ตัวอย่าง D 0 สมการกำลังสอง การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ สมการกำลังสองคืออะไร?

รองชนบท Kop'evskaya โรงเรียนมัธยมศึกษา

10 วิธีในการแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna

ครูคณิตศาสตร์

หมู่บ้าน Kopevo, 2550

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองโดยอัล-โคเรซมี

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป ศตวรรษที่ 13 - 17

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองด้วยแม้ในสมัยโบราณก็มีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่แปลงที่ดินและงานขุดค้นที่มีลักษณะทางทหารด้วย เช่นเดียวกับพัฒนาการทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์นั่นเอง สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน.

เมื่อใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปลิ่ม นอกจากที่ไม่สมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองสมบูรณ์ด้วย เช่น:

เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ = ¾; เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร

ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงการพัฒนาพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการนำเสนอพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบาย และแก้ได้โดยการสร้างสมการในระดับต่างๆ

เมื่อเขียนสมการ ไดโอแฟนตัสจะเลือกสิ่งที่ไม่ทราบได้อย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่นนี่คือหนึ่งในงานของเขา

ปัญหาที่ 11.“จงหาตัวเลขสองตัว โดยรู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลคูณของมันคือ 96”

เหตุผลของไดโอแฟนตัสดังต่อไปนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากัน เนื่องจากหากเท่ากัน ผลคูณของพวกมันจะไม่เท่ากับ 96 แต่เป็น 100 ดังนั้น หนึ่งในนั้นจะมากกว่า ครึ่งหนึ่งของผลรวมของพวกเขานั่นคือ . 10 + xอีกอันน้อยกว่านั่นคือ 10- ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x.

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2- หนึ่งในจำนวนที่ต้องการคือเท่ากับ 12 , อื่น 8 - สารละลาย x = -2เพราะไม่มีไดโอแฟนทัส เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกเท่านั้นที่รู้ ตัวเลขบวก.

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการเป็นตัวเลขที่ไม่รู้จัก เราก็จะได้คำตอบของสมการ

y(20 - y) = 96,

ปี 2 - 20ปี + 96 = 0 (2)

เห็นได้ชัดว่าการเลือกผลต่างครึ่งหนึ่งของจำนวนที่ต้องการเป็นค่าไม่ทราบ ไดโอแฟนตัสจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น เขาจัดการเพื่อลดปัญหาในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเหลือเพียงรูปแบบบัญญัติเดียว:

อา 2 +ขx = ค, ก > 0 (1)

ในสมการ (1) จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ยกเว้น กอาจเป็นค่าลบก็ได้ กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

ในอินเดียโบราณ การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติ หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์ส่องแสงเจิดจ้าเหนือดวงดาว ผู้รอบรู้ก็จะเฉิดฉายรัศมีของผู้อื่นในการประชุมสาธารณะฉันนั้น เพื่อเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

ปัญหาที่ 13.

“ฝูงลิงขี้เล่นและสิบสองตัวตามเถาวัลย์...

เจ้าหน้าที่ก็กินกันสนุกสนาน พวกเขาเริ่มกระโดด แขวน...

มีพวกมันอยู่ที่จัตุรัส ตอนที่แปด มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าเขารู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหา 13 คือ:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากว่า:

x 2 - 64x = -768

และหากต้องการเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้บวกทั้งสองข้าง 32 2 จากนั้นได้รับ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองในอัล - โคเรซมี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิตของอัล-โคเรซมี มีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองไว้ ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค =ขเอ็กซ์

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ขวาน 2 = ค

3) “ รากมีค่าเท่ากับจำนวน” เช่น อา = ส

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค =ขเอ็กซ์

5) “กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข” เช่น อา 2 +บีเอ็กซ์= ส.

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่นบีเอ็กซ์+ ค = ขวาน 2 .

สำหรับอัล-โคเรซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนได้กำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญะบรีและอัลมุคาบาลา แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรก

เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 อัล-โคเรซมี ไม่ได้คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในปัญหาเชิงปฏิบัติโดยเฉพาะนั้นไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ อัล-โคเรซมีจะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

ปัญหาที่ 14.“สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเลข 21 มีค่าเท่ากับ 10 ราก ค้นหาต้นตอ" (หมายถึงรากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

วิธีแก้ปัญหาของผู้เขียนมีดังนี้: หารจำนวนรากลงครึ่งหนึ่ง คุณจะได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวมันเอง ลบ 21 จากผลคูณ ที่เหลือคือ 4 นำรากออกจาก 4 คุณจะได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณได้ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความของ al-Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่ลงมาหาเราซึ่งกำหนดการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้โจทย์ของพวกเขา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรปสิบสาม - XVIIBB

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแนวของอัล-ควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผลงานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งประเทศอิสลามและ กรีกโบราณโดดเด่นด้วยทั้งความครบถ้วนและความชัดเจนในการนำเสนอ ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII

กฎทั่วไปการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x2+บีเอ็กซ์= ค,

สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข, กับได้รับการคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสองค่ะ มุมมองทั่วไปเวียดนามมีสิ่งนั้น แต่เวียตยอมรับเพียงรากเหง้าที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองจึงมีรูปแบบที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมัน ซึ่งตั้งชื่อตามเวียตา ได้รับการคิดค้นขึ้นโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1591 ดังนี้: “ถ้า บี + ดี, คูณด้วย ก - ก 2 เท่ากับ บีดี, ที่ กเท่ากับ ในและเท่าเทียมกัน ดี».

เพื่อให้เข้าใจ Vieta เราควรจำไว้ว่า กเช่นเดียวกับอักษรสระใด ๆ หมายถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก (ของเรา เอ็กซ์) สระ ใน,ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก ในภาษาพีชคณิตสมัยใหม่ สูตร Vieta ข้างต้นหมายถึง ถ้ามี

(ก +ข)x - x 2 =เกี่ยวกับ,

x 2 - (ก +ข)x + กข = 0,

x 1 = ก, x 2 =ข.

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการด้วยสูตรทั่วไปที่เขียนโดยใช้สัญลักษณ์ Viète สร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ของเวียดนามยังห่างไกลจากรูปแบบที่ทันสมัย เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นค่าบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานที่อาคารพีชคณิตอันสง่างามตั้งอยู่ สมการกำลังสองใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เอ็กซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม อตรรกยะ และอนันต์และอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา

สมการกำลังสองคือสมการที่มีลักษณะดังนี้ ขวาน 2 + dx + c = 0- มันมีความหมาย ก,คและ กับตัวเลขใดๆ และ กไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองทั้งหมดแบ่งออกเป็นหลายประเภท ได้แก่ :

สมการที่มีรากเพียงอันเดียว
-สมการที่มีรากสองอันต่างกัน
-สมการที่ไม่มีรากเลย

สิ่งนี้จะแยกแยะสมการเชิงเส้นที่รากมีค่าเท่ากันเสมอจากสมการกำลังสอง คุณต้องมีรากจำนวนเท่าใดจึงจะเข้าใจได้ การจำแนกสมการกำลังสอง.

สมมติว่าสมการของเรา ax 2 + dx + c =0 วิธี จำแนกสมการกำลังสอง -

D = ข 2 - 4 เอซี

และสิ่งนี้จะต้องจดจำตลอดไป เมื่อใช้สมการนี้ เราจะหาจำนวนรากในสมการกำลังสอง และเราทำอย่างนี้:

เมื่อ D น้อยกว่าศูนย์ จะไม่มีรากในสมการ
- เมื่อ D เป็นศูนย์ จะมีเพียงรากเดียวเท่านั้น
- เมื่อ D มากกว่าศูนย์ สมการจะมีราก 2 อัน
โปรดจำไว้ว่าการแบ่งแยกจะแสดงจำนวนรากที่อยู่ในสมการโดยไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย

พิจารณาเพื่อความชัดเจน:

เราจำเป็นต้องค้นหาว่ามีรากจำนวนเท่าใดในสมการกำลังสองนี้

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

เราใส่ค่าลงในสมการแรกและค้นหาค่าจำแนก
ก = 1, ข = -8, ค = 12
ง = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
ผู้จำแนกประเภทมีเครื่องหมายบวก ซึ่งหมายความว่ามีสองรากของความเท่าเทียมกันนี้

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง
ก = 1, ข = 3, ค = 7
ง = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
ค่าเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากของความเท่าเทียมกันนี้

ให้เราขยายสมการต่อไปนี้โดยการเปรียบเทียบ
ก = 1, ข = -6, ค = 9
ง = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
ด้วยเหตุนี้ เรามีรากเดียวในสมการ

สิ่งสำคัญคือในแต่ละสมการเราต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ออกมา แน่นอนว่านี่ไม่ใช่กระบวนการที่ยาวนัก แต่ช่วยให้เราไม่สับสนและป้องกันไม่ให้เกิดข้อผิดพลาด หากคุณแก้สมการที่คล้ายกันบ่อยมาก คุณก็สามารถคำนวณทางจิตใจและรู้ล่วงหน้าได้ว่าสมการนี้มีรากกี่ราก

ลองดูตัวอย่างอื่น:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

มาวางโครงร่างกันก่อน
ก = 1, ข = -2, ค = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16 ซึ่งมากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายถึง 2 ราก ลองหามากัน
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1

เราจัดวางที่สอง
ก = -1, ข = -2, ค = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64 ซึ่งมากกว่าศูนย์และมีสองรากด้วย เรามาส่งออกกัน:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3

เราจัดวางที่สาม
ก = 1, ข = 12, ค = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0 ซึ่งเท่ากับศูนย์และมีหนึ่งรูท
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6
การแก้สมการเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องยาก

หากเราได้รับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ เช่น

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

สมการเหล่านี้แตกต่างจากสมการข้างต้น เนื่องจากยังไม่สมบูรณ์ จึงไม่มีค่าที่สาม แต่ถึงกระนั้น มันก็ง่ายกว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่จำเป็นต้องมองหาการแบ่งแยกในนั้น

จะทำอย่างไรเมื่อคุณต้องการมันอย่างเร่งด่วน วิทยานิพนธ์หรือเรียงความแต่ไม่มีเวลาเขียน? สามารถสั่งซื้อทั้งหมดนี้และอีกมากมายได้ที่เว็บไซต์ Deeplom.by (http://deeplom.by/) และรับคะแนนสูงสุด

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น การแบ่งแยกช่วยให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรทั่วไปซึ่งมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

สูตรจำแนกประเภทขึ้นอยู่กับระดับของพหุนาม สูตรข้างต้นเหมาะสำหรับการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบต่อไปนี้:

ผู้จำแนกมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ที่คุณต้องรู้:

* "D" เท่ากับ 0 เมื่อพหุนามมีหลายราก (รากเท่ากัน)

* "D" เป็นพหุนามแบบสมมาตรเทียบกับรากของพหุนาม และดังนั้นจึงเป็นพหุนามในสัมประสิทธิ์ นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เป็นจำนวนเต็มโดยไม่คำนึงถึงส่วนขยายที่รากถูกนำมา

สมมติว่าเราได้รับสมการกำลังสองในรูปแบบต่อไปนี้:

1 สมการ

ตามสูตรที่เรามี:

เนื่องจาก \ สมการจึงมี 2 ราก มากำหนดกัน:

ฉันจะแก้สมการโดยใช้ตัวแก้ออนไลน์จำแนกได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้โจทย์ออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณสามารถดูคำแนะนำวิดีโอและดูวิธีแก้สมการได้ในเว็บไซต์ของเรา และหากคุณมีคำถามใด ๆ คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ

มาทำงานกับ สมการกำลังสอง- เหล่านี้เป็นสมการที่ได้รับความนิยมมาก! ในรูปแบบทั่วไปที่สุด สมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ ก =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ ก =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ ก =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจ...

จะแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร?หากคุณมีสมการกำลังสองอยู่ตรงหน้าในรูปแบบนี้ ทุกอย่างก็ง่ายดาย จำคำวิเศษ เลือกปฏิบัติ - นักเรียนมัธยมปลายไม่เคยได้ยินคำนี้มาก่อน! วลีที่ว่า “เราแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติ” สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความมั่นใจและความมั่นใจ เพราะไม่จำเป็นต้องคาดหวังกลอุบายจากผู้เลือกปฏิบัติ! มันใช้งานง่ายและไร้ปัญหา ดังนั้น สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

สำนวนที่อยู่ใต้สัญลักษณ์ของรูทคือสำนวนนั้น เลือกปฏิบัติ- อย่างที่คุณเห็นในการค้นหา X เราใช้ เฉพาะ a, b และ c- เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงทดแทนค่าต่างๆ อย่างระมัดระวัง ก ข และคนี่คือสูตรที่เราคำนวณ มาทดแทนกัน ด้วยสัญญาณของคุณเอง! ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการแรก ก =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียนมันลงไป:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

แค่นั้นแหละ.

กรณีใดบ้างที่สามารถทำได้เมื่อใช้สูตรนี้? มีเพียงสามกรณีเท่านั้น

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวก ซึ่งหมายความว่าสามารถแยกรากออกมาได้ ไม่ว่ารากจะถูกสกัดออกมาได้ดีหรือไม่ดีก็เป็นอีกคำถามหนึ่ง สิ่งสำคัญคือสิ่งที่สกัดออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์ ถ้าอย่างนั้นคุณมีทางออกหนึ่งทาง พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองอันเหมือนกัน- แต่สิ่งนี้มีบทบาทในความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเราจะศึกษาประเด็นนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบ ไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้ โอ้ดี. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

มันง่ายมาก แล้วคุณคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำผิดพลาดเหรอ? ใช่แล้วยังไง...
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก ข และค- หรือไม่ใช่ด้วยสัญญาณของพวกเขา (จะสับสนได้ที่ไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบเป็นสูตรในการคำนวณราก สิ่งที่ช่วยได้คือการบันทึกสูตรโดยละเอียดพร้อมตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำอย่างนั้น!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

เอาล่ะ อย่าขี้เกียจนะ จะใช้เวลาประมาณ 30 วินาทีในการเขียนบรรทัดเพิ่มเติมและจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว- ดังนั้นเราจึงเขียนโดยละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนเป็นเรื่องยากมากที่จะเขียนออกมาอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเป็นเช่นนั้นเท่านั้น ลองดูสิ ดีหรือเลือก อะไรจะดีไปกว่า รวดเร็ว หรือถูกต้อง? นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นาน ก็ไม่จำเป็นต้องเขียนทุกอย่างลงอย่างระมัดระวัง มันจะได้ผลด้วยตัวมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณใช้เทคนิคเชิงปฏิบัติตามที่อธิบายไว้ด้านล่างนี้ ตัวอย่างที่ชั่วร้ายที่มีข้อเสียมากมายนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองเราจำได้ผ่านการเลือกปฏิบัติ หรือพวกเขาเรียนรู้ซึ่งก็ดีเช่นกัน คุณรู้วิธีกำหนดอย่างถูกต้อง ก ข และค- คุณรู้ได้อย่างไร? อย่างตั้งใจแทนที่พวกมันลงในสูตรรูทและ อย่างตั้งใจนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจว่าคำสำคัญที่นี่คือ อย่างตั้งใจ?

อย่างไรก็ตาม สมการกำลังสองมักจะดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

นี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - พวกเขายังสามารถแก้ไขได้ด้วยการเลือกปฏิบัติ คุณแค่ต้องเข้าใจให้ถูกต้องว่ามันเท่ากับอะไรตรงนี้ ก ข และค.

คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ในตัวอย่างแรก ก = 1; ข = -4;ก ค- มันไม่ได้อยู่ที่นั่นเลย! ใช่แล้ว ถูกต้องแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ก็หมายความว่าอย่างนั้น ค = 0 - แค่นั้นแหละ. แทนศูนย์ลงในสูตรแทน คและเราจะประสบความสำเร็จ เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงเราเท่านั้นที่ไม่มีศูนย์ที่นี่ กับ, ก ข !

แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีการเลือกปฏิบัติใดๆ ลองพิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์อันแรก ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง? คุณสามารถเอา X ออกจากวงเล็บได้! เอามันออกไปเถอะ

แล้วนี่ล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยใดๆ เท่ากับศูนย์เท่านั้น! ไม่เชื่อฉันเหรอ? เอาล่ะ คิดเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์!
ไม่ทำงานเหรอ? แค่นั้นแหละ...
ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ: x = 0, หรือ x = 4

ทั้งหมด. พวกนี้จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองมีความเหมาะสม เมื่อแทนที่ค่าใดค่าหนึ่งลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง 0 = 0 ดังที่คุณเห็นแล้วว่าการแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าการใช้การแบ่งแยกมาก

สมการที่สองสามารถแก้ได้ง่ายๆ เช่นกัน เลื่อน 9 ไปทางด้านขวา เราได้รับ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรูตออกจาก 9 เท่านี้ก็เรียบร้อย ปรากฎว่า:

สองรากเช่นกัน - x = +3 และ x = -3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด โดยการวาง X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงเลื่อนตัวเลขไปทางขวาแล้วแยกรากออก
เป็นเรื่องยากมากที่จะสร้างความสับสนให้กับเทคนิคเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรากของ X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะออกจากวงเล็บ...

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเกิดจากการไม่ตั้งใจ...ซึ่งต่อมากลับกลายเป็นความเจ็บปวดและขุ่นเคือง...

นัดแรก- อย่าเกียจคร้านก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองและทำให้มันอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?
สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเขียนสูตรรูท! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และคสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบหน้า X กำลังสองอาจทำให้คุณเสียใจได้ ลืมง่าย...กำจัดลบทิ้งไป ยังไง? ใช่แล้ว ตามที่สอนในหัวข้อที่แล้ว! เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สองเช็คต้นตอ! ตามทฤษฎีบทของเวียตตา ไม่ต้องกลัว ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบ ล่าสุดสมการ เหล่านั้น. อันที่เราใช้เขียนสูตรรูตลงไป ถ้า (ดังตัวอย่างนี้) ค่าสัมประสิทธิ์ ก = 1การตรวจสอบรากเป็นเรื่องง่าย มันก็เพียงพอแล้วที่จะคูณพวกมัน ผลลัพธ์ควรเป็นสมาชิกฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 โปรดทราบว่าไม่ใช่ 2 แต่เป็น -2! สมาชิกฟรี ด้วยสัญญาณของคุณ - หากไม่ได้ผลก็หมายความว่าพวกเขาทำผิดพลาดอยู่ที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด หากได้ผลคุณจะต้องเพิ่มราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ควรจะเป็น ขกับ ตรงข้าม คุ้นเคย. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์ ขซึ่งอยู่ก่อน X เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง!
น่าเสียดายที่นี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ x กำลังสองมีค่าบริสุทธิ์และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ก = 1แต่อย่างน้อยก็ตรวจสอบสมการดังกล่าว! ข้อผิดพลาดก็จะน้อยลงเรื่อยๆ

แผนกต้อนรับที่สาม- หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณสมการด้วยตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ในส่วนที่แล้ว เมื่อทำงานกับเศษส่วน ข้อผิดพลาดก็คืบคลานเข้ามาด้วยเหตุผลบางประการ...

อย่างไรก็ตามฉันสัญญาว่าจะทำให้ตัวอย่างที่ชั่วร้ายง่ายขึ้นด้วยข้อเสียมากมาย โปรด! เขาอยู่ที่นี่

เพื่อไม่ให้สับสนกับเครื่องหมายลบ เราจะคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

แค่นั้นแหละ! การแก้ปัญหาเป็นเรื่องน่ายินดี!

เรามาสรุปหัวข้อกัน

คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เราจะนำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เกี่ยวข้อง

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับ 1 คุณสามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม ทำมัน!

สมการเศษส่วน โอดีซ.

เรายังคงเชี่ยวชาญสมการต่อไป เรารู้วิธีทำงานกับสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองแล้ว วิวสุดท้ายที่เหลือ - สมการเศษส่วน- หรือเรียกอีกอย่างว่าน่านับถือกว่ามาก - สมการตรรกยะเศษส่วน- มันเป็นเรื่องเดียวกัน

สมการเศษส่วน

ตามชื่อที่บอกเป็นนัย สมการเหล่านี้จำเป็นต้องมีเศษส่วน แต่ไม่ใช่แค่เศษส่วน แต่เป็นเศษส่วนที่มี ไม่ทราบในตัวส่วน- อย่างน้อยก็ในหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:

ขอเตือนไว้ก่อนว่าถ้าตัวส่วนเป็นเพียง ตัวเลขเหล่านี้คือสมการเชิงเส้น

ตัดสินใจอย่างไร สมการเศษส่วน- ก่อนอื่น กำจัดเศษส่วนให้ได้ก่อน! หลังจากนี้ สมการส่วนใหญ่มักจะเปลี่ยนเป็นเชิงเส้นหรือกำลังสอง แล้วเราก็รู้ว่าต้องทำอย่างไร... ในบางกรณี อาจกลายเป็นข้อมูลระบุตัวตน เช่น 5=5 หรือนิพจน์ที่ไม่ถูกต้อง เช่น 7=2 แต่สิ่งนี้ไม่ค่อยเกิดขึ้น ฉันจะพูดถึงสิ่งนี้ด้านล่าง

แต่จะกำจัดเศษส่วนยังไง!? ง่ายมาก ใช้การแปลงที่เหมือนกันเหมือนกัน

เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วยนิพจน์เดียวกัน เพื่อให้ตัวส่วนทั้งหมดลดลง! ทุกอย่างจะง่ายขึ้นทันที ให้ฉันอธิบายด้วยตัวอย่าง เราต้องแก้สมการ:

คุณได้รับการสอนอย่างไรในโรงเรียนประถมศึกษา? เราย้ายทุกอย่างไปด้านใดด้านหนึ่ง นำมาเป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ ลืมมันซะเหมือนฝันร้าย! นี่คือสิ่งที่คุณต้องทำเมื่อคุณบวกหรือลบเศษส่วน หรือคุณทำงานกับความไม่เท่าเทียมกัน และในสมการ เราจะคูณทั้งสองข้างทันทีด้วยนิพจน์ที่จะให้โอกาสเราลดตัวส่วนทั้งหมด (นั่นคือ โดยพื้นฐานแล้วคือด้วยตัวส่วนร่วม) และสำนวนนี้คืออะไร?

ทางด้านซ้าย การลดตัวส่วนต้องคูณด้วย x+2- และทางด้านขวาจะต้องคูณด้วย 2 ซึ่งหมายความว่าจะต้องคูณสมการด้วย 2(x+2)- คูณ:

นี่คือการคูณเศษส่วนทั่วไป แต่ฉันจะอธิบายโดยละเอียด:

โปรดทราบว่าฉันยังไม่ได้เปิดวงเล็บ (x + 2)- ผมจึงเขียนโดยย่อว่า

ทางด้านซ้ายจะหดตัวทั้งหมด (x+2)และทางขวา 2. ซึ่งก็คือสิ่งที่จำเป็น! หลังจากลดแล้วเราก็จะได้ เชิงเส้นสมการ:

และทุกคนก็สามารถแก้สมการนี้ได้! x = 2.

ลองแก้ตัวอย่างอื่นที่ซับซ้อนกว่านี้หน่อย:

หากเราจำได้ว่า 3 = 3/1 และ 2x = 2x/ 1 เราสามารถเขียนได้:

และอีกครั้งที่เรากำจัดสิ่งที่เราไม่ชอบจริงๆ นั่นก็คือเศษส่วน

เราเห็นว่าหากต้องการลดตัวส่วนด้วย X เราจำเป็นต้องคูณเศษส่วนด้วย (x – 2)- และบางอย่างก็ไม่ใช่อุปสรรคสำหรับเรา เรามาคูณกัน. ทั้งหมดด้านซ้ายและ ทั้งหมดด้านขวา:

วงเล็บอีกครั้ง (x – 2)ฉันไม่เปิดเผย ฉันทำงานกับวงเล็บโดยรวมราวกับว่ามันเป็นตัวเลขเดียว! ต้องทำสิ่งนี้เสมอไม่เช่นนั้นจะไม่มีอะไรลดลง

ด้วยความรู้สึกพึงพอใจอย่างลึกซึ้ง เราจึงลดลง (x – 2)และเราจะได้สมการที่ไม่มีเศษส่วนด้วยไม้บรรทัด!

ตอนนี้เรามาเปิดวงเล็บ:

เรานำสิ่งที่คล้ายกันมาย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายและรับ:

สมการกำลังสองคลาสสิก แต่ลบข้างหน้าไม่ดี คุณสามารถกำจัดมันออกไปได้เสมอด้วยการคูณหรือหารด้วย -1 แต่ถ้าคุณดูตัวอย่างอย่างใกล้ชิด คุณจะสังเกตเห็นว่า ทางที่ดีควรหารสมการนี้ด้วย -2! ในคราวเดียว เครื่องหมายลบจะหายไป และราคาต่อรองจะน่าดึงดูดยิ่งขึ้น! หารด้วย -2. ทางด้านซ้าย - เทอมต่อเทอม และทางขวา - เพียงหารศูนย์ด้วย -2, ศูนย์แล้วเราจะได้:

เราแก้ปัญหาด้วยการแยกแยะและตรวจสอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา เราได้รับ x = 1 และ x = 3- สองราก.

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรก สมการหลังการแปลงกลายเป็นเส้นตรง แต่ตรงนี้กลายเป็นกำลังสอง บังเอิญว่าหลังจากกำจัดเศษส่วนแล้ว ค่า X ทั้งหมดจะลดลง บางสิ่งยังคงอยู่ เช่น 5=5 นี่หมายความว่า x สามารถเป็นอะไรก็ได้- อะไรก็ตามมันก็จะลดลงเช่นกัน และกลายเป็นความจริงล้วนๆ 5=5 แต่หลังจากกำจัดเศษส่วนไปแล้ว ก็อาจกลายเป็นว่าไม่จริงเลย เช่น 2=7 และนี่หมายความว่า ไม่มีวิธีแก้ปัญหา- X ใดๆ ปรากฏว่าไม่จริง

ตระหนักถึงการแก้ปัญหาหลัก สมการเศษส่วน- มันง่ายและมีเหตุผล เราเปลี่ยนสำนวนดั้งเดิมเพื่อให้ทุกสิ่งที่เราไม่ชอบหายไป หรือมันรบกวน.. ในกรณีนี้คือเศษส่วน เราจะทำเช่นเดียวกันกับทุกชนิด ตัวอย่างที่ซับซ้อนด้วยลอการิทึม ไซน์ และความน่ากลัวอื่นๆ เรา เสมอมากำจัดทั้งหมดนี้กันเถอะ

อย่างไรก็ตาม เราจำเป็นต้องเปลี่ยนการแสดงออกดั้งเดิมไปในทิศทางที่เราต้องการ ตามกฎใช่... ความเชี่ยวชาญคือการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นเราจึงเชี่ยวชาญมัน

ตอนนี้เราจะเรียนรู้วิธีหลีกเลี่ยงสิ่งใดสิ่งหนึ่ง การซุ่มโจมตีหลักในการสอบ Unified State- แต่ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าคุณจะตกอยู่ในนั้นหรือไม่?

ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:

เรื่องที่คุ้นเคยอยู่แล้วเราคูณทั้งสองข้างด้วย (x – 2)เราได้รับ:

ฉันเตือนคุณด้วยวงเล็บ (x – 2)เราทำงานราวกับเป็นหนึ่งเดียว การแสดงออกเชิงบูรณาการ!

ที่นี่ฉันไม่ได้เขียนตัวส่วนอีกต่อไป มันไม่สง่างาม... และฉันไม่ได้วาดวงเล็บในตัวส่วนยกเว้น x – 2ไม่มีอะไรคุณไม่จำเป็นต้องวาด มาย่อให้สั้นลง:

เปิดวงเล็บ ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย และให้สิ่งที่คล้ายกัน:

เราแก้ ตรวจสอบ เราได้สองราก x = 2และ x = 3- ยอดเยี่ยม.

สมมติว่างานมอบหมายให้เขียนราก หรือผลรวมหากมีมากกว่าหนึ่งราก เราจะเขียนอะไร?

หากคุณตัดสินใจว่าคำตอบคือ 5 คุณ ถูกซุ่มโจมตี- และงานจะไม่ได้รับเครดิตให้กับคุณ พวกเขาทำงานโดยเปล่าประโยชน์... คำตอบที่ถูกต้องคือ 3

เกิดอะไรขึ้น?! และคุณพยายามที่จะทำการตรวจสอบ แทนค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักเข้าไป ต้นฉบับตัวอย่าง. และถ้า ณ x = 3ทุกอย่างจะเติบโตไปด้วยกันอย่างมหัศจรรย์ เราจะได้ 9 = 9 แล้วเมื่อไร x = 2มันจะหารด้วยศูนย์! สิ่งที่คุณทำไม่ได้อย่างแน่นอน วิธี x = 2ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา และไม่ได้นำมาพิจารณาในคำตอบ นี่คือสิ่งที่เรียกว่ารากภายนอกหรือรากพิเศษ เราก็ทิ้งมันไป รากสุดท้ายคือหนึ่ง x = 3.

ยังไงล่ะ! - ฉันได้ยินเสียงอุทานอย่างขุ่นเคือง เราได้รับการสอนว่าสมการสามารถคูณด้วยนิพจน์ได้! นี่คือการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน!

ใช่เหมือนกัน ที่ สภาพเล็ก– สำนวนที่เราคูณ (หาร) – แตกต่างจากศูนย์- ก x – 2ที่ x = 2เท่ากับศูนย์! ดังนั้นทุกอย่างจึงยุติธรรม

แล้วตอนนี้เราควรทำอย่างไร! อย่าคูณด้วยนิพจน์เหรอ? ฉันควรตรวจสอบทุกครั้งหรือไม่? ยังไม่ชัดเจนอีก!

ใจเย็น! อย่าตื่นตกใจ!

ในสถานการณ์ที่ยากลำบากนี้ จดหมายวิเศษสามฉบับจะช่วยเรา ฉันรู้ว่าคุณกำลังคิดอะไรอยู่ ขวา! นี้ โอดีซ - พื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้

แค่. ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน ในระยะแรก

จำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่รูปแบบมาตรฐานเช่น ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องดำเนินการขั้นแรก สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการทำถูกต้อง

กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสอง

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ - อย่างที่คุณเห็นเพื่อค้นหา X เรา

เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์จาก สมการกำลังสอง- เพียงแค่ตั้งค่าอย่างระมัดระวัง

ค่านิยม ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ เราแทนด้วย ของพวกเขาสัญญาณ!

ตัวอย่างเช่นในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค = -4.

เราแทนค่าและเขียน:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก, ขและ กับ- หรือมากกว่าด้วยการทดแทน

ค่าลบลงในสูตรคำนวณราก การบันทึกสูตรอย่างละเอียดช่วยได้ที่นี่

พร้อมหมายเลขเฉพาะ มีปัญหาเรื่องการคำนวณ จัดให้เลย!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

เราอธิบายทุกอย่างอย่างละเอียดรอบคอบ โดยไม่ขาดสิ่งใดเลยโดยมีป้ายและวงเล็บทั้งหมด:

สมการกำลังสองมักจะดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก

นัดแรก- อย่าขี้เกียจไปก่อน การแก้สมการกำลังสองนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?

สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเขียนสูตรรูท! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และค

สร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น

ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สองเช็คต้นตอ! โดย ทฤษฎีบทของเวียตตา.

เพื่อแก้สมการกำลังสองที่ให้มา เช่น ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์

x 2 +bx+c=0,

แล้วx 1 x 2 =ค

x 1 +x 2 =−ข

สำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้น ก≠1:

x2+ขx+ค=0,

หารสมการทั้งหมดด้วย ตอบ:

→ →

ที่ไหน x1และ x 2 - รากของสมการ

แผนกต้อนรับที่สาม- หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณ

สมการที่มีตัวส่วนร่วม

บทสรุป. เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เราจะนำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันด้วยการคูณทุกอย่าง

สมการด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยค่าที่สอดคล้องกัน

ปัจจัย.

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับ 1 คุณสามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดาย