองของความก้าวหน้า

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1 + d (22 – 1) = 1+21วัน

ตามเงื่อนไข ถ้า. 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21วัน . จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง = เอ 2 – เอ 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

คำตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 6

มีการเขียนคำศัพท์ต่อเนื่องหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ค้นหาเทอมของความก้าวหน้าที่มีข้อความว่า x

เมื่อแก้โจทย์เราจะใช้สูตรของเทอมที่ n b n = b 1 ∙ q n - 1สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ระยะแรกของความก้าวหน้า ในการค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้า q คุณจะต้องนำเงื่อนไขใดๆ ที่กำหนดของความก้าวหน้ามาหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา เราสามารถหาและหารด้วย เราได้ q = 3 แทนที่จะเป็น n เราจะแทนที่ 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด

แทนที่ค่าที่พบลงในสูตรเราจะได้:

.

คำตอบ : .

ภารกิจที่ 7

จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตรของเทอมที่ n ให้เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:

เนื่องจากเงื่อนไขที่กำหนดจะต้องเป็นไปตามระยะที่ 27 ของการก้าวหน้า เราจึงแทนที่ 27 แทนที่จะเป็น n ในแต่ละความก้าวหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าที่ 4 เราได้รับ:

.

คำตอบ: 4.

ภารกิจที่ 8

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1= 3, ง = -1.5 ระบุ มูลค่าสูงสุด n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันถืออยู่ หนึ่ง > -6.