ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน tg ค้นหาอนุพันธ์: อัลกอริทึมและตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งใน แนวคิดที่สำคัญที่สุดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ทางกายภาพคืออะไร และ ความหมายทางเรขาคณิตจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) - คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 - ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:

จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที - ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:

กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่

ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน

เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

สารละลาย:

สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ในระยะเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและเข้าใจงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม

กระบวนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่า ความแตกต่างอนุพันธ์จะต้องพบในปัญหาหลายประการในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น เมื่อค้นหาจุดสุดขั้วและจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน

จะหาได้อย่างไร?

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้ตารางอนุพันธ์ ฟังก์ชันเบื้องต้นและใช้กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง:

1. การย้ายค่าคงที่ให้เลยเครื่องหมายของอนุพันธ์: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. อนุพันธ์ของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชัน: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. อนุพันธ์ของเศษส่วน: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

สารละลาย

อนุพันธ์ของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม/ผลต่างของอนุพันธ์: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ การใช้กฎสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง $ (x^p)" = px^(p-1) $ เรามี: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ นอกจากนี้ยังนำมาพิจารณาด้วยว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

เครื่องคิดเลขจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด โดยให้คำตอบโดยละเอียด ตัวแปรความแตกต่างจะถูกกำหนดโดยอัตโนมัติ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- หนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การเกิดขึ้นของอนุพันธ์นำไปสู่ปัญหาต่างๆ เช่น การคำนวณความเร็วชั่วขณะของจุดหนึ่งๆ ในช่วงเวลาหนึ่ง หากทราบเส้นทางที่ขึ้นอยู่กับเวลา ปัญหาในการค้นหาแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

โดยส่วนใหญ่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ หากมีอยู่

คำนิยาม.ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดนั้น จากนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเรียกว่าลิมิต (ถ้ามี)

จะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร?

เพื่อเรียนรู้ที่จะแยกแยะหน้าที่ต่างๆ คุณจำเป็นต้องเรียนรู้และทำความเข้าใจ กฎความแตกต่างและเรียนรู้การใช้งาน ตารางอนุพันธ์.

กฎของความแตกต่าง

อนุญาต และ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ตามอำเภอใจของตัวแปรจริง และเป็นค่าคงที่จริงจำนวนหนึ่ง แล้ว

— กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของผลคูณของฟังก์ชัน

— กฎสำหรับการแยกฟังก์ชันผลหาร

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — การสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันด้วยเลขชี้กำลังตัวแปร

— กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

— กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันกำลัง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันออนไลน์

เครื่องคิดเลขของเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันออนไลน์อย่างรวดเร็วและแม่นยำ โปรแกรมจะไม่ทำผิดพลาดเมื่อคำนวณอนุพันธ์และจะช่วยคุณหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ยาวและน่าเบื่อ เครื่องคิดเลขออนไลน์นอกจากนี้ยังจะมีประโยชน์ในกรณีที่จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชันของคุณ และหากไม่ถูกต้อง ให้ค้นหาข้อผิดพลาดอย่างรวดเร็ว

ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นหนึ่งในปัญหาหลักในหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลายและในระดับอุดมศึกษา สถาบันการศึกษา- เป็นไปไม่ได้ที่จะสำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟโดยสมบูรณ์โดยไม่ต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถหาได้ง่ายหากคุณรู้กฎพื้นฐานของการหาอนุพันธ์ รวมถึงตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์

การทำความเข้าใจคำจำกัดความนี้ค่อนข้างยาก เนื่องจากแนวคิดเรื่องขีด จำกัด ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างถี่ถ้วนในโรงเรียน แต่ในการที่จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ นั้น ไม่จำเป็นต้องเข้าใจคำจำกัดความอีกต่อไป ปล่อยให้เป็นหน้าที่ของนักคณิตศาสตร์แล้วมุ่งตรงไปที่การหาอนุพันธ์กัน

กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าการสร้างความแตกต่าง เมื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชัน เราจะได้ฟังก์ชันใหม่

เราจะใช้อักษรละติน f, g เป็นต้น

มีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันมากมายสำหรับอนุพันธ์ เราจะใช้จังหวะ เช่น เขียน g" หมายความว่า เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน g ได้

ตารางอนุพันธ์

เพื่อที่จะตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาอนุพันธ์ จำเป็นต้องจัดทำตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลัก ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน ไม่จำเป็นต้องคำนวณที่ซับซ้อน แค่ดูมูลค่าในตารางอนุพันธ์ก็เพียงพอแล้ว

1. (บาป x)"=คอส x
2. (cos x)"= –บาป x
3. (x n)"= n x n-1
4. (อีเอ็กซ์)"=อีเอ็กซ์
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (บันทึก a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/บาป 2 x
10. (อาร์คซิน x)"= 1/√(1-x 2)
11. (อาร์คคอส x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (ส่วนโค้ง x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=500

เราเห็นว่านี่เป็นค่าคงที่ จากตารางอนุพันธ์เป็นที่ทราบกันว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ (สูตร 1)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=x 100

นี่คือฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น 100 และหากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณต้องคูณฟังก์ชันด้วยเลขชี้กำลังแล้วลดด้วย 1 (สูตร 3)

(x 100)"=100 x 99

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=5 x

นี่คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลองคำนวณอนุพันธ์ของมันโดยใช้สูตร 4 กัน

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= log 4 x

เราค้นหาอนุพันธ์ของลอการิทึมโดยใช้สูตร 7

(บันทึก 4 x)"=1/x ln 4

กฎของความแตกต่าง

ตอนนี้เรามาดูวิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหากไม่ได้อยู่ในตาราง ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่ศึกษาไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่เป็นการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้การดำเนินการง่ายๆ (การบวก การลบ การคูณ การหาร และการคูณด้วยตัวเลข) ในการค้นหาอนุพันธ์ คุณจำเป็นต้องรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง ด้านล่าง ตัวอักษร f และ g แสดงถึงฟังก์ชัน และ C เป็นค่าคงที่

1. ค่าสัมประสิทธิ์คงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= 6*x 8

เราเอาตัวประกอบคงที่เป็น 6 และหาอนุพันธ์เพียง x 4 เท่านั้น นี่คือฟังก์ชันยกกำลัง ซึ่งเป็นอนุพันธ์ซึ่งพบได้โดยใช้สูตร 3 ของตารางอนุพันธ์

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์

(ฉ + ก)"=ฉ" + ก"

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 +sin x

ฟังก์ชันคือผลรวมของสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราหาได้จากตาราง เนื่องจาก (x 100)"=100 x 99 และ (บาป x)"=cos x อนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์เหล่านี้:

(x 100 +ซิน x)"= 100 x 99 +คอส x

3. อนุพันธ์ของส่วนต่างเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์

(ฉ – ก)"=ฉ" – ก"

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 – cos x

ฟังก์ชันนี้คือผลต่างของสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราหาได้ในตาราง จากนั้นอนุพันธ์ของผลต่างจะเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์และอย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย เนื่องจาก (cos x)"= – sin x

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + บาป x

ตัวอย่างที่ 8 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=e x +tg x– x 2

ฟังก์ชันนี้มีทั้งผลรวมและส่วนต่าง มาหาอนุพันธ์ของแต่ละเทอมกัน:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดิมจะเท่ากับ:

(เช่น x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

(ฉ * ก)"=ฉ" * ก + ฉ * ก"

ตัวอย่างที่ 9 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= cos x *e x

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะหาอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัย (cos x)"=–sin x และ (e x)"=e x ทีนี้ลองแทนที่ทุกอย่างลงในสูตรผลิตภัณฑ์กัน เราคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยวินาที และเพิ่มผลคูณของฟังก์ชันแรกด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. อนุพันธ์ของผลหาร

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

ตัวอย่างที่ 10 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 50 /sin x

ในการหาอนุพันธ์ของผลหาร ขั้นแรกให้หาอนุพันธ์ของทั้งเศษและส่วนแยกกัน: (x 50)"=50 x 49 และ (sin x)"= cos x เมื่อแทนอนุพันธ์ของผลหารลงในสูตร เราจะได้:

(x 50 /บาป x)"= 50x 49 *บาป x – x 50 *cos x/บาป 2 x

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่แสดงโดยองค์ประกอบของฟังก์ชันต่างๆ นอกจากนี้ยังมีกฎสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

(คุณ (วี))"=คุณ"(วี)*วี"

ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวกัน ให้ y= u(v(x)) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน มาเรียกฟังก์ชันกัน คุณภายนอก และ v - ภายใน

ตัวอย่างเช่น:

y=sin (x 3) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน

จากนั้น y=sin(t) คือฟังก์ชันภายนอก

เสื้อ=x 3 - ภายใน

ลองคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน ตามสูตร คุณต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและภายนอก

(sin t)"=cos (t) - อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (โดยที่ t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

จากนั้น (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

การนำทางหน้า

อนุพันธ์มีค่าคงที่

เมื่อได้สูตรแรกของตาราง เราจะเริ่มจากคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง สมมุติว่า x คือจำนวนจริงใดๆ นั่นคือ x คือจำนวนใดๆ จากโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ให้เราเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ :

ควรสังเกตว่าภายใต้เครื่องหมายขีด จำกัด จะได้รับนิพจน์ซึ่งไม่ใช่ เนื่องจากตัวเศษไม่มีค่าน้อยที่สุด แต่เป็นศูนย์อย่างแม่นยำ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคงที่จะเป็นศูนย์เสมอ

ดังนั้น, อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ.

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ต่อไปนี้

สารละลาย.

ในกรณีแรกเรามีอนุพันธ์ของจำนวนธรรมชาติ 3 ในกรณีที่สองเราต้องหาอนุพันธ์ของพารามิเตอร์ a ซึ่งอาจเป็นจำนวนจริงใดๆ ในอันดับที่สาม - อนุพันธ์ของจำนวนอตรรกยะในอันดับที่สี่ กรณีที่เรามีอนุพันธ์ของศูนย์ (ศูนย์คือจำนวนเต็ม) ในอันดับที่ห้า – อนุพันธ์ของเศษส่วนตรรกยะ

คำตอบ:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดนี้เท่ากับศูนย์สำหรับค่า x จริงใดๆ (ทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง

สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังมีรูปแบบ โดยที่เลขชี้กำลัง p คือจำนวนจริงใดๆ

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์สูตรของเลขชี้กำลังธรรมชาติ นั่นคือสำหรับ p = 1, 2, 3, ...

เราจะใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ ให้เราเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันกำลังต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

เพื่อให้นิพจน์ในตัวเศษง่ายขึ้น เราหันไปหาสูตร:

เพราะฉะนั้น,

สิ่งนี้พิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังของเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

ควรพิจารณาสองกรณี: สำหรับค่าบวก x และค่าลบ x

สมมติว่าก่อน ในกรณีนี้. ลองใช้ลอการิทึมของความเท่ากันเป็นฐาน e แล้วใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:

เรามาถึงฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย เราพบอนุพันธ์ของมัน:

ยังคงต้องพิสูจน์ค่าลบ x

เมื่อเลขชี้กำลัง p เป็นเลขคู่ ฟังก์ชันกำลังก็ถูกกำหนดให้เป็นเลขคู่ด้วย (ดูหัวข้อ) นั่นคือ - ในกรณีนี้ คุณยังสามารถใช้การพิสูจน์ผ่านอนุพันธ์ลอการิทึมได้อีกด้วย

เมื่อเลขชี้กำลัง p เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันกำลังก็ถูกกำหนดให้เป็นเลขคี่เช่นกัน นั่นคือ - ในกรณีนี้ ไม่สามารถใช้อนุพันธ์ลอการิทึมได้ เพื่อพิสูจน์สูตร ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์และกฎในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้:

การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดเป็นไปได้เนื่องจากถ้า p เป็นเลขคี่ แล้ว p-1 อาจเป็นเลขคู่หรือศูนย์ (สำหรับ p=1) ดังนั้น สำหรับลบ x ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง .

ดังนั้น สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังจึงได้รับการพิสูจน์สำหรับ p จริงใดๆ

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย.

เรานำฟังก์ชันที่หนึ่งและสามมาอยู่ในรูปแบบตาราง โดยใช้คุณสมบัติของกำลัง และใช้สูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรานำเสนอที่มาของสูตรอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ:

เรามาถึงความไม่แน่นอนแล้ว เพื่อขยายมัน เราแนะนำตัวแปรใหม่และที่ . แล้ว . ในการเปลี่ยนครั้งล่าสุด เราใช้สูตรในการเปลี่ยนไปใช้ฐานลอการิทึมใหม่

แทนที่ด้วยขีดจำกัดเดิม:

ตามนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์ที่เรามี .

ลองใช้สูตรผลต่างของไซน์:

ยังคงต้องหันไปสู่ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการแรก:

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน sin x คือ cos x

สูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์ได้รับการพิสูจน์ด้วยวิธีเดียวกันทุกประการ

เมื่อแก้ไขปัญหาการหาอนุพันธ์ เราจะอ้างถึงตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานอยู่เสมอ ไม่อย่างนั้นทำไมเราจึงรวบรวมและพิสูจน์แต่ละสูตร เราขอแนะนำให้คุณจำสูตรเหล่านี้ทั้งหมดไว้ ในอนาคตจะช่วยให้คุณประหยัดเวลาได้มาก

ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนใดส่วนหนึ่งของไซต์ รวมถึงเนื้อหาภายในและรูปลักษณ์ภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์