การเพิ่มฟังก์ชันตัวอย่างการแก้ปัญหา Open Library - ห้องสมุดข้อมูลการศึกษาแบบเปิด ลองดูตัวอย่างการเพิ่มฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์

ให้ x เป็นจุดใดก็ได้ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดคงที่ x 0 ส่วนต่าง x – x 0 มักเรียกว่าส่วนเพิ่มของตัวแปรอิสระ (หรือส่วนเพิ่มอาร์กิวเมนต์) ที่จุด x 0 และเขียนแทนด้วย Δx ดังนั้น,

∆x = x –x 0 ,

เหตุใดจึงเป็นไปตามนั้น

เพิ่มฟังก์ชัน –ความแตกต่างระหว่างค่าฟังก์ชันสองค่า

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ ที่ = ฉ(x)กำหนดด้วยค่าของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ เอ็กซ์ 0 . ปล่อยให้อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น D เอ็กซ์, 🐘.อ. พิจารณามูลค่าของการโต้แย้งเท่ากับ x 0+ด เอ็กซ์- สมมติว่าค่าอาร์กิวเมนต์นี้อยู่ในขอบเขตของฟังก์ชันนี้ด้วย แล้วความแตกต่าง D ย = ฉ(x 0+ด เอ็กซ์) – ฉ(x 0)โดยทั่วไปเรียกว่าการเพิ่มฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น ฉ(x) ณ จุดนั้น x- ฟังก์ชั่นมักจะแสดงแทนΔ x ฉจากตัวแปรใหม่ Δ xกำหนดให้เป็น

Δ x ฉ(Δ x) = ฉ(x + Δ x) − ฉ(x).

ค้นหาส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์และส่วนเพิ่มของฟังก์ชันที่จุด x 0 ถ้า

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน f(x) = x 2 ถ้า x = 1, ∆x = 0.1

วิธีแก้: f(x) = x 2, f(x+∆x) = (x+∆x) 2

ลองหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

แทนค่า x=1 และ ∆x= 0.1 เราจะได้ ∆f = 2*1*0.1 + (0.1) 2 = 0.2+0.01 = 0.21

ค้นหาส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์และส่วนเพิ่มของฟังก์ชันที่จุด x 0

2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2.4

3. ฉ(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0.8

4. ฉ(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3.8

คำนิยาม: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกขีดจำกัด (ถ้ามีอยู่และเป็นจำกัด) ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยมีเงื่อนไขว่าค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

สัญกรณ์อนุพันธ์ที่ใช้กันมากที่สุดคือ:

ดังนั้น,

การหาอนุพันธ์มักเรียกว่า ความแตกต่าง - แนะนำตัว นิยามของฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์: ฟังก์ชัน f ซึ่งมีอนุพันธ์ในแต่ละจุดของช่วงเวลาหนึ่งๆ มักจะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานี้

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่ง โดยปกติแล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเรียกว่าตัวเลขที่ฟังก์ชันอยู่ในละแวกนั้น คุณ(x 0) สามารถแสดงเป็น

ฉ(x 0 + ชม.) = ฉ(x 0) + อา + โอ(ชม.)

หากมีอยู่

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง.

ให้ฟังก์ชัน ฉ(x)กำหนดไว้ตามช่วงเวลา (ก; ข)และเป็นจุดของช่วงนี้

คำนิยาม- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x)ณ จุดหนึ่ง มันเป็นธรรมเนียมที่จะเรียกขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ แสดงโดย .

เมื่อขีดจำกัดสุดท้ายใช้กับค่าสุดท้ายที่เฉพาะเจาะจง เราจะพูดถึงการดำรงอยู่ อนุพันธ์จำกัด ณ จุดนั้น- ถ้าขีดจำกัดไม่มีที่สิ้นสุด เราก็จะพูดอย่างนั้น อนุพันธ์ไม่มีที่สิ้นสุด ณ จุดที่กำหนด- หากไม่มีขีดจำกัดแล้ว ไม่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้.

การทำงาน ฉ(x)กล่าวกันว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่งเมื่อมีอนุพันธ์จำกัดอยู่

ในกรณีที่มีฟังก์ชั่น ฉ(x)แยกแยะได้ในแต่ละจุดของช่วงเวลาหนึ่ง (ก; ข)จากนั้นฟังก์ชันนี้เรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานี้ ΤANᴋᴎQuart ëϬᴩᴩᴈAlice ประเด็นใดก็ได้ xจากระหว่าง (ก; ข)เราสามารถเทียบค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ได้ กล่าวคือ เรามีโอกาสกำหนดฟังก์ชันใหม่ที่เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x)ในช่วงเวลา (ก; ข).

การดำเนินการค้นหาอนุพันธ์มักเรียกว่าการหาอนุพันธ์

จำง่ายมาก

อย่าเพิ่งไปไกล ลองพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันของ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง- ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

มันเท่ากับอะไร? แน่นอน.

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมาก:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: ลอการิทึมเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันง่ายๆ ที่ไม่เหมือนใครจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกับฐานอื่นจะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังหลังจากที่เราผ่านกฎการสร้างความแตกต่างแล้ว

กฎของความแตกต่าง

กฎของอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...

ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสามารถเรียกกระบวนการนี้ว่าอะไรอีกในคำเดียว? ไม่ใช่อนุพันธ์... นักคณิตศาสตร์เรียกอนุพันธ์ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่เท่ากัน คำนี้มาจากภาษาละตินว่า differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้รับกฎเหล่านี้ทั้งหมด เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องมีสูตรสำหรับการเพิ่ม:

มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) ดังนั้น

แน่นอนว่ากฎนี้ยังใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กัน ปล่อยให้มันเป็นไปหรือง่ายกว่านั้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. ณ จุดหนึ่ง;
2. ณ จุดหนึ่ง;
3. ณ จุดหนึ่ง;
4. ตรงจุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์จะเท่ากันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม?);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างจะคล้ายกันที่นี่ เรามาแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาส่วนที่เพิ่มขึ้นกันดีกว่า:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ;
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอแล้วที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่ามันคืออะไร?)

แล้วเลขไหนล่ะ..

เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองนำฟังก์ชันของเราไปใช้ฐานใหม่กัน:

ในการดำเนินการนี้ เราจะใช้กฎง่ายๆ: . แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

มันได้ผลเหรอ?

ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก เหมือนเดิม มันยังคงเหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบเท่านั้นที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข กล่าวคือ ไม่สามารถเขียนลงในรูปแบบที่ง่ายกว่านี้ได้ ดังนั้นเราจึงทิ้งคำตอบไว้ในรูปแบบนี้

โปรดทราบว่านี่คือผลหารของสองฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ที่สอดคล้องกัน:

ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของสองฟังก์ชัน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

มันคล้ายกันตรงนี้: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้น หากต้องการค้นหาลอการิทึมตามอำเภอใจที่มีฐานต่างกัน เช่น

เราจำเป็นต้องลดลอการิทึมนี้ลงเหลือฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้เราจะเขียนแทน:

ตัวส่วนเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์ได้มาง่ายมาก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมแทบไม่เคยพบในการตรวจสอบ Unified State แต่การรู้จักฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่ฟุ่มเฟือย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์กแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าคุณจะพบว่าลอการิทึมยาก ลองอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วคุณจะโอเค) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตด้วยกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือวัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นแท่งช็อกโกแลตที่พันและผูกด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำขั้นตอนย้อนกลับในลำดับย้อนกลับ

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: ก่อนอื่นเราจะหาโคไซน์ของตัวเลขแล้วยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงได้รับตัวเลข (ช็อคโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (กระดาษห่อ) แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (ผูกมันด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อเราต้องการหาค่าของมัน เราจะดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง จากนั้นจึงดำเนินการที่สองกับผลลัพธ์จากฟังก์ชันแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างของเรา .

เราสามารถทำขั้นตอนเดียวกันในลำดับย้อนกลับได้ง่ายๆ ขั้นแรกให้คุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะหาโคไซน์ของตัวเลขผลลัพธ์: เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างออกไปเกือบตลอดเวลา คุณลักษณะที่สำคัญของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป

ตัวอย่างที่สอง: (สิ่งเดียวกัน) -

การกระทำที่เราทำครั้งสุดท้ายจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำนั้นเกิดขึ้นก่อน - ตามนั้น ฟังก์ชั่น "ภายใน"(ชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาเป็นภาษาง่ายๆ เท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกันมากกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน

1. เราจะดำเนินการใดก่อน? ก่อนอื่น มาคำนวณไซน์ก่อน แล้วค่อยยกกำลังสามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันเป็นฟังก์ชันภายใน แต่เป็นฟังก์ชันภายนอก
   และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: .
2. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
3. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
4. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
5. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ทีนี้ เราจะแยกแท่งช็อกโกแลตออกมาแล้วมองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ ขั้นแรกเรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สัมพันธ์กับตัวอย่างดั้งเดิม ดูเหมือนว่า:

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนง่ายใช่มั้ย?

ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามตัดมันออกตอนนี้! ไม่มีอะไรออกมาจากใต้โคไซน์ จำได้ไหม?)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

ชัดเจนทันทีว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามระดับ: ท้ายที่สุดแล้วนี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในตัวเองอยู่แล้วและเรายังแยกรากออกจากมันด้วยนั่นคือเราทำการกระทำที่สาม (ใส่ช็อคโกแลตลงในกระดาษห่อ และมีริบบิ้นอยู่ในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่ต้องกลัว: เราจะยังคง "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดิมเหมือนปกติ: จากจุดสิ้นสุด

นั่นคือ ขั้นแรกเราแยกความแตกต่างของราก จากนั้นจึงแยกโคไซน์ และเฉพาะนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด.

ในกรณีเช่นนี้ จะสะดวกในการนับจำนวนการกระทำ นั่นคือลองจินตนาการถึงสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการตามลำดับใดเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งดำเนินการในภายหลังฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่งมี "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำเหมือนกับเมื่อก่อน:

โดยทั่วไปการทำรังจะมี 4 ระดับ เรามากำหนดแนวทางการดำเนินการกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง -

2. รูท -

3. ไซน์. -

4. สี่เหลี่ยม. -

5. นำทั้งหมดมารวมกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎของความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
3. เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและสอง

คำจำกัดความ 1

หากแต่ละคู่ $(x,y)$ ของค่าของตัวแปรอิสระสองตัวจากบางโดเมนมีค่าที่แน่นอน $z$ เชื่อมโยงกัน ดังนั้น $z$ จะถูกกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว $(x,y) $. สัญกรณ์: $z=f(x,y)$.

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ลองพิจารณาแนวคิดของการเพิ่มขึ้นทั่วไป (ทั้งหมด) และการเพิ่มทีละบางส่วนของฟังก์ชัน

ให้ฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ถูกกำหนดให้กับตัวแปรอิสระสองตัว $(x,y)$

หมายเหตุ 1

เนื่องจากตัวแปร $(x,y)$ มีความเป็นอิสระ หนึ่งในตัวแปรจึงสามารถเปลี่ยนแปลงได้ ในขณะที่อีกตัวแปรหนึ่งยังคงที่

สมมติว่าตัวแปร $x$ เพิ่มค่า $\Delta x$ โดยไม่เปลี่ยนแปลงค่าของตัวแปร $y$

จากนั้นฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ จะได้รับส่วนเพิ่ม ซึ่งจะเรียกว่าส่วนเพิ่มบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับตัวแปร $x$ การกำหนด:

ในทำนองเดียวกัน เราจะให้ตัวแปร $y$ เพิ่มขึ้นเป็น $\Delta y$ ขณะเดียวกันก็รักษาค่าของตัวแปร $x$ ไว้ไม่เปลี่ยนแปลง

จากนั้นฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ จะได้รับส่วนเพิ่ม ซึ่งจะเรียกว่าส่วนเพิ่มบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับตัวแปร $y$ การกำหนด:

ถ้าอาร์กิวเมนต์ $x$ ได้รับการเพิ่มค่า $\Delta x$ และอาร์กิวเมนต์ $y$ ได้รับการเพิ่มค่า $\Delta y$ ดังนั้นค่าที่เพิ่มขึ้นทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด $z=f(x,y)$ จะได้รับ การกำหนด:

ดังนั้นเราจึงมี:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ โดย $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ โดย $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - ส่วนเพิ่มทั้งหมดของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ส่วน $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ เทียบกับ $y$

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - ส่วนเพิ่มทั้งหมดของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณส่วนเพิ่มบางส่วนและทั้งหมดของฟังก์ชัน $z=xy$ ที่จุด $(1;2)$ สำหรับ $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$

สารละลาย:

ตามคำนิยามของการเพิ่มขึ้นบางส่วน เราพบว่า:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ส่วน $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ โดย $y$;

ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นทั้งหมด เราพบว่า:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - ส่วนเพิ่มทั้งหมดของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$

เพราะฉะนั้น,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

หมายเหตุ 2

ผลรวมที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่กำหนด $z=f(x,y)$ ไม่เท่ากับผลรวมของส่วนเพิ่มบางส่วน $\Delta _(x) z$ และ $\Delta _(y) z$ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$

ตัวอย่างที่ 3

ตรวจสอบข้อสังเกตสำหรับฟังก์ชัน

สารละลาย:

$\เดลต้า _(x) z=x+\เดลต้า x+y$; $\เดลต้า _(y) z=x+y+\เดลต้า y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (ได้มาจากตัวอย่างที่ 1)

ลองหาผลรวมของการเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชันที่กำหนด $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\เดลต้า _(x) z+\เดลต้า _(y) z\ne \เดลต้า z.\]

คำจำกัดความ 2

ถ้าสำหรับแต่ละสาม $(x,y,z)$ ของค่าของตัวแปรอิสระสามตัวจากบางโดเมนมีค่าที่แน่นอน $w$ เชื่อมโยงกัน ดังนั้น $w$ จะถูกกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว $(x, y,z)$ ในบริเวณนี้

สัญกรณ์: $w=f(x,y,z)$.

คำจำกัดความ 3

หากสำหรับแต่ละชุด $(x,y,z,...,t)$ ของค่าของตัวแปรอิสระจากบางภูมิภาคมีค่าที่แน่นอน $w$ เชื่อมโยงกัน ดังนั้น $w$ จะถูกกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันของ ตัวแปร $(x,y, z,...,t)$ ในบริเวณนี้

สัญกรณ์: $w=f(x,y,z,...,t)$.

สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่มีตัวแปรสองตัว จะมีการกำหนดส่วนเพิ่มบางส่วนสำหรับตัวแปรแต่ละตัว:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z,... ,t )$ โดย $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w =f (x,y,z,...,t)$ โดย $t$

ตัวอย่างที่ 4

เขียนฟังก์ชันการเพิ่มขึ้นบางส่วนและทั้งหมด

สารละลาย:

ตามคำนิยามของการเพิ่มขึ้นบางส่วน เราพบว่า:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ ส่วน $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ ส่วน $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ ส่วน $z$;

ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นทั้งหมด เราพบว่า:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - ส่วนเพิ่มทั้งหมดของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณการเพิ่มขึ้นบางส่วนและทั้งหมดของฟังก์ชัน $w=xyz$ ที่จุด $(1;2;1)$ สำหรับ $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \เดลต้า z=0.1$.

สารละลาย:

ตามคำนิยามของการเพิ่มขึ้นบางส่วน เราพบว่า:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ ส่วน $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ โดย $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - การเพิ่มขึ้นบางส่วนของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$ ส่วน $z$;

ตามคำจำกัดความของการเพิ่มขึ้นทั้งหมด เราพบว่า:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - ส่วนเพิ่มทั้งหมดของฟังก์ชัน $w=f(x,y,z)$

เพราะฉะนั้น,

\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

จากมุมมองทางเรขาคณิต ผลรวมที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ (ตามคำจำกัดความ $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) เท่ากับการเพิ่มขึ้นของการประยุกต์ฟังก์ชันกราฟ $z=f(x,y)$ เมื่อย้ายจากจุด $M(x,y)$ ไปยังจุด $M_(1) (x+\Delta x,y+ \เดลต้า y)$ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1.

อนุญาต เอ็กซ์– อาร์กิวเมนต์ (ตัวแปรอิสระ); y=y(x)- การทำงาน.

ลองใช้ค่าอาร์กิวเมนต์คงที่ x=x 0 และคำนวณค่าของฟังก์ชัน ย 0 =y(x 0 ) - ตอนนี้เรามาตั้งค่าตามอำเภอใจกัน เพิ่มขึ้น (เปลี่ยน) ของการโต้แย้งและแสดงถึงมัน  เอ็กซ์ ( เอ็กซ์อาจเป็นสัญญาณใดก็ได้)

อาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นคือจุด เอ็กซ์ 0 +  เอ็กซ์- สมมติว่ามันมีค่าฟังก์ชันด้วย y=y(x 0 +  เอ็กซ์)(ดูภาพ)

ดังนั้นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงค่าของอาร์กิวเมนต์โดยพลการจึงได้รับการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันซึ่งเรียกว่า เพิ่มขึ้น ค่าฟังก์ชัน:

และไม่ได้เป็นไปตามอำเภอใจ แต่ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันและค่า
.

อาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นสามารถเป็นได้ สุดท้าย, เช่น. แสดงเป็นจำนวนคงที่ ซึ่งในกรณีนี้บางครั้งเรียกว่าผลต่างอันจำกัด

ในทางเศรษฐศาสตร์ การเพิ่มขึ้นอย่างจำกัดมักถูกพิจารณาบ่อยครั้ง ตัวอย่างเช่น ตารางแสดงข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของเครือข่ายทางรถไฟของรัฐหนึ่งๆ แน่นอนว่าการเพิ่มความยาวเครือข่ายจะคำนวณโดยการลบค่าก่อนหน้าออกจากค่าที่ตามมา

เราจะพิจารณาความยาวของเครือข่ายรถไฟเป็นฟังก์ชัน ซึ่งจะเป็นเวลา (ปี)

	ความยาวทางรถไฟ ณ วันที่ 31 ธันวาคม พันกม.	เพิ่มขึ้น	การเติบโตเฉลี่ยต่อปี

ในตัวมันเอง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน (ในกรณีนี้คือความยาวของเครือข่ายทางรถไฟ) ไม่ได้บ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันได้ดี ในตัวอย่างของเราจากข้อเท็จจริงที่ว่า 2,5>0,9 ไม่สามารถสรุปได้ว่าเครือข่ายเติบโตเร็วขึ้นใน 2000-2003 ปีกว่าใน 2004 ก. เพราะว่ามีการเพิ่มขึ้น 2,5 หมายถึงระยะเวลาสามปีและ 0,9 - ในเวลาเพียงหนึ่งปี ดังนั้นจึงค่อนข้างเป็นธรรมชาติที่การเพิ่มฟังก์ชันจะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงหน่วยในอาร์กิวเมนต์ การเพิ่มขึ้นของข้อโต้แย้งที่นี่คือจุด: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

เราได้รับสิ่งที่เรียกว่าในวรรณคดีเศรษฐศาสตร์ การเติบโตเฉลี่ยต่อปี.

คุณสามารถหลีกเลี่ยงการดำเนินการลดการเพิ่มขึ้นในหน่วยของการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ได้หากคุณใช้ค่าฟังก์ชันสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันหนึ่งค่าซึ่งไม่สามารถทำได้เสมอไป

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จะมีการพิจารณาการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันเพียงเล็กน้อย (IM)

การหาความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่ง (อนุพันธ์และอนุพันธ์) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์ 0 ถือได้ว่าเป็นปริมาณที่น้อยมากที่เทียบเคียงได้ (ดูหัวข้อที่ 4 การเปรียบเทียบ BM) กล่าวคือ BM ในลำดับเดียวกัน

แล้วอัตราส่วนของมันจะมีขีดจำกัดจำกัด ซึ่งกำหนดเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน t เอ็กซ์ 0 .

ขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่ม BM ของอาร์กิวเมนต์ ณ จุดหนึ่ง x=x 0 เรียกว่า อนุพันธ์ ทำหน้าที่ ณ จุดที่กำหนด

นิวตันแนะนำการกำหนดเชิงสัญลักษณ์ของอนุพันธ์โดยใช้ขีด (หรือแทนด้วยเลขโรมัน I) คุณยังสามารถใช้ตัวห้อยซึ่งแสดงว่าตัวแปรใดที่ใช้คำนวณอนุพันธ์ได้ เช่น - สัญกรณ์อีกประการหนึ่งที่เสนอโดยผู้ก่อตั้งแคลคูลัสอนุพันธ์คือ Leibniz นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันก็ใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน:
- คุณจะได้เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่มาของการกำหนดนี้ในหัวข้อนี้ ส่วนต่างของฟังก์ชันและส่วนต่างของอาร์กิวเมนต์

ตัวเลขประมาณนี้ ความเร็วการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันที่ผ่านจุด
.

มาติดตั้งกัน ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง เพื่อจุดประสงค์นี้ เราจะพล็อตฟังก์ชัน y=y(x)และทำเครื่องหมายจุดที่กำหนดการเปลี่ยนแปลง ใช่(x)ในระหว่างนั้น

แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ม 0
เราจะพิจารณาตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด ม 0 มระบุว่า
(จุด มเลื่อนไปตามกราฟของฟังก์ชันไปยังจุดหนึ่ง ม 0 ).

ลองพิจารณาดู
- อย่างชัดเจน,
.

ถ้าตรงประเด็น มตรงไปตามกราฟของฟังก์ชันไปยังจุด ม 0 แล้วค่า
จะมีแนวโน้มที่จะมีขีดจำกัดซึ่งเรากำหนดไว้
- ในเวลาเดียวกัน.

มุมจำกัด  เกิดขึ้นพร้อมกับมุมเอียงของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันพร้อม ม 0 อนุพันธ์ก็คือ
เท่ากับตัวเลข ความชันสัมผัส ณ จุดที่กำหนด

-

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง.

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนสมการแทนเจนต์และสมการปกติ ( ปกติ - นี่คือเส้นตรงตั้งฉากกับแทนเจนต์) กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง เอ็กซ์ 0 :

แทนเจนต์ - .

ปกติ -
.

สิ่งที่น่าสนใจคือกรณีที่เส้นเหล่านี้อยู่ในแนวนอนหรือแนวตั้ง (ดูหัวข้อที่ 3 กรณีพิเศษของตำแหน่งของเส้นบนเครื่องบิน) แล้ว,

ถ้า
;

ถ้า
.

คำจำกัดความของอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง ฟังก์ชั่น

 ถ้าฟังก์ชั่นตรงจุด เอ็กซ์ 0 มีอนุพันธ์จำกัดก็เรียกว่า หาความแตกต่างได้ณ จุดนี้ ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ในทุกจุดของช่วงเวลาหนึ่งๆ เรียกว่า ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานี้

 ทฤษฎีบท . ถ้าฟังก์ชั่น y=y(x)รวมไปถึงอนุพันธ์ เอ็กซ์ 0 แล้วมันก็ต่อเนื่องกัน ณ จุดนี้

ดังนั้น, ความต่อเนื่อง– เงื่อนไขที่จำเป็น (แต่ไม่เพียงพอ) สำหรับความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ในฟิสิกส์การแพทย์และชีววิทยา

บรรยายครั้งที่ 1

ฟังก์ชันอนุพันธ์และอนุพันธ์

อนุพันธ์บางส่วน

1. แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ ความหมายทางกลและเรขาคณิต

ก ) การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน

กำหนดให้ฟังก์ชัน y=f(x) โดยที่ x คือค่าของอาร์กิวเมนต์จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน หากคุณเลือกสองค่าของอาร์กิวเมนต์ x o และ x จากช่วงเวลาหนึ่งของโดเมนคำจำกัดความของฟังก์ชันความแตกต่างระหว่างสองค่าของอาร์กิวเมนต์จะเรียกว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์: x - x o = ∆x.

ค่าของอาร์กิวเมนต์ x สามารถกำหนดได้จาก x 0 และการเพิ่มขึ้น: x = x o + ∆x

ความแตกต่างระหว่างค่าฟังก์ชันสองค่าเรียกว่าการเพิ่มฟังก์ชัน: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o)

การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นกราฟิกได้ (รูปที่ 1) การเพิ่มอาร์กิวเมนต์และการเพิ่มฟังก์ชันอาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ ดังต่อไปนี้จากรูปที่ 1 ในทางเรขาคณิต การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆х จะแสดงด้วยการเพิ่มขึ้นของ abscissa และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ∆у ด้วยการเพิ่มขึ้นของการกำหนด การเพิ่มฟังก์ชันควรคำนวณตามลำดับต่อไปนี้:

เราให้อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น ∆x และรับค่า - x+Δx;

2) ค้นหาค่าของฟังก์ชันสำหรับค่าของอาร์กิวเมนต์ (x+∆x) – f(x+∆x);

3) ค้นหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ∆f=f(x + ∆x) - f(x)

ตัวอย่าง:พิจารณาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน y=x 2 หากอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก x o =1 เป็น x=3 สำหรับจุด x o ค่าของฟังก์ชัน f(x o) = x² o; สำหรับจุด (x o +∆x) ค่าของฟังก์ชัน f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2 จากที่ ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x หรือ ∆x+∆x 2 ;

∆х = 3–1 = 2; ∆ฉ =2·1·2+4 = 8ข)

ปัญหาที่นำไปสู่แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางกายภาพ

แนวคิดเรื่องการเพิ่มข้อโต้แย้งและฟังก์ชันเป็นสิ่งจำเป็นในการแนะนำแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ ซึ่งในอดีตเกิดขึ้นจากความจำเป็นในการกำหนดความเร็วของกระบวนการบางอย่าง

ลองพิจารณาว่าคุณจะกำหนดความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงได้อย่างไร ปล่อยให้ร่างกายเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงตามกฎ: ∆S= ·∆t สำหรับการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ:= ∆S/∆t

สำหรับการเคลื่อนที่แบบสลับ ค่า ∆Ѕ/∆t จะกำหนดค่า  เฉลี่ย นั่นคือ เฉลี่ย =∆S/∆t แต่ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถสะท้อนลักษณะการเคลื่อนไหวของร่างกายและให้แนวคิดเกี่ยวกับความเร็วที่แท้จริง ณ เวลา t ได้ เมื่อระยะเวลาลดลงเช่น ที่ ∆t→0 ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะถึงขีดจำกัด – ความเร็วขณะนั้น:
 ทันที -
 เฉลี่ย -

∆S/∆t

สำหรับการเคลื่อนที่แบบสลับ ค่า ∆Ѕ/∆t จะกำหนดค่า  เฉลี่ย นั่นคือ เฉลี่ย =∆S/∆t แต่ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถสะท้อนลักษณะการเคลื่อนไหวของร่างกายและให้แนวคิดเกี่ยวกับความเร็วที่แท้จริง ณ เวลา t ได้ เมื่อระยะเวลาลดลงเช่น ที่ ∆t→0 ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะถึงขีดจำกัด – ความเร็วขณะนั้น:
 ทันที -
อัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมีทันทีถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน:

∆х/∆t,

โดยที่ x คือปริมาณของสารที่เกิดขึ้นระหว่างปฏิกิริยาเคมีในช่วงเวลา t ปัญหาที่คล้ายกันในการกำหนดความเร็วของกระบวนการต่าง ๆ นำไปสู่การแนะนำแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันอนุพันธ์
กำหนดให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) กำหนดไว้ในช่วงเวลา ]a ใน [นั่นคือ ส่วนเพิ่ม ∆f=f(x+∆x)–f(x)

เป็นฟังก์ชันของ ∆x และแสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของฟังก์ชัน ขีดจำกัดอัตราส่วน :

เมื่อ ∆х→0 โดยมีเงื่อนไขว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่ เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

ย" x =
อนุพันธ์แสดงไว้: " – (Yigree จังหวะโดย X); f ; (x) – (eff ไพรม์บน x) – y" – (จังหวะภาษากรีก); dy/dх (โดย igrek โดย de x);

- (กรีกมีจุด)

จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถพูดได้ว่าความเร็วชั่วขณะของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงคืออนุพันธ์ของเวลาของเส้นทาง: "  ทันที = ส" เสื้อ = ฉ

(ต)

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์ x คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน f(x): " ย" x =ฉ

(x)= ทันที

นี่คือความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์ ดังนั้น สำนวน "สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน" จึงเทียบเท่ากับสำนวน "ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน"วี)

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) มีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่ายที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง M ในเวลาเดียวกันแทนเจนต์คือ เส้นตรงแสดงการวิเคราะห์เป็น y = kx = tan· x โดยที่ – มุมเอียงของเส้นสัมผัสกัน (เส้นตรง) กับแกน X ลองจินตนาการถึงเส้นโค้งต่อเนื่องเป็นฟังก์ชัน y = f(x) นำจุด M1 บนเส้นโค้งและจุด M1 ใกล้กับมันแล้ววาดเส้นตัด ผ่านพวกเขา ความชันเป็นวินาที =tg β = . หากเรานำจุด M 1 มาใกล้กับ M มากขึ้น การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆х จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และเส้นตัดที่ β=α จะเข้ารับตำแหน่งแทนเจนต์ จากรูปที่ 2 จะเป็นดังนี้: tgα =
ทีจีเบต้า =
=y" x แต่ tgα เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน:

k = tgα =
=y" x = ฉ " (เอ็กซ์). ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดจะเท่ากับค่าของอนุพันธ์ของมันที่จุดแทนเจนต์ นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ช)กฎทั่วไปสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของอนุพันธ์ กระบวนการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ดังนี้:

ฉ(x+∆x) = ฉ(x)+∆f;

ค้นหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

สร้างอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

;

ตัวอย่าง:ฉ(x)=x 2 ; " ฉ

(เอ็กซ์)=?.