สัญญาณตรรกะในตรรกะ ตรรกะและภาษา คุณสมบัติของการดำเนินการเชิงตรรกะ

เราได้พูดคุยเกี่ยวกับสัญญาณแล้ว ตอนนี้เรามาดูปัญหานี้โดยละเอียดมากขึ้น เข้าสู่ระบบ- นี่คือวัตถุวัตถุซึ่งทำหน้าที่ในกระบวนการรับรู้หรือการสื่อสารในฐานะตัวแทนของวัตถุ

ป้ายสามารถจำแนกได้สามประเภทดังต่อไปนี้: (1) ป้ายดัชนี; (2) สัญลักษณ์-รูปภาพ (๓) ป้าย-สัญลักษณ์

เครื่องหมายดัชนีเชื่อมโยงกับวัตถุที่เป็นตัวแทนทางวัตถุ เช่น ผลกระทบพร้อมสาเหตุ ดังนั้น ควันเหนือป่าบ่งบอกถึงว่ามีไฟ อุณหภูมิที่สูงขึ้นของบุคคลบ่งบอกถึงโรค การเปลี่ยนแปลงของสีเล็บของบุคคลบ่งบอกถึงโรคของอวัยวะภายใน และการเปลี่ยนแปลงความสูงของคอลัมน์ปรอทบ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลง ในความกดอากาศ

ป้าย-ภาพคือสัญญาณเหล่านั้นที่ตนเองมี บางข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุที่เป็นตัวแทน (แผนที่ภูมิประเทศ ภาพวาด การวาดภาพ) เนื่องจากมีความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกับวัตถุที่กำหนด

ป้าย-สัญลักษณ์ไม่เกี่ยวข้องกันในสาระสำคัญและไม่คล้ายกับวัตถุที่เป็นตัวแทน

ลอจิกสำรวจสัญญาณของประเภทหลัง

สัญญาณมีความหมายตามวัตถุประสงค์และความหมายดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ความหมายของหัวเรื่องคือวัตถุที่แสดง (หรือแสดงแทน) ด้วยเครื่องหมาย ความหมายของหัวเรื่องมักเรียกง่ายๆ ว่าความหมาย

ความหมายความหมายเป็นลักษณะของวัตถุที่แสดงโดยเครื่องหมายซึ่งเครื่องหมายเป็นตัวแทนคือ ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุนี้ ข้อมูลมีสองประเภท ข้อมูลประเภทแรกเรียกว่าความหมายของเครื่องหมาย และข้อมูลประเภทที่สองเรียกว่าภาพหรือการแสดงโดยสัญชาตญาณ ความหมายคือข้อมูลที่แสดงออกมาในภาษาที่ช่วยให้เราสามารถแยกแยะวัตถุที่เป็นความหมายของเครื่องหมายจากวัตถุอื่นๆ ทั้งหมดได้ ข้อมูลประเภทที่สองเรียกอีกอย่างว่าแนวคิด ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ความหมายทางความหมาย อาจมีทั้งความหมายและความคิด อาจเป็นเพียงความหมายหรืออาจเป็นเพียงความคิดเท่านั้น

สัญญาณบางอย่างไม่มีความหมายนั่นคือเป็นตัวแทนของวัตถุที่ไม่มีอยู่ในขอบเขตของการใช้เหตุผล ("การเคลื่อนที่ตลอดกาล")

ในบรรดาสัญลักษณ์สัญลักษณ์นั้นมีความแตกต่างระหว่างสัญญาณเชิงตรรกะและสัญญาณที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ สัญญาณที่ไม่ใช่ตรรกะเรียกอีกอย่างว่าสัญญาณเชิงพรรณนา

สัญญาณตรรกะแสดงถึงลักษณะทั่วไปของสรรพสิ่งและปรากฏการณ์ตลอดจนความคิด ซึ่งรวมถึงคำสันธาน "และ", "หรือ", "ถ้า..., แล้ว...", การปฏิเสธ "มันไม่เป็นความจริงว่า" ("ไม่"), คำที่แสดงลักษณะของวัตถุจำนวนหนึ่งซึ่งมีการยืนยันหรือปฏิเสธบางสิ่ง : "ทั้งหมด" ("ไม่มี"), "บางส่วน", "แก่นแท้" ที่เชื่อมโยงกัน ("คือ"), คำว่า "ดังนั้น" ฯลฯ เนื่องจากสำนวนที่ระบุไว้ทั้งหมดในภาษาประจำวันถูกนำมาใช้ในความหมายที่แตกต่างกัน พวกเขาจึงไม่ ยังมีสัญญาณ เพื่อจะเป็นหมายสำคัญ จะต้องได้รับความหมาย เมื่อให้ความหมายกับสำนวนเหล่านี้แล้ว สำนวนเหล่านี้จะกลายเป็นสัญญาณและเรียกว่าคำศัพท์เชิงตรรกะ

ตัวอย่าง.การรวม “และ” สามารถใช้ในความหมายที่แตกต่างกัน รวมถึงความหมายต่อไปนี้

อันดับแรก.สหภาพแรงงานเป็นการแสดงออกถึงการมีอยู่ของสองสถานการณ์พร้อมกัน (ฝนกำลังตกและหิมะตก) ในตรรกะ เพื่อแก้ไขความหมายของคำร่วมจึงมีการใช้ภาษาพิเศษที่เรียกว่าภาษาสัญลักษณ์ ในภาษาสัญลักษณ์คำเชื่อม "และ" ในความหมายที่ระบุจะแสดงดังนี้: 8 วินาที

ที่สอง.การมีอยู่หรือการเกิดขึ้นตามลำดับของสองสถานการณ์จะแสดงออกมา (เปตรอฟออกไปข้างนอกแล้ว (แล้ว) พบเพื่อน) ตำแหน่ง: 8ซี

ที่สาม.สถานการณ์บางอย่างเกิดขึ้น สถานการณ์ที่สองเกิดขึ้นช้ากว่าสถานการณ์แรก แต่ยังคงมีอยู่เมื่อสถานการณ์แรกยังไม่สิ้นสุด (ฤดูร้อนมาถึงแล้ว ดอกไม้ก็บานสะพรั่ง)

มีการแนะนำคำศัพท์เชิงตรรกะอื่นๆ ด้านล่างนี้

เงื่อนไขเชิงพรรณนาเครื่องหมาย-สัญลักษณ์ คือ ชื่อ ชื่อ- เป็นคำหรือวลีที่แสดงถึงวัตถุ ชื่อเป็นสัญลักษณ์ที่อธิบายไว้ข้างต้น ดังที่กล่าวไปแล้ว สัญญาณและชื่อจึงมีความหมายและ (หรือ) หัวเรื่อง ชื่อที่แสดงถึงวัตถุเดียวเรียกว่า เดี่ยว.ชื่อที่มีเล่มประกอบด้วยมากกว่าหนึ่งเรื่องเรียกว่า ทั่วไปชื่อสามัญสามารถเป็นสากลได้ สากลเรียกว่าชื่อทั่วไป ขอบเขตคือจักรวาลแห่งการให้เหตุผลทั้งหมด (หัวข้อที่กำลังดำเนินการให้เหตุผล) เช่น “บุคคลที่รู้ภาษาต่างประเทศบ้างหรือไม่รู้ภาษาต่างประเทศเลย” จักรวาลแห่งการใช้เหตุผลในที่นี้คือกลุ่มคน (ทั้งหมด) ขอบเขตของชื่อเป็นชุดเดียวกัน ชื่อ “บุคคลที่รู้ภาษาต่างประเทศ” ไม่เป็นสากล เนื่องมาจากขอบเขตไม่ตรงกับกลุ่มคน (ทั้งหมด) จักรวาลแห่งการให้เหตุผลถูกกำหนดโดยบริบทที่ใช้ชื่อนั้น

อาจมีชื่อที่มีความหมายต่างกันและมีเล่มเดียวกัน (เช่น “เมืองที่ใหญ่ที่สุดในอังกฤษ” และ “เมืองหลวงของอังกฤษ”) แต่ไม่สามารถตั้งชื่อที่มีความหมายเหมือนกันแต่มีเล่มต่างกันได้ ชื่อในขอบเขตที่ไม่มีหัวเรื่องเดียวจากสาขาการให้เหตุผลจะถูกเรียก จินตภาพที่นี่คุณควรใส่ใจกับความจริงที่ว่าขอบเขตของการใช้เหตุผล (สาขาวิชา) อาจแตกต่างกัน ชื่อ “เครื่องจักรเคลื่อนที่ตลอดกาล” เป็นจินตนาการหากขอบเขตการสนทนาเป็นวัตถุวัตถุที่มีอยู่จริงหรือวัตถุที่สามารถดำรงอยู่เป็นวัตถุได้ จุดทางเรขาคณิตไม่มีอยู่จริงในฐานะวัตถุทางวัตถุ (ในโลกแห่งความเป็นจริงไม่มีวัตถุใดที่ไม่มีทั้งความยาว ความสูง หรือความกว้าง) แต่มีอยู่ในขอบเขตของวัตถุทางเรขาคณิต สัมพันธ์กับพื้นที่ของวัตถุทางเรขาคณิต ชื่อ “จุด” ไม่ใช่จินตนาการ

มีชื่อที่มีความหมายในตัวเองและชื่อที่ไม่มีความหมายในตัวเอง ชื่อที่มีความหมายในตัวเองคือ ชื่อที่สื่อความหมายเหมือน “แม่น้ำที่ใหญ่ที่สุดในยุโรป” ความหมายของชื่อดังกล่าวถูกกำหนดโดยโครงสร้างและความหมายหรือความหมายของชื่อที่ประกอบเป็นชื่อที่สื่อความหมายเหล่านี้ หากชื่อที่รวมอยู่ในชื่อที่ซับซ้อนไม่สมเหตุสมผล ในกรณีนี้ชื่อที่สื่อความหมายก็ยังสมเหตุสมผลอยู่ ความหมายนี้ประกอบด้วยการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความหมายของชื่อองค์ประกอบโดยแยกตามแนวคิด ชื่อที่ไม่สื่อความหมายเหมือน "โวลก้า" ไม่มีความหมายในตัวเอง หากมีความหมายใดๆ ก็เป็นเพียงความหมายหนึ่งเท่านั้น ชื่อที่ไม่สื่อความหมายได้รับการให้ความหมายโดยใช้ชื่อที่สื่อความหมายซึ่งสัมพันธ์กับชื่อเหล่านั้น ชื่อที่สื่อความหมายรวมถึงชื่อที่ไม่สื่อความหมายด้วย พวกเขายังได้รับความหมายผ่านภาษาพรรณนา เห็นได้ชัดว่ากระบวนการดังกล่าวไม่สามารถไม่มีที่สิ้นสุดได้นั่นคือชื่อที่ไม่สื่อความหมายบางชื่อมีความหมาย แต่ไม่มีความหมายแม้ว่าจะมีความคิดก็ตาม ชื่อเหล่านี้กำหนดวัตถุ แต่ไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้ที่แสดงเป็นภาษาที่ช่วยให้แยกแยะจากวัตถุอื่นได้ สิ่งเหล่านี้ถูกนำมาใช้บนพื้นฐานของภาพที่มองเห็นหรือแนวคิดและแนวคิดที่ใช้งานง่าย ชื่อที่ไม่มีความหมาย มักเป็นชื่อที่มีความหมายไม่ชัดเจน ชื่อเหล่านี้ไม่ได้แสดงถึงแนวคิด แต่มักเรียกผิดว่าแนวคิดคลุมเครือ สิ่งเหล่านี้เรียกว่า "แนวคิดเชิงประเมิน": "การทารุณกรรมสัตว์"; “สัตว์” (เมื่อกล่าวถึงประเด็นการทารุณกรรมสัตว์)

การกำหนดความหมายของชื่อที่ไม่มีความหมายต่ำเกินไปนั้นเกิดจากการที่ภาพและความคิดตามสัญชาตญาณเกี่ยวกับวัตถุที่แสดงโดยชื่อดังกล่าวในหลายกรณีนั้นแตกต่างกันไปสำหรับแต่ละคนที่แตกต่างกันนั่นคือพวกเขามีองค์ประกอบของอัตนัยซึ่งนำเสนอ ในแผนภาพต่อไปนี้

การใช้ชื่อขึ้นอยู่กับข้อกำหนดบางประการ (หลักการ) ให้เรากำหนดหลักการสองข้อนี้

อันดับแรก.หลักการของความเป็นกลาง: ในประโยคบางสิ่งบางอย่างจะต้องได้รับการยืนยันหรือปฏิเสธไม่เกี่ยวกับชื่อ แต่เกี่ยวกับความหมายของชื่อตัวอย่างเช่น ถ้าเราพูดว่าโลกคือดาวเคราะห์ เราจะไม่พูดถึงคำว่า "โลก" แต่หมายถึงโลกนั่นเอง แน่นอนว่าบางครั้งคุณต้องยืนยันหรือปฏิเสธบางอย่างเกี่ยวกับชื่อ แล้วสิ่งที่เรียกว่า. "ชื่อที่ยกมา"ตัวอย่างเช่น ประโยค “โลก” คือชื่อของดาวเคราะห์” ไม่ได้พูดถึงเทห์ฟากฟ้า “โลก” แต่หมายถึงชื่อของเทห์ฟากฟ้านี้ บางครั้งในภาษาธรรมชาติ อาจมีกรณีที่ชื่อของชื่อเป็นชื่อดั้งเดิมของมันเอง ตัวอย่างเช่น ในประโยค "ตารางประกอบด้วยตัวอักษรสี่ตัว" คำว่า "ตาราง" คือชื่อของคำนั้นเอง การใช้ชื่อนี้เรียกว่า เป็นอิสระการใช้ชื่อโดยอัตโนมัติเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ในภาษาวิทยาศาสตร์

ความคิดเห็นหลักการนี้มักถูกละเมิดเมื่อสอนให้เด็กอ่าน การเรียนรู้ไม่ได้เริ่มต้นด้วยการเรียนรู้ตัวอักษร แต่ด้วยการเรียนรู้ชื่อตัวอักษร ถ้าเด็กรู้ชื่อตัวอักษรก็ไม่จำเป็นต้องรู้ตัวอักษร เช่น ชื่อจดหมาย ขคือการแสดงออก แบ้ชื่อของสระคือตัวอักษรนั่นเอง หลังจากที่เด็กเรียนรู้ชื่อพยัญชนะแล้ว เขาจะถูกสอนให้อ่านพยางค์: แบ้และ กอ่าน บะ อ่าและ แบ้อ่าน เกี่ยวกับเป็นต้น วิธีการสอนการอ่านแบบนี้เป็นเรื่องยากมาก วิธีที่ดีที่สุดคือสอนเด็กไม่ใช่ชื่อตัวอักษร แต่เป็นตัวอักษร

หลักการที่สอง- หลักการของความชัดเจน ตามหลักการนี้ สำนวนที่ใช้ในภาษาธุรกิจหรือวิทยาศาสตร์เป็นชื่อต้องเป็นชื่อของวัตถุเพียงชื่อเดียว ถ้าเป็นชื่อเดียว และถ้าเป็นชื่อทั่วไป สำนวนนั้นต้องเป็นชื่อสามัญกับวัตถุ ของชั้นเรียนเดียวกัน หลักการนี้ไม่ได้สังเกตโดยผู้ที่มีวัฒนธรรมเชิงตรรกะต่ำเสมอไป

ศัพท์พรรณนาอีกประเภทหนึ่งคือ สัญญาณของฟังก์ชันวัตถุหรือ ผู้ทำหน้าที่เรื่องสัญญาณเหล่านี้แสดงถึงหน้าที่วัตถุประสงค์

การทำงานเรียกว่าการติดต่อโดยอาศัยวัตถุ (วัตถุ, คู่, วัตถุสามเท่า ฯลฯ ) จากชุดหนึ่งเรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กับวัตถุจากชุดอื่นหรือชุดเดียวกันเรียกว่า ค่าของฟังก์ชัน ทุกคนรู้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (ตัวเลข) - การบวกตัวเลข การลบ การคูณ การหาร ในตรรกะ ความเข้าใจในฟังก์ชันจะเป็นแบบทั่วไป

เรื่องเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นวัตถุใดๆ ตัวอย่างฟังก์ชันของวิชา: น้ำหนัก ระยะเวลาการทำงาน รายได้เฉลี่ยต่อเดือน พ่อ ทุน การใช้เครื่องหมายฟังก์ชัน "มวล" กับชื่อเอกพจน์ "โลก" เราได้รับเป็นค่าชื่อเอกพจน์ "มวลของโลก" ซึ่งแสดงถึงปริมาณที่แน่นอน เช่น วัตถุ ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จะเปรียบเทียบวัตถุ (วัตถุวัสดุที่มีมวล) กับวัตถุอื่นๆ (ค่ามวล) ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน “ประสบการณ์การทำงาน” คือกลุ่มของบุคคล ช่วงของค่าคือชุดของตัวเลขที่ระบุชื่อ (ทำงานหลายปี) การใช้ฟังก์ชันนี้กับบุคคล เช่น กับ Petrov เราจะได้หมายเลขที่มีชื่อ เช่น 20 ปี ขอบเขตของคำจำกัดความของคำว่า "พ่อ" คือกลุ่มคน การใช้ฟังก์ชันนี้กับโสกราตีส เราจะได้ค่าเฉพาะบุคคล

คำศัพท์เชิงตรรกะบางคำก็เข้าใจว่าเป็นฟังก์ชันเช่นกัน สิ่งเหล่านี้เป็นฟังก์ชันประเภทอื่นอยู่แล้ว - ฟังก์ชันลอจิคัลตัวอย่างเช่น คำว่าตรรกะ "ไม่เป็นความจริง" (การปฏิเสธ) ถือเป็นฟังก์ชันที่เปรียบเทียบประโยคจริงกับประโยคเท็จ และประโยคเท็จกับประโยคจริง การใช้การปฏิเสธกับประโยคจริง “มีชีวิตบนโลก” เราได้รับประโยคเท็จ “ไม่เป็นความจริงที่มีสิ่งมีชีวิตบนโลก” การใช้การปฏิเสธกับประโยคเท็จ “มอสโกเป็นหมู่บ้านใหญ่” เราได้รับประโยคที่แท้จริง “ไม่เป็นความจริงที่มอสโกเป็นหมู่บ้านใหญ่”

• เลโอนาร์โด ดา วินชี เขียนว่า: “...ถ้าคุณบอกว่าการใช้ปลายดินสอสัมผัสพื้นผิวใดจุดหนึ่ง การกระทำเช่นนี้จะผิด เราจะบอกว่าการสัมผัสดังกล่าวทำให้เกิดพื้นผิวที่อยู่ตรงกลาง และตรงกลางนี้คือตำแหน่งของจุด” ดู: Zhukov A. N. UnknownLeonardo: คำอุปมา, สัญลักษณ์เปรียบเทียบ, แง่มุม รอสตอฟ, 2550 หน้า 79

ภาษาของหนังสือเล่มนี้ เช่นเดียวกับตำราทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ประกอบด้วยภาษาธรรมดาและสัญลักษณ์พิเศษจำนวนหนึ่งสำหรับทฤษฎีที่นำเสนอ นอกเหนือจากสัญลักษณ์พิเศษเหล่านี้ ซึ่งจะถูกนำมาใช้ตามความจำเป็น เรายังใช้สัญลักษณ์ทั่วไปของตรรกะทางคณิตศาสตร์เพื่อแสดงถึงการปฏิเสธของ "ไม่" และคำเชื่อม "หรือ", "นัย", "เท่าเทียมกัน" ตามลำดับ

ให้เรายกตัวอย่างข้อความสามข้อเกี่ยวกับผลประโยชน์อิสระ:

L. “หากสัญกรณ์สะดวกสำหรับการค้นพบ งานแห่งความคิดก็จะลดลงอย่างน่าอัศจรรย์” ไลบ์นิซ)

R. “คณิตศาสตร์เป็นศิลปะของการเรียกสิ่งต่าง ๆ ด้วยชื่อเดียวกัน” (A. Poincaré)

ช. “หนังสืออันยิ่งใหญ่แห่งธรรมชาติเขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์” (ช. กาลิเลโอ)

จากนั้นตามเครื่องหมายที่ระบุ:

เราเห็นว่าการใช้เฉพาะสัญลักษณ์ที่เป็นทางการ หลีกเลี่ยงภาษาพูดนั้นไม่สมเหตุสมผลเสมอไป

นอกจากนี้ เราสังเกตเห็นว่าเมื่อเขียนข้อความที่ซับซ้อนที่ประกอบด้วยข้อความที่เรียบง่ายกว่า วงเล็บจะถูกใช้ซึ่งทำหน้าที่ทางวากยสัมพันธ์เช่นเดียวกับเมื่อเขียนนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต เช่นเดียวกับในพีชคณิต หากต้องการบันทึกวงเล็บ คุณสามารถยอมรับ "ลำดับการดำเนินการ" ได้ เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้เราตกลงตามลำดับความสำคัญของสัญลักษณ์ดังต่อไปนี้:

ด้วยข้อตกลงดังกล่าว นิพจน์ควรจะถอดรหัสเป็นความสัมพันธ์ - เป็น แต่ไม่ใช่เป็น

เรามักจะตีความหมายด้วยวาจาอีกครั้งหนึ่งกับสัญกรณ์ ซึ่งหมายความว่า A หมายถึง B หรือสิ่งที่เหมือนกันคือ B ตามมาจาก A โดยบอกว่า B เป็นคุณลักษณะที่จำเป็นหรือเงื่อนไขที่จำเป็นของ A และในทางกลับกัน A ก็เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอ หรือเครื่องหมาย B เพียงพอ ดังนั้น อัตรา AB สามารถอ่านได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งดังต่อไปนี้

A มีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับ B;

และถ้าหากว่า B;

A ถ้าและเพียงแต่ถ้า B;

A เทียบเท่ากับ B

ดังนั้น การเขียน AB หมายความว่า A เกี่ยวข้องกับ B และในขณะเดียวกัน B ก็หมายถึง A

การใช้คำร่วมในการแสดงออกไม่จำเป็นต้องมีคำอธิบาย

อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่านิพจน์นี้เป็นคำร่วมหรือแบบไม่แบ่งแยก กล่าวคือ ประโยคดังกล่าวจะถือว่าเป็นจริง ถ้ามีอย่างน้อย 1 ประโยค A, B เป็นจริง

จำนวนจริงนั้น แล้วเราจะเขียนได้ว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้คงอยู่:

2. หมายเหตุเกี่ยวกับหลักฐาน

ข้อความทางคณิตศาสตร์ทั่วไปจะมีรูปแบบ โดยที่ A คือหลักฐานหรือข้อสรุป การพิสูจน์ข้อความดังกล่าวประกอบด้วยการสร้างลูกโซ่ของผลที่ตามมา ซึ่งแต่ละองค์ประกอบถือเป็นสัจพจน์หรือเป็นข้อความที่พิสูจน์แล้ว

ในการพิสูจน์ เราจะยึดตามกฎการอนุมานแบบดั้งเดิม: ถ้า A เป็นจริง และ B ก็เป็นจริงเช่นกัน

เมื่อพิสูจน์โดยขัดแย้งกัน เราจะใช้หลักการของคำกลางที่ถูกแยกออก โดยอาศัยอำนาจในการพิจารณาว่าข้อความ (A หรือไม่ A) เป็นจริงโดยไม่คำนึงถึงเนื้อหาเฉพาะของข้อความ A ดังนั้น เราจึงยอมรับพร้อมกันนั้น กล่าวคือ ทำซ้ำ การปฏิเสธจะเทียบเท่ากับคำสั่งเดิม

3. สัญลักษณ์พิเศษบางอย่าง

เพื่อความสะดวกของผู้อ่านและเพื่อให้ข้อความสั้นลง เราตกลงที่จะทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของหลักฐานด้วยเครื่องหมายตามลำดับ

ให้เราตกลงกันเมื่อสะดวกที่จะแนะนำคำจำกัดความโดยใช้สัญลักษณ์พิเศษ (ความเท่าเทียมกันตามคำจำกัดความ) โดยจะมีเครื่องหมายโคลอนวางไว้ที่ด้านข้างของวัตถุที่ถูกกำหนด

กำหนดด้านซ้ายด้วยด้านขวาซึ่งถือว่ารู้ความหมายแล้ว

ในทำนองเดียวกัน มีการแนะนำตัวย่อสำหรับนิพจน์ที่กำหนดไว้แล้ว เช่น บันทึก

แนะนำสัญลักษณ์สำหรับผลรวมทางด้านซ้ายของแบบฟอร์มพิเศษ

4. ข้อสังเกตสรุป

โปรดทราบว่าเราได้พูดในที่นี้เฉพาะเกี่ยวกับสัญกรณ์เท่านั้น โดยไม่ได้วิเคราะห์รูปแบบของการอนุมานเชิงตรรกะ และไม่ได้กล่าวถึงประเด็นที่ลึกซึ้งของความจริง ความพิสูจน์ได้ และความสามารถในการอนุมาน ซึ่งประกอบขึ้นเป็นหัวข้อของการศึกษาตรรกะทางคณิตศาสตร์

เราจะสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไรถ้าเราไม่มีตรรกะที่เป็นทางการ? การปลอบใจบางประการอาจอยู่ที่การที่เรารู้อยู่เสมอ หรือพูดดีกว่าคือ เราสามารถทำได้มากกว่าที่เราสามารถทำได้ในปัจจุบัน ความหมายของวลีสุดท้ายสามารถอธิบายได้ด้วยอุปมาที่รู้จักกันดีว่าตะขาบลืมวิธีเดินเมื่อถูกขอให้อธิบายว่ามันควบคุมแขนขาทั้งหมดของมันอย่างไร

ประสบการณ์ของวิทยาศาสตร์ทั้งหมดทำให้เรามั่นใจว่าสิ่งที่ถือว่าชัดเจนหรือเรียบง่ายและแบ่งแยกไม่ได้เมื่อวานนี้สามารถแก้ไขหรือชี้แจงได้ในวันนี้ สิ่งนี้ (และไม่ต้องสงสัยเลยว่าจะยังคงเป็นเช่นนั้นต่อไป) ด้วยแนวคิดมากมายเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทและเครื่องมือที่สำคัญที่สุดที่ถูกค้นพบย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17-18 แต่ได้รับแนวคิดสมัยใหม่ที่เป็นทางการ ตีความอย่างไม่คลุมเครือ และอาจ ดังนั้น รูปแบบที่เข้าถึงได้โดยทั่วไปก็ต่อเมื่อมีการสร้างขีดจำกัดทางทฤษฎีและทฤษฎีจำนวนจริงที่สมบูรณ์ตามหลักตรรกะซึ่งจำเป็นสำหรับมันเท่านั้น (ศตวรรษที่ 19)

จากทฤษฎีจำนวนจริงระดับนี้เองที่เราจะเริ่มในบทที่ 2 เพื่อสร้างสิ่งก่อสร้างทั้งหมดของการวิเคราะห์

ดังที่ได้กล่าวไว้แล้วในคำนำ ผู้ที่ต้องการทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานและเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลที่เหมาะสมอย่างรวดเร็ว สามารถเริ่มบทที่ 3 ได้ทันที โดยกลับมาที่แต่ละจุดในสองบทแรกเท่าที่จำเป็นเท่านั้น

แบบฝึกหัด

เราจะทำเครื่องหมายข้อความจริงด้วยสัญลักษณ์ 1 และข้อความเท็จด้วยสัญลักษณ์ 0 จากนั้นแต่ละข้อความสามารถเชื่อมโยงกับตารางความจริงที่เรียกว่าซึ่งระบุความจริงขึ้นอยู่กับความจริงของข้อความ A, B ตารางเหล่านี้ เป็นคำจำกัดความที่เป็นทางการของการดำเนินการเชิงตรรกะ นี่คือ:

1. ตรวจสอบว่าทุกอย่างในตารางเหล่านี้ตรงกับความเข้าใจของคุณในการดำเนินการเชิงตรรกะที่เกี่ยวข้องหรือไม่ (โปรดสังเกตเป็นพิเศษว่า ถ้า A เป็นเท็จ ความหมายจะเป็นจริงเสมอ)

2. แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายแต่สำคัญมากและใช้กันอย่างแพร่หลายในความสัมพันธ์เชิงเหตุผลทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้เป็นจริง:

มีการใช้ภาษาหลากหลายรูปแบบเพื่อแสดงองค์ประกอบเหตุผลทั้งหมด แนวคิดถูกแสดงออกผ่านคำหรือวลีแต่ละคำ การตัดสินและการอนุมาน - ผ่านประโยคที่เรียบง่ายหรือซับซ้อน ดังนั้น การวิเคราะห์เชิงตรรกะของการให้เหตุผลจึงมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการวิเคราะห์ภาษา แม้ว่าจะไม่สามารถลดทอนลงในแบบหลังได้ก็ตาม แท้จริงแล้ว ในการวิเคราะห์เชิงตรรกะของการตัดสิน เราสนใจในโครงสร้างเชิงตรรกะของมัน ไม่ใช่ในรูปแบบไวยากรณ์ ดังนั้นเราจึงเน้นในการตัดสินองค์ประกอบเหล่านั้นที่จำเป็นสำหรับลักษณะของมันในแง่ของความจริงและความเท็จ ในความหมายที่เข้มงวดของคำนี้ เฉพาะการตัดสินเท่านั้นที่สามารถพิจารณาว่าเป็นจริงหรือเท็จ เนื่องจากอาจเป็นจริงหรือเท็จ เพียงพอหรือไม่เพียงพอ เกี่ยวข้องกับความเป็นจริง ประโยคแม้จะใช้เพื่อแสดงการตัดสิน แต่ก็ไม่สามารถพิจารณาว่าจริงหรือเท็จในตัวเองได้ นอกจากนี้ ยังมีประโยคในภาษาของเราที่ไม่ได้ทำหน้าที่แสดงการตัดสิน แต่เป็นตัวแทนของคำถาม คำสั่ง ฯลฯ เหตุใดการวิเคราะห์เชิงตรรกะจึงมีความสำคัญ การวิเคราะห์มีบทบาทอย่างไรในชีวิตประจำวัน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งความรู้ทางวิทยาศาสตร์

เนื่องจากภาษาได้รับการพัฒนาเป็นวิธีการสื่อสารและความเข้าใจซึ่งกันและกันระหว่างผู้คน ภาษาจึงได้รับการปรับปรุงเป็นหลักเพื่อการส่งข้อมูลที่รวดเร็ว เพิ่มปริมาณข้อความที่ส่ง บางครั้งถึงกับสูญเสียความไม่ถูกต้องและความไม่แน่นอนของความหมาย นี่เป็นลักษณะเฉพาะของภาษาเชิงอุปมาอุปไมยของสุนทรพจน์และสุนทรพจน์ทางศิลปะซึ่งเต็มไปด้วยการเปรียบเทียบ คำอุปมาอุปมัย คำพ้องความหมาย และคำพ้องเสียง และวิธีการทางภาษาอื่นๆ ที่ให้สี อารมณ์ ความชัดเจน และการแสดงออกเป็นพิเศษ แต่ทั้งหมดนี้ทำให้การวิเคราะห์ภาษาเชิงตรรกะมีความซับซ้อนอย่างมากและบางครั้งก็ทำให้เข้าใจคำพูดได้ยาก

เนื่องจากเป็นวิธีสากลในการสื่อสารและการแลกเปลี่ยนความคิดและข้อมูล ภาษาจึงทำหน้าที่หลายอย่างที่ตรรกะไม่สนใจ ในทางกลับกัน ลอจิกมุ่งมั่นที่จะถ่ายทอดและแปลงข้อมูลที่มีอยู่ให้ถูกต้องที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และด้วยเหตุนี้จึงขจัดข้อบกพร่องบางประการของภาษาธรรมชาติด้วยการสร้างภาษาเทียมที่เป็นทางการ ภาษาประดิษฐ์ดังกล่าวถูกนำมาใช้ในความรู้ทางวิทยาศาสตร์เป็นหลักและในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาภาษาเหล่านี้แพร่หลายในการเขียนโปรแกรมและอัลกอริทึมของกระบวนการต่าง ๆ โดยใช้คอมพิวเตอร์ ข้อดีของภาษาดังกล่าวอยู่ที่ความถูกต้องแม่นยำไม่คลุมเครือและที่สำคัญที่สุดคือความสามารถในการแสดงเหตุผลที่มีความหมายตามปกติผ่านการคำนวณ

การทำให้เหตุผลอย่างเป็นทางการประกอบด้วยการนำเสนอผ่านสัญลักษณ์และสูตรของภาษาประดิษฐ์ (เป็นทางการ) ซึ่งแสดงรายการแรกสูตรเริ่มต้นที่แสดงข้อความหลักของทฤษฎีเนื้อหาประการที่สองแนวคิดเริ่มต้นที่ปรากฏในข้อความเหล่านี้และประการที่สาม กฎของการอนุมานหรือการเปลี่ยนแปลงเหล่านั้นได้รับการระบุอย่างชัดเจนด้วยความช่วยเหลือ ซึ่งในทฤษฎีบทเนื้อหานั้นได้มาจากสัจพจน์ และในทฤษฎีที่เป็นทางการ สูตรดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นอนุพันธ์ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าการให้เหตุผลอย่างเป็นทางการเกิดขึ้นตามข้อกำหนดของวิธีการตามสัจพจน์ซึ่งเราคุ้นเคยจากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะใช้แนวคิดและการตัดสิน มีการใช้สัญลักษณ์และสูตร และการได้มาทางตรรกะของทฤษฎีบทจากสัจพจน์จะถูกแทนที่ด้วยการเปลี่ยนแปลงสูตรดั้งเดิมเป็นอนุพันธ์ ดังนั้น ด้วยการทำให้เป็นระเบียบอย่างสมบูรณ์ การคิดอย่างมีความหมาย (การใช้เหตุผล) จึงสะท้อนให้เห็นในแคลคูลัสที่เป็นทางการ นอกเหนือจากภาษาตรรกะและคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการแล้ว ภาษาวิทยาศาสตร์ประดิษฐ์ยังรวมถึงภาษาของวิทยาศาสตร์เหล่านั้นที่ใช้สัญลักษณ์และสูตรกันอย่างแพร่หลาย โดยทั่วไปคือ ภาษาของสัญลักษณ์และสูตรทางเคมี อย่างไรก็ตาม ในภาษาดังกล่าว สัญลักษณ์และสูตรใช้ในการบันทึกแนวคิดและข้อความที่เกี่ยวข้องให้กระชับและรัดกุมยิ่งขึ้น ดังนั้นในวิชาเคมี สัญลักษณ์จึงถูกใช้เพื่อเขียนองค์ประกอบทางเคมีหรือสารเชิงเดี่ยว และใช้สูตรเพื่อเขียนสารประกอบและสารเชิงซ้อน แต่การให้เหตุผลนั้นดำเนินการตามปกติในระดับเนื้อหา

การทำให้เป็นทางการมีบทบาทอย่างไรในความรู้ทางวิทยาศาสตร์โดยทั่วไปและโดยเฉพาะในตรรกะ?

1) การทำให้เป็นทางการทำให้สามารถวิเคราะห์ ชี้แจง กำหนด และอธิบายแนวคิด (อธิบาย) ได้ แนวคิดตามสัญชาตญาณแม้ว่าจะดูชัดเจนกว่าและชัดเจนกว่าในแง่ของสามัญสำนึก แต่ก็ไม่เหมาะสำหรับความรู้ทางวิทยาศาสตร์เนื่องจากความไม่แน่นอน ความคลุมเครือ และไม่แม่นยำ ตัวอย่างเช่น แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชัน รูปทรงเรขาคณิตในคณิตศาสตร์ ความพร้อมกันของเหตุการณ์ในฟิสิกส์ พันธุกรรมในชีววิทยา และอื่นๆ อีกมากมาย แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากแนวคิดที่พวกเขามีในจิตสำนึกในชีวิตประจำวัน นอกจากนี้ แนวคิดเบื้องต้นบางอย่างยังแสดงไว้ในวิทยาศาสตร์ด้วยคำเดียวกันกับที่ใช้ในภาษาพูดเพื่อแสดงสิ่งต่าง ๆ และกระบวนการที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

แนวคิดพื้นฐานของฟิสิกส์ เช่น แรง งาน และพลังงาน สะท้อนกระบวนการที่กำหนดไว้อย่างดีและระบุไว้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น แรงในฟิสิกส์ถือว่าเป็นสาเหตุของการเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนไหว และงานเป็นผลผลิตจากแรงและ เส้นทาง. ในคำพูดภาษาพูด พวกเขาจะได้รับความหมายที่กว้างกว่าแต่คลุมเครือ ซึ่งเป็นผลมาจากแนวคิดทางกายภาพ เช่น งาน ไม่สามารถนำมาประยุกต์ใช้เพื่อกำหนดลักษณะของกิจกรรมทางจิตได้ แต่แม้แต่ในทางวิทยาศาสตร์ ความหมายและความสำคัญของแนวคิดที่นำมาซึ่งการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป ก็ยังได้รับการชี้แจงและทำให้เป็นภาพรวมทั่วไป

การทำให้เป็นทางการมีบทบาทพิเศษในการวิเคราะห์หลักฐาน การนำเสนอการพิสูจน์ในรูปแบบของลำดับของสูตรที่ได้รับจากสูตรดั้งเดิมโดยใช้กฎการแปลงที่ระบุอย่างแม่นยำทำให้มีความเข้มงวดและแม่นยำที่จำเป็น ด้วยวิธีนี้ การอ้างอิงถึงสัญชาตญาณ ความชัดเจน หรือความชัดเจนของภาพวาดจะไม่รวมอยู่ด้วย เพื่อให้สามารถถ่ายโอนหลักฐานไปยังคอมพิวเตอร์ได้ด้วยโปรแกรมที่เหมาะสม ความสำคัญของความเข้มงวดของการพิสูจน์เห็นได้จากประวัติศาสตร์ของความพยายามที่จะพิสูจน์สัจพจน์ของความคล้ายคลึงกันในเรขาคณิต เมื่อแทนที่จะพิสูจน์เช่นนั้น สัจพจน์เองก็ถูกแทนที่ด้วยข้อความที่เทียบเท่ากัน มันเป็นความล้มเหลวของความพยายามดังกล่าวที่บังคับให้ N.I. การเสียชีวิตของ Lobachevsky ทำให้การพิสูจน์ดังกล่าวเป็นไปไม่ได้

3). การทำให้เป็นทางการซึ่งขึ้นอยู่กับการสร้างภาษาตรรกะเทียม ทำหน้าที่เป็นรากฐานทางทฤษฎีสำหรับกระบวนการของอัลกอริทึมและการเขียนโปรแกรมของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ และด้วยเหตุนี้การใช้คอมพิวเตอร์ไม่เพียงแต่ทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิคเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความรู้อื่น ๆ ด้วย

ดังนั้น การทำให้เป็นทางการถือเป็นการวิเคราะห์เชิงตรรกะที่มีความหมายของวิธีการให้เหตุผลเหล่านั้น โดยที่ข้อความบางข้อความได้มาจากข้อความอื่นๆ แต่ข้อความนั้นเองซึ่งเป็นตัวแทนของการตัดสินในโครงสร้าง กลับประกอบด้วยแนวคิด ดังนั้นเราจะเริ่มศึกษาตรรกะด้วยการวิเคราะห์แนวคิด

การเชื่อมโยงที่จำเป็นระหว่างการคิดและภาษา ซึ่งภาษาทำหน้าที่เป็นเปลือกวัตถุของความคิด หมายความว่าการระบุโครงสร้างเชิงตรรกะนั้นเป็นไปได้โดยการวิเคราะห์การแสดงออกทางภาษาเท่านั้น เช่นเดียวกับที่เมล็ดถั่วสามารถเข้าถึงได้โดยการเปิดเปลือกเท่านั้น รูปแบบเชิงตรรกะจึงสามารถเปิดเผยได้โดยการวิเคราะห์ภาษาเท่านั้น

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญการวิเคราะห์เชิงตรรกะ-ภาษา เราจะพิจารณาโดยย่อเกี่ยวกับโครงสร้างและหน้าที่ของภาษา ความสัมพันธ์ระหว่างหมวดหมู่เชิงตรรกะและไวยากรณ์ รวมถึงหลักการของการสร้างภาษาพิเศษของตรรกะ

ภาษาเป็นระบบข้อมูลสัญญาณที่ทำหน้าที่สร้าง จัดเก็บ และส่งข้อมูลในกระบวนการทำความเข้าใจความเป็นจริงและการสื่อสารระหว่างผู้คน

วัสดุก่อสร้างหลักสำหรับการสร้างภาษาคือป้ายที่ใช้ในภาษา เครื่องหมายคือวัตถุใดๆ ที่รับรู้ทางความรู้สึก (ทางสายตา การได้ยิน หรืออย่างอื่น) ซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวแทนของวัตถุอื่น ในบรรดาป้ายต่างๆ เราแยกแยะได้สองประเภท: ป้ายรูปภาพ และป้ายสัญลักษณ์

ป้าย-รูปภาพมีความคล้ายคลึงกับวัตถุที่กำหนด ตัวอย่างของสัญญาณดังกล่าว: สำเนาเอกสาร ลายนิ้วมือ; รูปถ่าย; ป้ายถนนบางป้ายเป็นภาพเด็ก คนเดินถนน และวัตถุอื่นๆ ป้าย-สัญลักษณ์ไม่มีความคล้ายคลึงกับวัตถุที่กำหนด ตัวอย่างเช่น: โน้ตดนตรี; อักขระรหัสมอร์ส ตัวอักษรในภาษาประจำชาติ

ชุดสัญลักษณ์ดั้งเดิมของภาษาประกอบขึ้นเป็นตัวอักษร

การศึกษาภาษาอย่างครอบคลุมดำเนินการโดยทฤษฎีทั่วไปของระบบสัญลักษณ์ - สัญศาสตร์ ซึ่งวิเคราะห์ภาษาในสามด้าน: วากยสัมพันธ์ ความหมาย และเชิงปฏิบัติ

ไวยากรณ์เป็นสาขาหนึ่งของสัญศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างของภาษา ได้แก่ วิธีการก่อตัว การเปลี่ยนแปลง และการเชื่อมโยงระหว่างสัญลักษณ์ต่างๆ ความหมายเกี่ยวข้องกับปัญหาการตีความ เช่น การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างป้ายกับวัตถุที่กำหนด เชิงปฏิบัติวิเคราะห์ฟังก์ชันการสื่อสารของภาษา - ความสัมพันธ์ทางอารมณ์ จิตวิทยา สุนทรียศาสตร์ เศรษฐกิจ และความสัมพันธ์อื่น ๆ ของเจ้าของภาษากับภาษานั้น ๆ ชื่อภาษา การคิดเชิงตรรกะ

โดยกำเนิด ภาษามีทั้งแบบธรรมชาติหรือแบบประดิษฐ์

ภาษาธรรมชาติคือระบบสัญญาณข้อมูลเสียง (คำพูด) และกราฟิก (การเขียน) ที่มีการพัฒนาในอดีตในสังคม พวกเขาเกิดขึ้นเพื่อรวบรวมและถ่ายโอนข้อมูลที่สะสมในกระบวนการสื่อสารระหว่างผู้คน ภาษาธรรมชาติทำหน้าที่เป็นพาหะของวัฒนธรรมของผู้คนที่มีอายุหลายศตวรรษ พวกเขาโดดเด่นด้วยความสามารถในการแสดงออกที่หลากหลายและการครอบคลุมที่เป็นสากลในด้านต่างๆของชีวิต

ภาษาประดิษฐ์เป็นระบบสัญญาณเสริมที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของภาษาธรรมชาติเพื่อการถ่ายทอดข้อมูลทางวิทยาศาสตร์และข้อมูลอื่น ๆ ที่แม่นยำและประหยัด สร้างขึ้นโดยใช้ภาษาธรรมชาติหรือภาษาเทียมที่สร้างขึ้นก่อนหน้านี้ ภาษาที่ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการสร้างหรือเรียนรู้ภาษาอื่นเรียกว่าภาษาโลหะ ภาษาหลักเรียกว่าภาษาวัตถุ ตามกฎแล้วภาษาโลหะมีความสามารถในการแสดงออกที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับภาษาวัตถุ

ภาษาประดิษฐ์ที่มีระดับความรุนแรงต่างกันถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีสมัยใหม่: เคมี, คณิตศาสตร์, ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี, เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์, ไซเบอร์เนติกส์, การสื่อสาร, ชวเลข

กลุ่มพิเศษประกอบด้วยภาษาผสม โดยมีพื้นฐานเป็นภาษาธรรมชาติ (ประจำชาติ) เสริมด้วยสัญลักษณ์และแบบแผนที่เกี่ยวข้องกับสาขาวิชาเฉพาะ กลุ่มนี้รวมถึงภาษาตามอัตภาพที่เรียกว่า "ภาษากฎหมาย" หรือ "ภาษาของกฎหมาย" มันถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของภาษาธรรมชาติ (ในกรณีของเราคือภาษารัสเซีย) และยังรวมถึงแนวคิดและคำจำกัดความทางกฎหมายมากมาย ข้อสันนิษฐานและข้อสันนิษฐานทางกฎหมาย กฎของหลักฐานและการโต้แย้ง เซลล์เริ่มต้นของภาษานี้คือหลักนิติธรรมซึ่งรวมเข้าไว้ในระบบกฎหมายที่ซับซ้อน

ภาษาประดิษฐ์ยังใช้ตรรกะได้สำเร็จเพื่อการวิเคราะห์โครงสร้างทางจิตทั้งทางทฤษฎีและปฏิบัติอย่างแม่นยำ

หนึ่งในภาษาเหล่านี้คือภาษาของตรรกะเชิงประพจน์ มันถูกใช้ในระบบตรรกะที่เรียกว่าแคลคูลัสเชิงประพจน์ ซึ่งวิเคราะห์การใช้เหตุผลตามลักษณะความจริงของการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ และนามธรรมจากโครงสร้างภายในของการตัดสิน หลักการของการสร้างภาษานี้จะอธิบายไว้ในบทการให้เหตุผลแบบนิรนัย

ภาษาที่สองคือภาษาของตรรกะภาคแสดง มันถูกใช้ในระบบตรรกะที่เรียกว่าแคลคูลัสภาคแสดง ซึ่งเมื่อวิเคราะห์การใช้เหตุผล ไม่เพียงแต่คำนึงถึงลักษณะความจริงของการเชื่อมโยงเชิงตรรกะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงโครงสร้างภายในของการตัดสินด้วย ให้เราพิจารณาองค์ประกอบและโครงสร้างของภาษานี้โดยย่อ โดยแต่ละองค์ประกอบจะถูกใช้ในกระบวนการนำเสนอเนื้อหาสำคัญของหลักสูตร

ออกแบบมาเพื่อการวิเคราะห์เชิงตรรกะของการให้เหตุผล ภาษาของตรรกะภาคแสดงสะท้อนถึงโครงสร้างและติดตามลักษณะทางความหมายของภาษาธรรมชาติอย่างใกล้ชิด หมวดหมู่ความหมายหลักของภาษาของตรรกะภาคแสดงคือแนวคิดของชื่อ

ชื่อคือการแสดงออกทางภาษาที่มีความหมายบางอย่างในรูปแบบของคำหรือวลีที่แยกจากกัน ซึ่งแสดงถึงหรือตั้งชื่อวัตถุพิเศษทางภาษาบางอย่าง ชื่อที่เป็นหมวดหมู่ทางภาษาจึงมีลักษณะหรือความหมายบังคับสองประการ: ความหมายของหัวเรื่องและความหมายเชิงความหมาย

ความหมายหัวเรื่อง (การแสดงแทน) ของชื่อคือวัตถุหนึ่งหรือหลายวัตถุที่กำหนดโดยชื่อนี้ ตัวอย่างเช่นการกำหนดชื่อ "บ้าน" ในภาษารัสเซียจะเป็นโครงสร้างที่หลากหลายที่กำหนดโดยชื่อนี้: ไม้, อิฐ, หิน; เรื่องเดียวและหลายเรื่อง ฯลฯ

ความหมายเชิงความหมาย (ความหมายหรือแนวคิด) ของชื่อคือข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุ เช่น คุณสมบัติโดยธรรมชาติด้วยความช่วยเหลือในการแยกแยะวัตถุหลายอย่าง ในตัวอย่างข้างต้นความหมายของคำว่า "บ้าน" จะเป็นลักษณะต่อไปนี้ของบ้านใด ๆ : 1) โครงสร้างนี้ (อาคาร) 2) สร้างโดยมนุษย์ 3) มีไว้สำหรับที่อยู่อาศัย

ความสัมพันธ์ระหว่างชื่อ ความหมาย และการแสดงสัญลักษณ์ (วัตถุ) สามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบความหมายต่อไปนี้:

ซึ่งหมายความว่าชื่อหมายถึงเช่น หมายถึงวัตถุผ่านความหมายเท่านั้น ไม่ใช่โดยตรง การแสดงออกทางภาษาที่ไม่มีความหมายไม่สามารถเป็นชื่อได้เนื่องจากมันไม่มีความหมายดังนั้นจึงไม่คัดค้านเช่น ไม่มีสัญลักษณ์

ประเภทของชื่อในภาษาของตรรกะภาคแสดงที่กำหนดโดยลักษณะเฉพาะของการตั้งชื่อวัตถุและเป็นตัวแทนหมวดหมู่ความหมายหลักคือชื่อของ: 1) วัตถุ 2) คุณลักษณะและ 3) ประโยค

ชื่อของวัตถุแสดงถึงวัตถุเดี่ยว ปรากฏการณ์ เหตุการณ์ หรือหลายๆ อย่าง วัตถุประสงค์ของการวิจัยในกรณีนี้อาจเป็นได้ทั้งวัตถุ (เครื่องบิน ฟ้าผ่า ต้นสน) และวัตถุในอุดมคติ (พินัยกรรม ความสามารถทางกฎหมาย ความฝัน)

ตามองค์ประกอบ มีชื่อง่าย ๆ ที่ไม่รวมถึงชื่ออื่น (รัฐ) และชื่อที่ซับซ้อนซึ่งรวมถึงชื่ออื่น ๆ (ดาวเทียม Earth) ตาม denotation ชื่อจะเป็นเอกพจน์หรือสามัญ ชื่อเอกพจน์หมายถึงวัตถุชิ้นเดียวและสามารถแสดงในภาษาด้วยชื่อที่เหมาะสม (อริสโตเติล) ​​หรือให้คำอธิบาย (แม่น้ำที่ใหญ่ที่สุดในยุโรป) ชื่อสามัญหมายถึงชุดที่ประกอบด้วยวัตถุมากกว่าหนึ่งชิ้น ในภาษาสามารถแสดงด้วยคำนามทั่วไป (กฎหมาย) หรือให้คำอธิบาย (บ้านไม้หลังใหญ่)

ชื่อของคุณลักษณะต่างๆ เช่น คุณสมบัติ คุณสมบัติ หรือความสัมพันธ์ เรียกว่า ตัวแสดง ในประโยค พวกเขามักจะทำหน้าที่เป็นภาคแสดง (เช่น “to be blue” “to run” “to give” “to love” ฯลฯ) จำนวนชื่อของวัตถุที่ตัวแสดงอ้างถึงเรียกว่าท้องถิ่น ตัวทำนายที่แสดงคุณสมบัติที่มีอยู่ในวัตถุแต่ละชิ้นจะเรียกว่าที่เดียว (เช่น "ท้องฟ้าเป็นสีฟ้า") ตัวทำนายที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุสองชิ้นขึ้นไปเรียกว่าหลายตำแหน่ง ตัวอย่างเช่น กริยา "รัก" หมายถึงคู่ (“แมรี่รักปีเตอร์”) และกริยา “ให้” หมายถึงคู่ (“พ่อให้หนังสือกับลูกชายของเขา”)

ประโยคเป็นชื่อของสำนวนภาษาที่มีการยืนยันหรือปฏิเสธบางสิ่ง ตามความหมายเชิงตรรกะ พวกเขาแสดงความจริงหรือความเท็จ

ตัวอักษรของภาษาตรรกะภาคแสดงประกอบด้วยสัญลักษณ์ (สัญลักษณ์ประเภทต่อไปนี้):

• 1) a, b, c,... - สัญลักษณ์สำหรับชื่อวัตถุเดี่ยว (เหมาะสมหรือเป็นคำอธิบาย) เรียกว่าค่าคงที่ของประธานหรือค่าคงที่
• 2) x, y, z, ... - สัญลักษณ์ของชื่อสามัญของวัตถุที่มีความหมายในพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่ง เรียกว่าตัวแปรหัวเรื่อง
• 3) Р 1 ,Q 1 , R 1 ,... - สัญลักษณ์สำหรับเพรดิเคต, ดัชนีที่แสดงตำแหน่งของตน; เรียกว่าตัวแปรเพรดิเคต
• 4) p, q, r, ... - สัญลักษณ์สำหรับข้อความซึ่งเรียกว่าตัวแปรเชิงประพจน์หรือเชิงประพจน์ (จากข้อเสนอภาษาละติน - "คำสั่ง");
• 5) - สัญลักษณ์สำหรับลักษณะเชิงปริมาณของข้อความ; พวกเขาเรียกว่าปริมาณ: - ปริมาณทั่วไป; มันเป็นสัญลักษณ์ของการแสดงออก - ทุกสิ่ง ทุกคน ทุกคน เสมอ ฯลฯ -- ปริมาณการดำรงอยู่; มันเป็นสัญลักษณ์ของการแสดงออก - บางอย่าง, บางครั้ง, เกิดขึ้น, เกิดขึ้น, ดำรงอยู่ ฯลฯ ;
• 6) การเชื่อมต่อแบบลอจิคัล:
  • - ร่วม (คำเชื่อม “และ”);
  • - การแตกแยก (คำเชื่อม “หรือ”);
  • - นัย (คำร่วม “ถ้า..., แล้ว...”);
  • - ความเท่าเทียมกันหรือนัยสองนัย (คำร่วม “ถ้าและเท่านั้นหาก..., แล้ว…”);
  • - การปฏิเสธ (“ไม่เป็นความจริงเลย…”)

สัญลักษณ์ภาษาทางเทคนิค: (,) - วงเล็บซ้ายและขวา

ตัวอักษรนี้ไม่รวมอักขระอื่นๆ ยอมรับได้ เช่น นิพจน์ที่สมเหตุสมผลในภาษาของตรรกะภาคแสดงเรียกว่าสูตรที่มีรูปแบบที่ดี - PPF แนวคิดของ PPF ได้รับการแนะนำโดยคำจำกัดความต่อไปนี้:

• 1. ตัวแปรประพจน์ทุกตัว - p, q, r, ... เป็น PPF
• 2. ตัวแปรเพรดิเคตใดๆ ที่ใช้ลำดับของตัวแปรหัวเรื่องหรือค่าคงที่ ซึ่งเป็นจำนวนที่สอดคล้องกับตำแหน่งของตัวแปรนั้น คือ PPF: A 1 (x), A 2 (x, y), A 3 (x, y, z), A" ( x, y,..., n) โดยที่ A 1, A 2, A 3,..., A n เป็นสัญญาณภาษาโลหะสำหรับภาคแสดง
• 3. สำหรับสูตรใดๆ ที่มีตัวแปรวัตถุประสงค์ ซึ่งตัวแปรใดๆ เชื่อมโยงกับตัวปริมาณ นิพจน์ xA (x) และ xA (x) จะเป็น PPF เช่นกัน
• 4. ถ้า A และ B เป็นสูตร (A และ B เป็นสัญลักษณ์ภาษาโลหะสำหรับการแสดงโครงร่างสูตร) ​​ดังนั้นนิพจน์:

ยังเป็นสูตรอีกด้วย

5. สำนวนอื่นใดนอกเหนือจากที่ระบุไว้ในข้อ 1-4 ไม่ใช่ PPF ของภาษานี้

ต่อไปนี้ ไม่มีการใช้สัญลักษณ์ลอจิกพิเศษ อย่างไรก็ตาม เมื่อคำนึงถึงว่าผู้อ่านอาจต้องอ่านหนังสือที่ใช้สัญลักษณ์ดังกล่าว เราจะยกตัวอย่างสัญลักษณ์เชิงตรรกะพื้นฐานที่ใช้บ่อยที่สุด

เป็นเวลากว่าสองพันปีมาแล้วที่ตรรกะดั้งเดิมได้ใช้ภาษาธรรมดาในการอธิบายการคิด เฉพาะในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น แนวคิดนี้ค่อยๆ ได้รับการยอมรับว่าเพื่อวัตถุประสงค์ของตรรกะจำเป็นต้องใช้ภาษาประดิษฐ์พิเศษซึ่งสร้างขึ้นตามกฎที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด ภาษานี้ไม่ได้มีไว้สำหรับการสื่อสาร ควรทำหน้าที่เดียวเท่านั้น - ระบุความเชื่อมโยงเชิงตรรกะของความคิดของเรา แต่งานนี้จะต้องได้รับการแก้ไขอย่างมีประสิทธิภาพสูงสุด

หลักการสร้างภาษาตรรกะเทียมได้รับการพัฒนาอย่างดีในตรรกะสมัยใหม่ การสร้างมันมีความสำคัญประมาณเดียวกันในด้านความคิดสำหรับเทคนิคการอนุมานเชิงตรรกะ เช่นเดียวกับการเปลี่ยนจากการใช้แรงงานคนไปเป็นแรงงานเครื่องจักรในด้านการผลิต

ภาษาที่สร้างขึ้นเป็นพิเศษเพื่อจุดประสงค์ด้านตรรกะเรียกว่าภาษาที่เป็นทางการ คำในภาษาธรรมดาจะถูกแทนที่ด้วยตัวอักษรแต่ละตัวและอักขระพิเศษต่างๆ ภาษาที่เป็นทางการคือภาษา "เชิงสัญลักษณ์อย่างละเอียด" ซึ่งไม่มีคำใดที่เป็นภาษาธรรมดาแม้แต่คำเดียว ในภาษาที่เป็นทางการ การแสดงออกที่มีความหมายจะถูกแทนที่ด้วยตัวอักษรและสัญลักษณ์เชิงตรรกะ

(ค่าคงที่เชิงตรรกะ) ที่ใช้สัญลักษณ์ที่มีความหมายที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด

ในวรรณกรรมเชิงตรรกะ มีการใช้ระบบสัญลักษณ์ต่างๆ ดังนั้นจึงมีตัวเลือกสัญลักษณ์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไปด้านล่าง

สัญญาณที่ใช้บ่งบอกถึงการปฏิเสธ อ่าน: "ไม่", "มันไม่จริง";

สัญญาณที่แสดงถึงความเชื่อมโยงเชิงตรรกะที่เรียกว่าการรวมกัน อ่าน: "และ";

เครื่องหมายที่แสดงถึงการเชื่อมต่อเชิงตรรกะที่เรียกว่าการแยกทางแบบไม่ผูกขาด อ่านว่า: “หรือ”;

เครื่องหมายที่แสดงถึงการแยกทางที่เข้มงวดหรือพิเศษเฉพาะ; อ่านว่า: "อย่างใดอย่างหนึ่งหรือ";

สัญญาณบ่งชี้ความหมาย; อ่าน: "ถ้าอย่างนั้น";

ป้ายบ่งชี้ความเท่าเทียมกันของข้อความ อ่าน: "ถ้าและถ้าเท่านั้น";

ปริมาณทั่วไป อ่านว่า: "สำหรับทุกคน", "ทุกคน";

ปริมาณการดำรงอยู่; อ่านว่า "มีอยู่", "มีอย่างน้อยหนึ่งรายการ";

L, N, - เครื่องหมายเพื่อแสดงถึงตัวดำเนินการที่จำเป็น อ่าน: “จำเป็น”;

M เป็นเครื่องหมายที่แสดงถึงตัวดำเนินการของความเป็นไปได้ อ่านว่า: “เป็นไปได้อย่างนั้น”

นอกเหนือจากที่ระบุไว้แล้ว ระบบลอจิกต่างๆ ยังใช้สัญลักษณ์เฉพาะอื่นๆ และในแต่ละครั้งจะมีการอธิบายว่าสัญลักษณ์นี้หมายถึงอะไร และอ่านอย่างไร

เช่นเดียวกับในภาษาคณิตศาสตร์วงเล็บจะใช้เป็นเครื่องหมายวรรคตอนในภาษาตรรกะเทียม

ตัวอย่างเช่น ลองใช้ข้อความที่มีความหมายและนำเสนอข้อความในภาษาของตรรกะถัดจากข้อความเหล่านั้น:

A) “ผู้ที่คิดชัดเจนพูดชัดเจน” -; ตัวอักษร A หมายถึงข้อความ "บุคคลนั้นคิดอย่างชัดเจน", B - ข้อความ "บุคคลนั้นพูดอย่างชัดเจน" - คำเชื่อมโยง "ถ้าเช่นนั้น";

B) “ เขาเป็นคนมีการศึกษาและไม่เป็นความจริงเลยที่เขาไม่คุ้นเคยกับโคลงของเช็คสเปียร์” -; A - ข้อความว่า "เขาเป็นคนมีการศึกษา", B - "เขาไม่คุ้นเคยกับโคลงของเช็คสเปียร์" - ความเชื่อมโยง "และ"

C) “ถ้าแสงมีลักษณะเป็นคลื่น เมื่อแสดงเป็นกระแสของอนุภาค (คอร์พัสเคิล) ก็จะเกิดข้อผิดพลาดขึ้น” -

- A - "แสงมีลักษณะเป็นคลื่น", B - "แสงถูกแสดงเป็นกระแสของอนุภาค", C - "อนุญาตให้มีข้อผิดพลาด";

D) "ถ้าคุณอยู่ในปารีส คุณเห็นพิพิธภัณฑ์ลูฟร์หรือเห็นหอไอเฟล" - "คุณอยู่ในปารีส", B - "คุณเห็นพิพิธภัณฑ์ลูฟร์", C - "คุณเห็นหอไอเฟล";

4. สัญลักษณ์เชิงตรรกะ

D) “ หากสารได้รับความร้อนมันจะละลายหรือระเหย แต่ก็สามารถระเบิดได้เช่นกัน” - (A ^ (B v C v D)); A - "สารร้อนขึ้น", B - "สารละลาย", C - "สารระเหย", D - "สารระเบิด"

ขอให้เรายกตัวอย่างง่ายๆ อีกตัวอย่างหนึ่งของการเปลี่ยนจากภาษาตรรกะเทียมเป็นภาษาธรรมดา ให้ตัวแปร A เป็นตัวแทนของข้อความ "ทฤษฎีของดาร์วินเป็นวิทยาศาสตร์", B - "ทฤษฎีของดาร์วินสามารถยืนยันได้ด้วยข้อมูลการทดลอง", C - "ทฤษฎีของดาร์วินสามารถหักล้างได้ด้วยข้อมูลการทดลอง" ข้อความที่มีความหมายใดแสดงโดยสูตร:

ก) ก ^ (B ^ C);

B) (V l ~ C) ^ ~ A;

B) (~ V l ~ C) ^ ~ A?

คำตอบสำหรับคำถามนี้คือสามข้อความตามลำดับ:

ก) หากทฤษฎีของดาร์วินเป็นวิทยาศาสตร์ ดังนั้นหากข้อมูลการทดลองสามารถยืนยันได้ ข้อมูลเหล่านั้นก็สามารถหักล้างได้เช่นกัน

B) ถ้าทฤษฎีของดาร์วินสามารถยืนยันได้ด้วยข้อมูลการทดลอง แต่ไม่สามารถปฏิเสธได้ แสดงว่าไม่ใช่ทางวิทยาศาสตร์

C) หากทฤษฎีของดาร์วินไม่สามารถยืนยันได้ด้วยข้อมูลการทดลองและไม่สามารถปฏิเสธได้ แสดงว่าทฤษฎีนั้นไม่ใช่วิทยาศาสตร์

⊃ อาจมีความหมายเหมือนกับ ⇒ (สัญลักษณ์อาจหมายถึงซูเปอร์เซตก็ได้)

ยู+21D2 ⇒

⇒ (\displaystyle \ลูกศรขวา)
→ (\displaystyle \ถึง )\ถึง
⊃ (\displaystyle \supset )
⟹ (\displaystyle \นัย )\หมายถึง

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle \ลูกศรซ้าย )

ยู+0028 ยู+0029 () () (\displaystyle (~)) () ยู+22A2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash)\vdash ยู+22A8 ⊨ ⊨ (\displaystyle \vDash)\vแดชป้ายบอกทางสำหรับตัวดำเนินการ AND-NOT

U+22A7 ⊧ ความหมาย (ผลลัพธ์เชิงตรรกะ): คือ รุ่นสำหรับ...- ตัวอย่างเช่น A ⊧ B หมายความว่า A หมายถึง B ในรูปแบบใดๆ ที่ A ⊧ B ถ้า A เป็นจริง B ก็เป็นจริง

U+22A8 ⊨ จริง: จริง

U+22AC ⊬ ไม่เอาท์พุต: การปฏิเสธ ⊢, สัญลักษณ์ ลดไม่ได้, ตัวอย่างเช่น, ต ⊬ ปหมายความว่า " ปไม่ใช่ทฤษฎีบทใน ต»

U+22AD ⊭ เท็จ: ไม่จริง

U+22BC ⊼ NAND: ตัวดำเนินการ NAND อื่นสามารถเขียนเป็น ∧ ได้เช่นกัน

U+22BD ⊽ NOR: ตัวดำเนินการพิเศษ OR สามารถเขียนเป็น V ได้

U+22C4 ⋄ Diamond: ตัวดำเนินการโมดอลสำหรับ "เป็นไปได้ว่า" "ไม่จำเป็นต้องไม่" หรือ "สม่ำเสมอ" น้อยมาก (ในตรรกะโมดอลส่วนใหญ่ ตัวดำเนินการถูกกำหนดเป็น "€◻ฌ")

U+22C6 ⋆ เครื่องหมายดอกจัน: มักใช้เป็นตัวดำเนินการพิเศษ

U+22A5 ⊥ ปุ่มขึ้น หรือ U+2193 ↓ ลูกศรลง: ลูกศรเจาะ สัญลักษณ์ XOR บางครั้ง "⊥" ใช้สำหรับความขัดแย้งหรือไร้สาระ

• U+2310 ⌐ ยกเลิกแล้ว ไม่

ตัวดำเนินการต่อไปนี้ไม่ค่อยได้รับการสนับสนุนโดยแบบอักษรมาตรฐาน หากคุณต้องการใช้แบบอักษรเหล่านี้บนเพจของคุณ คุณควรฝังแบบอักษรที่จำเป็นเสมอเพื่อให้เบราว์เซอร์สามารถแสดงอักขระได้โดยไม่ต้องติดตั้งแบบอักษรบนคอมพิวเตอร์ของคุณ

โปแลนด์และเยอรมนี

ในโปแลนด์ บางครั้งตัวระบุปริมาณสากลจะเขียนเป็น ∧ (\displaystyle \ลิ่ม)และปริมาณการดำรงอยู่เป็น ∨ (\displaystyle \vee)- สิ่งเดียวกันนี้พบได้ในวรรณคดีเยอรมัน