Τα απίστευτα νούμερα του καθηγητή Στιούαρτ. Τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα σε όλες τις πλευρές Τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα σε όλες τις πλευρές

Ένα πράγμα για το οποίο μπορείτε να είστε εκατό τοις εκατό σίγουρος είναι ότι όταν ρωτηθεί ποιο είναι το τετράγωνο της υποτείνουσας, οποιοσδήποτε ενήλικας θα απαντήσει με τόλμη: «Το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών». Αυτό το θεώρημα είναι σταθερά ριζωμένο στο μυαλό κάθε μορφωμένου ανθρώπου, αλλά χρειάζεται απλώς να ζητήσετε από κάποιον να το αποδείξει και μπορεί να προκύψουν δυσκολίες. Ας θυμηθούμε λοιπόν και ας αναλογιστούμε διαφορετικοί τρόποιαπόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Σύντομο βιογραφικό

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι γνωστό σχεδόν σε όλους, αλλά για κάποιο λόγο η βιογραφία του ατόμου που το έφερε στον κόσμο δεν είναι τόσο δημοφιλής. Αυτό μπορεί να διορθωθεί. Επομένως, πριν εξερευνήσετε τους διαφορετικούς τρόπους για να αποδείξετε το θεώρημα του Πυθαγόρα, πρέπει να γνωρίσετε εν συντομία την προσωπικότητά του.

Πυθαγόρας - φιλόσοφος, μαθηματικός, στοχαστής με καταγωγή από το Σήμερα είναι πολύ δύσκολο να ξεχωρίσεις τη βιογραφία του από τους θρύλους που αναπτύχθηκαν στη μνήμη αυτού του μεγάλου ανθρώπου. Όπως όμως προκύπτει από τα έργα των οπαδών του, ο Πυθαγόρας ο Σάμος γεννήθηκε στο νησί της Σάμου. Ο πατέρας του ήταν συνηθισμένος λιθοκόπτης, αλλά η μητέρα του καταγόταν από ευγενή οικογένεια.

Αν κρίνουμε από τον μύθο, η γέννηση του Πυθαγόρα είχε προβλεφθεί από μια γυναίκα με το όνομα Πυθία, προς τιμήν της οποίας ονομάστηκε το αγόρι. Σύμφωνα με την πρόβλεψή της, το γεννημένο αγόρι έπρεπε να φέρει πολλά οφέλη και καλό στην ανθρωπότητα. Αυτό ακριβώς έκανε.

Γέννηση του θεωρήματος

Στα νιάτα του, ο Πυθαγόρας μετακόμισε στην Αίγυπτο για να συναντήσει εκεί διάσημους Αιγύπτιους σοφούς. Αφού συναντήθηκε μαζί τους, του επέτρεψαν να σπουδάσει, όπου έμαθε όλα τα μεγάλα επιτεύγματα της αιγυπτιακής φιλοσοφίας, των μαθηματικών και της ιατρικής.

Πιθανότατα ήταν στην Αίγυπτο που ο Πυθαγόρας εμπνεύστηκε το μεγαλείο και την ομορφιά των πυραμίδων και δημιούργησε τη σπουδαία θεωρία του. Αυτό μπορεί να σοκάρει τους αναγνώστες, αλλά οι σύγχρονοι ιστορικοί πιστεύουν ότι ο Πυθαγόρας δεν απέδειξε τη θεωρία του. Αλλά μετέδωσε μόνο τις γνώσεις του στους οπαδούς του, οι οποίοι αργότερα ολοκλήρωσαν όλους τους απαραίτητους μαθηματικούς υπολογισμούς.

Όπως και να έχει, σήμερα δεν είναι γνωστή μία μέθοδος απόδειξης αυτού του θεωρήματος, αλλά πολλές ταυτόχρονα. Σήμερα μπορούμε μόνο να μαντέψουμε πώς ακριβώς οι αρχαίοι Έλληνες έκαναν τους υπολογισμούς τους, οπότε εδώ θα δούμε διαφορετικούς τρόπους για να αποδείξουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Πριν ξεκινήσετε οποιουσδήποτε υπολογισμούς, πρέπει να υπολογίσετε ποια θεωρία θέλετε να αποδείξετε. Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει ως εξής: «Σε ένα τρίγωνο στο οποίο μία από τις γωνίες είναι 90°, το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας».

Υπάρχουν συνολικά 15 διαφορετικοί τρόποι για να αποδειχθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτός είναι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός, επομένως θα δώσουμε προσοχή στα πιο δημοφιλή από αυτά.

Μέθοδος ένα

Αρχικά, ας ορίσουμε τι μας δόθηκε. Αυτά τα δεδομένα θα ισχύουν και για άλλες μεθόδους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος, επομένως αξίζει να θυμόμαστε αμέσως όλους τους διαθέσιμους συμβολισμούς.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη a, b και υποτείνουσα ίση με c. Η πρώτη μέθοδος απόδειξης βασίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο από ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να προσθέσετε ένα τμήμα ίσο με το σκέλος b στο σκέλος μήκους a και αντίστροφα. Αυτό θα πρέπει να έχει ως αποτέλεσμα δύο ίσες πλευρές του τετραγώνου. Το μόνο που μένει είναι να σχεδιάσουμε δύο παράλληλες γραμμές και το τετράγωνο είναι έτοιμο.

Μέσα στο σχήμα που προκύπτει, πρέπει να σχεδιάσετε ένα άλλο τετράγωνο με πλευρά ίση με την υποτείνουσα του αρχικού τριγώνου. Για να γίνει αυτό, από τις κορυφές ас και св πρέπει να σχεδιάσετε δύο παράλληλα τμήματα ίσα με с. Έτσι, παίρνουμε τρεις πλευρές του τετραγώνου, η μία από τις οποίες είναι η υποτείνουσα του αρχικού ορθογωνίου τριγώνου. Το μόνο που μένει είναι να σχεδιάσουμε το τέταρτο τμήμα.

Με βάση το σχήμα που προκύπτει, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου είναι (a + b) 2. Αν κοιτάξετε μέσα στο σχήμα, μπορείτε να δείτε ότι εκτός από το εσωτερικό τετράγωνο υπάρχουν τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα. Το εμβαδόν του καθενός είναι 0,5 av.

Επομένως, η περιοχή είναι ίση με: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Επομένως (a+c) 2 =2ab+c 2

Και, επομένως, c 2 =a 2 +b 2

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Μέθοδος δεύτερη: παρόμοια τρίγωνα

Αυτός ο τύπος για την απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος προέκυψε με βάση μια δήλωση από το τμήμα της γεωμετρίας σχετικά με παρόμοια τρίγωνα. Δηλώνει ότι το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο μέσος όρος ανάλογος της υποτείνουσας του και το τμήμα της υποτείνουσας που προέρχεται από την κορυφή της γωνίας 90°.

Τα αρχικά δεδομένα παραμένουν τα ίδια, οπότε ας ξεκινήσουμε αμέσως με την απόδειξη. Ας σχεδιάσουμε ένα τμήμα CD κάθετο στην πλευρά ΑΒ. Με βάση την παραπάνω πρόταση, οι πλευρές των τριγώνων είναι ίσες:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Για να απαντηθεί το ερώτημα πώς να αποδειχθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα, η απόδειξη πρέπει να ολοκληρωθεί τετραγωνίζοντας και τις δύο ανισότητες.

AC 2 = AB * AD και CB 2 = AB * DV

Τώρα πρέπει να αθροίσουμε τις προκύπτουσες ανισότητες.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), όπου AD + DV = AB

Τελικά φαίνεται πως:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

Και ως εκ τούτου:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Η απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος και οι διάφορες μέθοδοι επίλυσής του απαιτούν μια ευέλικτη προσέγγιση σε αυτό το πρόβλημα. Ωστόσο, αυτή η επιλογή είναι μια από τις απλούστερες.

Μια άλλη μέθοδος υπολογισμού

Οι περιγραφές διαφορετικών τρόπων απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος μπορεί να μην σημαίνουν τίποτα μέχρι να αρχίσετε να το εξασκείτε μόνοι σας. Πολλές τεχνικές περιλαμβάνουν όχι μόνο μαθηματικούς υπολογισμούς, αλλά και την κατασκευή νέων ψηφίων από το αρχικό τρίγωνο.

Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να συμπληρώσετε ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο VSD από την πλευρά BC. Έτσι, τώρα υπάρχουν δύο τρίγωνα με κοινό σκέλος π.Χ.

Γνωρίζοντας ότι τα εμβαδά παρόμοιων σχημάτων έχουν λόγο ως τα τετράγωνα των παρόμοιων γραμμικών τους διαστάσεων, τότε:

S avs * c 2 - S avd * σε 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(από 2 - έως 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

από 2 - έως 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Εφόσον από τις διάφορες μεθόδους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος για τον βαθμό 8, αυτή η επιλογή δεν είναι καθόλου κατάλληλη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη μέθοδο.

Ο ευκολότερος τρόπος για να αποδείξετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Κριτικές

Σύμφωνα με τους ιστορικούς, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά για να αποδείξει ξανά το θεώρημα αρχαία Ελλάδα. Είναι το πιο απλό, καθώς δεν απαιτεί απολύτως κανέναν υπολογισμό. Εάν σχεδιάσετε σωστά την εικόνα, τότε η απόδειξη της δήλωσης ότι a 2 + b 2 = c 2 θα είναι καθαρά ορατή.

Οι συνθήκες για αυτή τη μέθοδο θα είναι ελαφρώς διαφορετικές από την προηγούμενη. Για να αποδείξετε το θεώρημα, υποθέστε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές.

Παίρνουμε την υποτείνουσα AC ως πλευρά του τετραγώνου και σχεδιάζουμε τις τρεις πλευρές του. Επιπλέον, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε δύο διαγώνιες γραμμές στο τετράγωνο που προκύπτει. Έτσι ώστε στο εσωτερικό του να έχετε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.

Πρέπει επίσης να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο στα πόδια AB και CB και να σχεδιάσετε μια διαγώνια ευθεία γραμμή σε καθένα από αυτά. Σχεδιάζουμε την πρώτη γραμμή από την κορυφή Α, τη δεύτερη από την C.

Τώρα πρέπει να κοιτάξετε προσεκτικά το σχέδιο που προκύπτει. Δεδομένου ότι στην υποτείνουσα AC υπάρχουν τέσσερα τρίγωνα ίσα με το αρχικό και στις πλευρές υπάρχουν δύο, αυτό δείχνει την ακρίβεια αυτού του θεωρήματος.

Παρεμπιπτόντως, χάρη σε αυτή τη μέθοδο απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος, γεννήθηκε η περίφημη φράση: " Πυθαγόρειο παντελόνιίσοι προς όλες τις κατευθύνσεις».

Απόδειξη J. Garfield

Ο Τζέιμς Γκάρφιλντ είναι ο εικοστός Πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής. Εκτός από το ότι άφησε το στίγμα του στην ιστορία ως ηγεμόνας των Ηνωμένων Πολιτειών, ήταν επίσης ένας ταλαντούχος αυτοδίδακτη.

Στην αρχή της καριέρας του ήταν απλός δάσκαλος σε δημόσιο σχολείο, αλλά σύντομα έγινε διευθυντής ενός από τα υψηλότερα Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Η επιθυμία για αυτο-ανάπτυξη του επέτρεψε να προτείνει μια νέα θεωρία για την απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Το θεώρημα και ένα παράδειγμα επίλυσής του είναι τα εξής.

Πρώτα πρέπει να σχεδιάσετε δύο ορθογώνια τρίγωνα σε ένα κομμάτι χαρτί έτσι ώστε το πόδι ενός από αυτά να είναι συνέχεια του δεύτερου. Οι κορυφές αυτών των τριγώνων πρέπει να συνδεθούν για να σχηματίσουν τελικά ένα τραπέζιο.

Όπως γνωρίζετε, το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του.

S=a+b/2 * (a+b)

Εάν θεωρήσουμε το τραπεζοειδές που προκύπτει ως σχήμα που αποτελείται από τρία τρίγωνα, τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως εξής:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Τώρα πρέπει να εξισώσουμε τις δύο αρχικές εκφράσεις

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

Θα μπορούσαν να γραφτούν περισσότεροι από ένας τόμοι εγχειριδίων για το Πυθαγόρειο θεώρημα και τις μεθόδους απόδειξής του. Αλλά έχει νόημα όταν αυτή η γνώση δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη;

Πρακτική εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Δυστυχώς, τα σύγχρονα σχολικά προγράμματα παρέχουν τη χρήση αυτού του θεωρήματος μόνο σε γεωμετρικά προβλήματα. Οι απόφοιτοι σύντομα θα εγκαταλείψουν το σχολείο χωρίς να γνωρίζουν πώς μπορούν να εφαρμόσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους στην πράξη.

Στην πραγματικότητα, ο καθένας μπορεί να χρησιμοποιήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα στην καθημερινή του ζωή. Και όχι μόνο σε επαγγελματικές δραστηριότητες, αλλά και σε συνηθισμένες δουλειές του σπιτιού. Ας εξετάσουμε αρκετές περιπτώσεις όπου το Πυθαγόρειο θεώρημα και οι μέθοδοι απόδειξής του μπορεί να είναι εξαιρετικά απαραίτητα.

Σχέση θεωρήματος και αστρονομίας

Φαίνεται πώς μπορούν να συνδεθούν αστέρια και τρίγωνα σε χαρτί. Στην πραγματικότητα, η αστρονομία είναι ένα επιστημονικό πεδίο στο οποίο χρησιμοποιείται ευρέως το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Για παράδειγμα, σκεφτείτε την κίνηση μιας δέσμης φωτός στο διάστημα. Είναι γνωστό ότι το φως κινείται και προς τις δύο κατευθύνσεις με την ίδια ταχύτητα. Ας ονομάσουμε την τροχιά ΑΒ κατά μήκος της οποίας κινείται η φωτεινή ακτίνα μεγάλο. Και ας ονομάσουμε τον μισό χρόνο που χρειάζεται για να φτάσουμε από το σημείο Α στο σημείο Β t. Και η ταχύτητα της δέσμης - ντο. Τελικά φαίνεται πως: c*t=l

Εάν κοιτάξετε την ίδια ακτίνα από άλλο επίπεδο, για παράδειγμα, από μια διαστημική επένδυση που κινείται με ταχύτητα v, τότε όταν παρατηρείτε σώματα με αυτόν τον τρόπο, η ταχύτητά τους θα αλλάξει. Σε αυτή την περίπτωση, ακόμη και ακίνητα στοιχεία θα αρχίσουν να κινούνται με ταχύτητα v προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Ας πούμε ότι το κόμικ πλέει προς τα δεξιά. Στη συνέχεια, τα σημεία Α και Β, μεταξύ των οποίων ορμάει η δοκός, θα αρχίσουν να κινούνται προς τα αριστερά. Επιπλέον, όταν η δέσμη κινείται από το σημείο Α στο σημείο Β, το σημείο Α έχει χρόνο να κινηθεί και, κατά συνέπεια, το φως θα φτάσει ήδη στο νέο σημείοΓ. Για να βρείτε τη μισή απόσταση κατά την οποία έχει μετακινηθεί το σημείο Α, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ταχύτητα της επένδυσης με το μισό του χρόνου διαδρομής της δέσμης (t").

Και για να βρείτε πόσο μακριά θα μπορούσε να ταξιδέψει μια ακτίνα φωτός κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, πρέπει να σημειώσετε τη μισή διαδρομή με ένα νέο γράμμα s και να πάρετε την ακόλουθη έκφραση:

Αν φανταστούμε ότι τα σημεία του φωτός C και B, καθώς και η διαστημική γραμμή, είναι οι κορυφές ενός ισοσκελούς τριγώνου, τότε το τμήμα από το σημείο Α προς τη γραμμή θα το χωρίσει σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Επομένως, χάρη στο Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορείτε να βρείτε την απόσταση που θα μπορούσε να διανύσει μια ακτίνα φωτός.

Αυτό το παράδειγμα, φυσικά, δεν είναι το πιο επιτυχημένο, αφού μόνο λίγοι θα έχουν την τύχη να το δοκιμάσουν στην πράξη. Επομένως, ας εξετάσουμε πιο συνηθισμένες εφαρμογές αυτού του θεωρήματος.

Εύρος μετάδοσης σήματος κινητής τηλεφωνίας

Η σύγχρονη ζωή δεν μπορεί πλέον να φανταστεί κανείς χωρίς την ύπαρξη smartphone. Αλλά πόσο χρήσιμο θα ήταν αν δεν μπορούσαν να συνδέσουν συνδρομητές μέσω κινητών επικοινωνιών;!

Η ποιότητα των κινητών επικοινωνιών εξαρτάται άμεσα από το ύψος στο οποίο βρίσκεται η κεραία. φορέας κινητής τηλεφωνίας. Για να υπολογίσετε πόσο μακριά από έναν πύργο κινητής τηλεφωνίας μπορεί να λάβει ένα σήμα ένα τηλέφωνο, μπορείτε να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε το κατά προσέγγιση ύψος ενός ακίνητου πύργου ώστε να μπορεί να διανέμει ένα σήμα σε ακτίνα 200 χιλιομέτρων.

AB (ύψος πύργου) = x;

BC (ακτίνα μετάδοσης σήματος) = 200 km;

OS (ακτίνα της υδρογείου) = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, διαπιστώνουμε ότι το ελάχιστο ύψος του πύργου πρέπει να είναι 2,3 χιλιόμετρα.

Πυθαγόρειο θεώρημα στην καθημερινή ζωή

Παραδόξως, το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να είναι χρήσιμο ακόμη και σε καθημερινά θέματα, όπως ο προσδιορισμός του ύψους μιας γκαρνταρόμπας, για παράδειγμα. Με την πρώτη ματιά, δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε τέτοιους πολύπλοκους υπολογισμούς, επειδή μπορείτε απλά να κάνετε μετρήσεις χρησιμοποιώντας μια μεζούρα. Αλλά πολλοί άνθρωποι αναρωτιούνται γιατί προκύπτουν ορισμένα προβλήματα κατά τη διαδικασία συναρμολόγησης, εάν όλες οι μετρήσεις έγιναν με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Το γεγονός είναι ότι η ντουλάπα συναρμολογείται σε οριζόντια θέση και μόνο τότε ανυψώνεται και τοποθετείται στον τοίχο. Επομένως, κατά τη διαδικασία ανύψωσης της δομής, η πλευρά του ντουλαπιού πρέπει να κινείται ελεύθερα τόσο κατά μήκος όσο και διαγώνια του δωματίου.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια ντουλάπα με βάθος 800 mm. Απόσταση από το δάπεδο μέχρι την οροφή - 2600 mm. Ένας έμπειρος κατασκευαστής επίπλων θα πει ότι το ύψος του ντουλαπιού πρέπει να είναι 126 mm μικρότερο από το ύψος του δωματίου. Γιατί όμως ακριβώς 126 χλστ.; Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Με ιδανικές διαστάσεις ντουλαπιού, ας ελέγξουμε τη λειτουργία του Πυθαγόρειου θεωρήματος:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - όλα ταιριάζουν.

Ας πούμε ότι το ύψος του ντουλαπιού δεν είναι 2474 mm, αλλά 2505 mm. Επειτα:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 χλστ.

Επομένως, αυτό το ντουλάπι δεν είναι κατάλληλο για εγκατάσταση σε αυτό το δωμάτιο. Διότι η ανύψωσή του σε κάθετη θέση μπορεί να προκαλέσει ζημιά στο σώμα του.

Ίσως, έχοντας εξετάσει διαφορετικούς τρόπους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος από διαφορετικούς επιστήμονες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι κάτι παραπάνω από αληθινό. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες που λαμβάνετε στην καθημερινή σας ζωή και να είστε απόλυτα σίγουροι ότι όλοι οι υπολογισμοί θα είναι όχι μόνο χρήσιμοι, αλλά και σωστοί.

Η δυνατότητα για δημιουργικότητα συνήθως αποδίδεται στις ανθρωπιστικές επιστήμες, αφήνοντας τη φυσική επιστήμη στην ανάλυση, στην πρακτική προσέγγιση και στη στεγνή γλώσσα των τύπων και των αριθμών. Τα μαθηματικά δεν μπορούν να ταξινομηθούν ως μάθημα ανθρωπιστικών επιστημών. Αλλά χωρίς δημιουργικότητα δεν θα πάτε μακριά στη "βασίλισσα όλων των επιστημών" - οι άνθρωποι το γνωρίζουν αυτό εδώ και πολύ καιρό. Από την εποχή του Πυθαγόρα π.χ.

Τα σχολικά εγχειρίδια, δυστυχώς, συνήθως δεν εξηγούν ότι στα μαθηματικά είναι σημαντικό όχι μόνο να συσσωρεύονται θεωρήματα, αξιώματα και τύποι. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε και να αισθανθούμε τις θεμελιώδεις αρχές του. Και ταυτόχρονα, προσπαθήστε να απελευθερώσετε το μυαλό σας από κλισέ και στοιχειώδεις αλήθειες - μόνο σε τέτοιες συνθήκες γεννιούνται όλες οι μεγάλες ανακαλύψεις.

Τέτοιες ανακαλύψεις περιλαμβάνουν αυτό που γνωρίζουμε σήμερα ως Πυθαγόρειο θεώρημα. Με τη βοήθειά του, θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι τα μαθηματικά όχι μόνο μπορούν, αλλά πρέπει να είναι συναρπαστικά. Και ότι αυτή η περιπέτεια είναι κατάλληλη όχι μόνο για σπασίκλες με χοντρά γυαλιά, αλλά για όλους όσους είναι δυνατοί στο μυαλό και δυνατοί στο πνεύμα.

Από το ιστορικό του θέματος

Αυστηρά μιλώντας, αν και το θεώρημα ονομάζεται «Πυθαγόρειο θεώρημα», ο ίδιος ο Πυθαγόρας δεν το ανακάλυψε. Το ορθογώνιο τρίγωνο και οι ειδικές του ιδιότητες μελετήθηκαν πολύ πριν από αυτό. Υπάρχουν δύο πολικές απόψεις για αυτό το θέμα. Σύμφωνα με μια εκδοχή, ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που βρήκε πλήρη απόδειξη του θεωρήματος. Σύμφωνα με άλλη, η απόδειξη δεν ανήκει στην πατρότητα του Πυθαγόρα.

Σήμερα δεν μπορείς πλέον να ελέγξεις ποιος έχει δίκιο και ποιος άδικο. Αυτό που είναι γνωστό είναι ότι η απόδειξη του Πυθαγόρα, αν υπήρξε ποτέ, δεν έχει διασωθεί. Ωστόσο, υπάρχουν προτάσεις ότι η περίφημη απόδειξη από τα Στοιχεία του Ευκλείδη μπορεί να ανήκει στον Πυθαγόρα και ο Ευκλείδης την κατέγραψε μόνο.

Είναι επίσης γνωστό σήμερα ότι προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκονται σε αιγυπτιακές πηγές από την εποχή του Φαραώ Amenemhat I, σε πήλινες πινακίδες από τη Βαβυλωνία από τη βασιλεία του βασιλιά Hammurabi, στην αρχαία ινδική πραγματεία "Sulva Sutra" και στο αρχαίο κινεζικό έργο " Ζου-μπι Σουν Τζιν».

Όπως μπορείτε να δείτε, το Πυθαγόρειο θεώρημα απασχολούσε το μυαλό των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Αυτό επιβεβαιώνεται από περίπου 367 διαφορετικά στοιχεία που υπάρχουν σήμερα. Σε αυτό, κανένα άλλο θεώρημα δεν μπορεί να το ανταγωνιστεί. Μεταξύ των διάσημων συγγραφέων των αποδείξεων μπορούμε να θυμηθούμε τον Λεονάρντο ντα Βίντσι και τον εικοστό Πρόεδρο των ΗΠΑ Τζέιμς Γκάρφιλντ. Όλα αυτά μιλούν για την εξαιρετική σημασία αυτού του θεωρήματος για τα μαθηματικά: τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας προέρχονται από αυτό ή συνδέονται με κάποιο τρόπο με αυτό.

Αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Τα σχολικά εγχειρίδια δίνουν κυρίως αλγεβρικές αποδείξεις. Αλλά η ουσία του θεωρήματος βρίσκεται στη γεωμετρία, οπότε ας εξετάσουμε πρώτα εκείνες τις αποδείξεις του διάσημου θεωρήματος που βασίζονται σε αυτήν την επιστήμη.

Αποδεικτικά στοιχεία 1

Για την απλούστερη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, πρέπει να ορίσετε ιδανικές συνθήκες: αφήστε το τρίγωνο να είναι όχι μόνο ορθογώνιο, αλλά και ισοσκελές. Υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι ήταν ακριβώς αυτό το είδος τριγώνου που αρχικά θεωρούσαν οι αρχαίοι μαθηματικοί.

Δήλωση «Ένα τετράγωνο χτισμένο στην υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια του»μπορεί να απεικονιστεί με το ακόλουθο σχέδιο:

Κοιτάξτε το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ABC: Στην υποτείνουσα AC, μπορείτε να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο που αποτελείται από τέσσερα τρίγωνα ίσα με το αρχικό ABC. Και στις πλευρές AB και BC είναι χτισμένο ένα τετράγωνο, το καθένα από τα οποία περιέχει δύο παρόμοια τρίγωνα.

Παρεμπιπτόντως, αυτό το σχέδιο αποτέλεσε τη βάση πολλών ανέκδοτων και κινούμενων σχεδίων αφιερωμένων στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Το πιο διάσημο είναι ίσως «Τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα προς όλες τις κατευθύνσεις»:

Αποδεικτικά στοιχεία 2

Αυτή η μέθοδος συνδυάζει άλγεβρα και γεωμετρία και μπορεί να θεωρηθεί παραλλαγή της αρχαίας ινδικής απόδειξης του μαθηματικού Bhaskari.

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β και γ(Εικ. 1). Στη συνέχεια κατασκευάστε δύο τετράγωνα με πλευρές ίσες με το άθροισμα των μηκών των δύο ποδιών - (α+β). Σε καθένα από τα τετράγωνα φτιάξτε κατασκευές όπως στα σχήματα 2 και 3.

Στο πρώτο τετράγωνο, χτίστε τέσσερα τρίγωνα παρόμοια με αυτά της εικόνας 1. Το αποτέλεσμα είναι δύο τετράγωνα: το ένα με την πλευρά a, το δεύτερο με την πλευρά σι.

Στο δεύτερο τετράγωνο, τέσσερα κατασκευασμένα παρόμοια τρίγωνα σχηματίζουν ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με την υποτείνουσα ντο.

Το άθροισμα των εμβαδών των κατασκευασμένων τετραγώνων στο Σχ. 2 είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου που κατασκευάσαμε με την πλευρά c στο Σχ. 3. Αυτό μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με τον υπολογισμό του εμβαδού των τετραγώνων στο Σχ. 2 σύμφωνα με τον τύπο. Και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου τετραγώνου στο σχήμα 3. αφαιρώντας τα εμβαδά τεσσάρων ίσων ορθογωνίων τριγώνων που εγγράφονται στο τετράγωνο από το εμβαδόν ενός μεγάλου τετραγώνου με πλευρά (α+β).

Γράφοντας όλα αυτά, έχουμε: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Ανοίξτε τις αγκύλες, πραγματοποιήστε όλους τους απαραίτητους αλγεβρικούς υπολογισμούς και λάβετε αυτό a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Σε αυτή την περίπτωση, η περιοχή που εγγράφεται στο Σχ. 3. Το τετράγωνο μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παραδοσιακό τύπο S=c 2. Εκείνοι. a 2 +b 2 =c 2– έχετε αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Αποδεικτικά στοιχεία 3

Η ίδια η αρχαία ινδική απόδειξη περιγράφηκε τον 12ο αιώνα στην πραγματεία «The Crown of Knowledge» («Siddhanta Shiromani») και ως κύριο επιχείρημα ο συγγραφέας χρησιμοποιεί μια έκκληση που απευθύνεται στα μαθηματικά ταλέντα και τις δεξιότητες παρατήρησης των μαθητών και των ακολούθων: « Κοίτα!"

Αλλά θα αναλύσουμε αυτή την απόδειξη με περισσότερες λεπτομέρειες:

Μέσα στο τετράγωνο, χτίστε τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχέδιο. Ας υποδηλώσουμε την πλευρά του μεγάλου τετραγώνου, γνωστή και ως υποτείνουσα, Με. Ας ονομάσουμε τα σκέλη του τριγώνου ΕΝΑΚαι σι. Σύμφωνα με το σχέδιο, η πλευρά του εσωτερικού τετραγώνου είναι (α-β).

Χρησιμοποιήστε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου S=c 2να υπολογίσετε το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου. Και ταυτόχρονα υπολογίστε την ίδια τιμή προσθέτοντας το εμβαδόν του εσωτερικού τετραγώνου και τα εμβαδά και των τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων: (α-β) 2 2+4*1\2*α*β.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και τις δύο επιλογές για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τετραγώνου για να βεβαιωθείτε ότι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Και αυτό σας δίνει το δικαίωμα να το γράψετε c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ως αποτέλεσμα της λύσης, θα λάβετε τον τύπο του Πυθαγόρειου θεωρήματος c 2 =a 2 +b 2. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη 4

Αυτή η περίεργη αρχαία κινεζική απόδειξη ονομάστηκε «Καρέκλα της Νύφης» - λόγω της φιγούρας που μοιάζει με καρέκλα που προκύπτει από όλες τις κατασκευές:

Χρησιμοποιεί το σχέδιο που έχουμε ήδη δει στο Σχ. 3 στη δεύτερη απόδειξη. Και το εσωτερικό τετράγωνο με την πλευρά c είναι κατασκευασμένο με τον ίδιο τρόπο όπως στην αρχαία ινδική απόδειξη που δόθηκε παραπάνω.

Εάν κόψετε διανοητικά δύο πράσινα ορθογώνια τρίγωνα από το σχέδιο στο Σχ. 1, μετακινήστε τα σε αντίθετες πλευρέςσυνδέστε ένα τετράγωνο με πλευρά c και υποτείνουσες στις υποτείνουσες των λιλά τριγώνων, θα πάρετε μια φιγούρα που ονομάζεται "καρέκλα της νύφης" (Εικ. 2). Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να κάνετε το ίδιο με χάρτινα τετράγωνα και τρίγωνα. Θα βεβαιωθείτε ότι η «καρέκλα της νύφης» σχηματίζεται από δύο τετράγωνα: μικρά με μια πλευρά σικαι μεγάλο με πλάι ένα.

Αυτές οι κατασκευές επέτρεψαν στους αρχαίους Κινέζους μαθηματικούς και σε εμάς, ακολουθώντας αυτές, να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι c 2 =a 2 +b 2.

Αποδεικτικά στοιχεία 5

Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να βρείτε μια λύση στο Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιώντας γεωμετρία. Ονομάζεται μέθοδος Garfield.

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητο. Πρέπει να το αποδείξουμε BC 2 = AC 2 + AB 2.

Για να το κάνετε αυτό, συνεχίστε το πόδι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι κατασκευάστε ένα τμήμα CD, που είναι ίσο με το πόδι ΑΒ. Χαμηλώστε την κάθετο ΕΝΑ Δευθύγραμμο τμήμα ED. Τμήματα EDΚαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝείναι ίσα. Ενωσε τις τελείες μιΚαι ΣΕ, και μιΚαι ΜΕκαι λάβετε ένα σχέδιο όπως η παρακάτω εικόνα:

Για να αποδείξουμε τον πύργο, καταφεύγουμε και πάλι στη μέθοδο που έχουμε ήδη δοκιμάσει: βρίσκουμε την περιοχή του σχήματος που προκύπτει με δύο τρόπους και εξισώνουμε τις εκφράσεις μεταξύ τους.

Βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου ΕΝΑ ΚΡΕΒΑΤΙμπορεί να γίνει αθροίζοντας τα εμβαδά των τριών τριγώνων που το σχηματίζουν. Και ένας από αυτούς, ERU, δεν είναι μόνο ορθογώνιο, αλλά και ισοσκελές. Ας μην το ξεχνάμε επίσης AB=CD, AC=EDΚαι BC=SE– αυτό θα μας επιτρέψει να απλοποιήσουμε την εγγραφή και να μην την υπερφορτώσουμε. Ετσι, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι ΕΝΑ ΚΡΕΒΑΤΙ- Αυτό είναι τραπεζοειδές. Επομένως, υπολογίζουμε το εμβαδόν του χρησιμοποιώντας τον τύπο: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Για τους υπολογισμούς μας, είναι πιο βολικό και πιο σαφές να αναπαραστήσουμε το τμήμα ΕΝΑ Δως το άθροισμα των τμημάτων ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι CD.

Ας γράψουμε και τους δύο τρόπους υπολογισμού του εμβαδού ενός σχήματος, βάζοντας ένα πρόσημο ίσου μεταξύ τους: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Χρησιμοποιούμε την ισότητα των τμημάτων που είναι ήδη γνωστά σε εμάς και περιγράφηκαν παραπάνω για να απλοποιήσουμε τη δεξιά πλευρά του συμβολισμού: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας μετατρέψουμε την ισότητα: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Έχοντας ολοκληρώσει όλους τους μετασχηματισμούς, παίρνουμε ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε: BC 2 = AC 2 + AB 2. Έχουμε αποδείξει το θεώρημα.

Φυσικά, αυτή η λίστα αποδεικτικών στοιχείων απέχει πολύ από το να είναι πλήρης. Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί επίσης να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας διανύσματα, μιγαδικούς αριθμούς, διαφορικές εξισώσεις, στερεομετρία κ.λπ. Και ακόμη και φυσικοί: αν, για παράδειγμα, χύνεται υγρό σε τετράγωνους και τριγωνικούς όγκους παρόμοιους με αυτούς που φαίνονται στα σχέδια. Ρίχνοντας υγρό, μπορείτε να αποδείξετε την ισότητα των περιοχών και το ίδιο το θεώρημα ως αποτέλεσμα.

Λίγα λόγια για τα Πυθαγόρεια τρίδυμα

Αυτό το θέμα μελετάται ελάχιστα ή καθόλου στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Εν τω μεταξύ, είναι πολύ ενδιαφέρον και έχει μεγάλης σημασίαςστη γεωμετρία. Οι πυθαγόρειες τριάδες χρησιμοποιούνται για την επίλυση πολλών μαθηματικών προβλημάτων. Η κατανόησή τους μπορεί να είναι χρήσιμη για εσάς στην περαιτέρω εκπαίδευση.

Τι είναι λοιπόν τα Πυθαγόρεια τρίδυμα; Αυτό είναι το όνομα για τους φυσικούς αριθμούς που συλλέγονται σε ομάδες των τριών, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο εκ των οποίων είναι ίσο με τον τρίτο αριθμό στο τετράγωνο.

Οι πυθαγόρειες τριάδες μπορεί να είναι:

• πρωτόγονος (και οι τρεις αριθμοί είναι σχετικά πρώτοι).
• όχι πρωτόγονο (αν κάθε αριθμός ενός τριπλού πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό, παίρνετε ένα νέο τριπλό, το οποίο δεν είναι πρωτόγονο).

Ακόμη και πριν από την εποχή μας, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γοητεύονταν από τη μανία για αριθμούς Πυθαγόρειων τριδύμων: στα προβλήματα θεωρούσαν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5 μονάδων. Παρεμπιπτόντως, κάθε τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες με τους αριθμούς του Πυθαγόρειου τριπλού είναι από προεπιλογή ορθογώνιο.

Παραδείγματα Πυθαγόρειων τριδύμων: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) κ.λπ.

Πρακτική εφαρμογή του θεωρήματος

Το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιείται όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στην αρχιτεκτονική και τις κατασκευές, την αστρονομία και ακόμη και τη λογοτεχνία.

Πρώτον, σχετικά με την κατασκευή: το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιείται ευρέως σε προβλήματα διαφόρων επιπέδων πολυπλοκότητας. Για παράδειγμα, δείτε ένα ρομανικό παράθυρο:

Ας υποδηλώσουμε το πλάτος του παραθύρου ως σι, τότε η ακτίνα του κύριου ημικυκλίου μπορεί να συμβολιστεί ως Rκαι εκφράζονται μέσω β: R=b/2. Η ακτίνα των μικρότερων ημικυκλίων μπορεί επίσης να εκφραστεί μέσω β: r=b/4. Σε αυτό το πρόβλημα μας ενδιαφέρει η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου του παραθύρου (ας το ονομάσουμε Π).

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι απλώς χρήσιμο να υπολογιστεί R. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το οποίο υποδεικνύεται με μια διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα. Η υποτείνουσα ενός τριγώνου αποτελείται από δύο ακτίνες: β/4+σελ. Το ένα πόδι αντιπροσωπεύει την ακτίνα β/4, αλλο β/2-π. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, γράφουμε: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Στη συνέχεια, ανοίγουμε τις αγκύλες και παίρνουμε b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση σε bp/2=b 2 /4-bp. Και μετά διαιρούμε όλους τους όρους με σι, παρουσιάζουμε παρόμοια για να πάρουμε 3/2*p=b/4. Και στο τέλος το διαπιστώνουμε p=b/6- αυτό που χρειαζόμασταν.

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος των δοκών για δίρριχτη στέγη. Προσδιορίστε πόσο ψηλά χρειάζεται ένας πύργος κινητής τηλεφωνίας για να φτάσει το σήμα σε ένα συγκεκριμένο επίλυση. Και ακόμη και να εγκαταστήσετε ένα χριστουγεννιάτικο δέντρο βιώσιμα στην πλατεία της πόλης. Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το θεώρημα ζει όχι μόνο στις σελίδες των σχολικών βιβλίων, αλλά είναι συχνά χρήσιμο στην πραγματική ζωή.

Στη λογοτεχνία, το Πυθαγόρειο θεώρημα ενέπνευσε τους συγγραφείς από την αρχαιότητα και συνεχίζει να το κάνει στην εποχή μας. Για παράδειγμα, ο Γερμανός συγγραφέας του δέκατου ένατου αιώνα Adelbert von Chamisso εμπνεύστηκε να γράψει ένα σονέτο:

Το φως της αλήθειας δεν θα εξαφανιστεί σύντομα,
Αλλά, έχοντας λάμψει, είναι απίθανο να διαλυθεί
Και, όπως πριν από χιλιάδες χρόνια,
Δεν θα προκαλέσει αμφιβολίες ή διαφωνίες.

Το πιο σοφό όταν αγγίζει το βλέμμα σου
Φως της αλήθειας, ευχαριστώ τους θεούς.
Και εκατό ταύροι, σφαγμένοι, ψέματα -
Δώρο επιστροφής από τον τυχερό Πυθαγόρα.

Από τότε οι ταύροι βρυχώνται απελπισμένα:
Ανησύχησε για πάντα τη φυλή των ταύρων
Εκδήλωση που αναφέρεται εδώ.

Τους φαίνεται: πλησιάζει η ώρα,
Και θα θυσιαστούν ξανά
Κάποιο σπουδαίο θεώρημα.

(μετάφραση Viktor Toporov)

Και στον εικοστό αιώνα, ο Σοβιετικός συγγραφέας Evgeny Veltistov, στο βιβλίο του «Οι περιπέτειες της Ηλεκτρονικής», αφιέρωσε ένα ολόκληρο κεφάλαιο στις αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Και άλλο ένα μισό κεφάλαιο στην ιστορία για τον δισδιάστατο κόσμο που θα μπορούσε να υπάρξει εάν το Πυθαγόρειο θεώρημα γινόταν θεμελιώδης νόμος και ακόμη και θρησκεία για έναν μόνο κόσμο. Το να ζεις εκεί θα ήταν πολύ πιο εύκολο, αλλά και πολύ πιο βαρετό: για παράδειγμα, κανείς εκεί δεν καταλαβαίνει τη σημασία των λέξεων «στρογγυλό» και «αφράτο».

Και στο βιβλίο «Οι περιπέτειες της Ηλεκτρονικής», ο συγγραφέας, μέσω του δασκάλου μαθηματικών Ταρατάρ, λέει: «Το κύριο πράγμα στα μαθηματικά είναι η κίνηση της σκέψης, οι νέες ιδέες». Είναι ακριβώς αυτή η δημιουργική πτήση σκέψης που γεννά το Πυθαγόρειο θεώρημα - δεν είναι τυχαίο που έχει τόσες πολλές ποικίλες αποδείξεις. Σας βοηθά να ξεπεράσετε τα όρια του οικείου και να δείτε τα οικεία πράγματα με έναν νέο τρόπο.

συμπέρασμα

Αυτό το άρθρο δημιουργήθηκε για να μπορείτε να κοιτάξετε πέρα ​​από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών στα μαθηματικά και να μάθετε όχι μόνο αυτές τις αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος που δίνονται στα εγχειρίδια "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) και "Geometry 7" - 11» (A.V. Pogorelov), αλλά και άλλοι ενδιαφέροντες τρόποι απόδειξης του περίφημου θεωρήματος. Και δείτε επίσης παραδείγματα για το πώς μπορεί να εφαρμοστεί το Πυθαγόρειο θεώρημα στην καθημερινή ζωή.

Πρώτον, αυτές οι πληροφορίες θα σας επιτρέψουν να πληροίτε τις προϋποθέσεις για περισσότερα Υψηλά σκορστα μαθήματα μαθηματικών, οι πληροφορίες για το θέμα από πρόσθετες πηγές εκτιμώνται πάντα ιδιαίτερα.

Δεύτερον, θέλαμε να σας βοηθήσουμε να νιώσετε πόσο ενδιαφέροντα είναι τα μαθηματικά. Συγουρεύομαι συγκεκριμένα παραδείγματαότι υπάρχει πάντα χώρος για δημιουργικότητα σε αυτό. Ελπίζουμε ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα και αυτό το άρθρο θα σας εμπνεύσουν να εξερευνήσετε ανεξάρτητα και να κάνετε συναρπαστικές ανακαλύψεις στα μαθηματικά και άλλες επιστήμες.

Πείτε μας στα σχόλια εάν βρήκατε ενδιαφέροντα τα στοιχεία που παρουσιάζονται στο άρθρο. Βρήκατε αυτές τις πληροφορίες χρήσιμες στις σπουδές σας; Γράψτε μας τη γνώμη σας για το Πυθαγόρειο θεώρημα και αυτό το άρθρο - θα χαρούμε να τα συζητήσουμε όλα αυτά μαζί σας.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Παντελόνι - λάβετε έναν έγκυρο κωδικό προσφοράς ridestep στο Akademika ή αγοράστε παντελόνι με έκπτωση σε έκπτωση στο ridestep

Jarg. σχολείο Αστειεύεται. Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο καθιερώνει τη σχέση μεταξύ των περιοχών των τετραγώνων που χτίζονται στην υποτείνουσα και των σκελών ενός ορθογωνίου τριγώνου. BTS, 835… Μεγάλο λεξικόΡωσικά ρητά

Πυθαγόρειο παντελόνι- Ένα κωμικό όνομα για το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο προέκυψε λόγω του γεγονότος ότι τα τετράγωνα που είναι χτισμένα στις πλευρές ενός ορθογωνίου και αποκλίνουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις μοιάζουν με το κόψιμο του παντελονιού. Μου άρεσε η γεωμετρία... και στις εισαγωγικές εξετάσεις στο πανεπιστήμιο έλαβα ακόμη και ένα... Φρασεολογικό λεξικό της ρωσικής λογοτεχνικής γλώσσας

Πυθαγόρειο παντελόνι- Ένα χιουμοριστικό όνομα για το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο καθιερώνει τη σχέση μεταξύ των περιοχών των τετραγώνων που χτίζονται στην υποτείνουσα και των ποδιών ενός ορθογωνίου τριγώνου, που μοιάζει με το κόψιμο του παντελονιού στις εικόνες... Λεξικό πολλών εκφράσεων

Μοναχός: για έναν προικισμένο άνδρα Τετ. Αυτός είναι αναμφίβολα σοφός. Στην αρχαιότητα, μάλλον θα είχε εφεύρει τα πυθαγόρεια παντελόνια... Saltykov. Ποικίλα γράμματα. Πυθαγόρειο παντελόνι (γεωμ.): σε ένα ορθογώνιο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με τα τετράγωνα των ποδιών (διδασκαλία ... ... Michelson's Large Επεξηγηματικό και Φρασεολογικό Λεξικό

Το πυθαγόρειο παντελόνι είναι ίσο από όλες τις πλευρές- Ο αριθμός των κουμπιών είναι γνωστός. Γιατί είναι σφιχτό το πουλί; (με αγένεια) για το παντελόνι και το ανδρικό γεννητικό όργανο. Το πυθαγόρειο παντελόνι είναι ίσο από όλες τις πλευρές. Για να αποδειχθεί αυτό, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε και να δείξουμε 1) σχετικά με το Πυθαγόρειο θεώρημα. 2) Σχετικά με το φαρδύ παντελόνι... Ζωντανή ομιλία. Λεξικό της καθομιλουμένης

Πυθαγόρειο παντελόνι (εφευρίσκω) μοναχός. για ένα προικισμένο άτομο. Νυμφεύομαι. Αυτός είναι αναμφίβολα σοφός. Στην αρχαιότητα, μάλλον θα είχε εφεύρει τα πυθαγόρεια παντελόνια... Saltykov. ετερόκλητα γράμματα. Πυθαγόρειο παντελόνι (γεωμ.): σε ένα ορθογώνιο υπάρχει ένα τετράγωνο της υποτείνουσας... ... Michelson's Large Explanatory and Phraseological Dictionary (αρχική ορθογραφία)

Τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα προς όλες τις κατευθύνσεις- Μια χιουμοριστική απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. επίσης σαν αστείο για το φαρδύ παντελόνι ενός φίλου... Λεξικό λαϊκής φρασεολογίας

Επίθ., αγενής...

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΠΑΝΤΕΛΟΝΙ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ (Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΚΟΥΜΠΙΩΝ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΟΣ. ΓΙΑΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΦΙΤΟ; / ΓΙΑ ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙ ΑΥΤΟ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΤΟ ΒΓΑΛΕΙΣ ΚΑΙ ΝΑ ΔΕΙΞΕΙΣ)- επίρρημα, αγενής... Λεξικόμοντέρνο καθομιλουμένες φρασεολογικές μονάδεςκαι παροιμίες

Ουσιαστικό, πληθυντικός, χρησιμοποιείται συγκρίνω συχνά Μορφολογία: πληθ. Τι; παντελόνι, (όχι) τι; παντελόνι, τι; παντελόνι, (βλέπω) τι; παντελόνι, τι; παντελόνι, τι γίνεται; για το παντελόνι 1. Το παντελόνι είναι ένα ρούχο που έχει δύο κοντά ή μακριά πόδια και καλύπτει το κάτω μέρος... ... Επεξηγηματικό Λεξικό του Ντμίτριεφ

Βιβλία

• Πυθαγόρειο παντελόνι. Σε αυτό το βιβλίο θα βρείτε φαντασία και περιπέτεια, θαύματα και μυθοπλασία. Αστείο και λυπηρό, συνηθισμένο και μυστηριώδες... Τι άλλο χρειάζεστε για διασκεδαστικό διάβασμα; Το κυριότερο είναι ότι υπάρχει...
• Θαύματα στους τροχούς, Markusha Anatoly. Εκατομμύρια τροχοί περιστρέφονται σε όλη τη γη - αυτοκίνητα κυλούν, μετρούν τον χρόνο σε ρολόγια, χτυπούν κάτω από τρένα, εκτελούν αμέτρητες εργασίες σε μηχανές και διάφορους μηχανισμούς. Αυτοί…

Μερικές συζητήσεις με διασκεδάζουν πάρα πολύ...

Γεια σου τι κάνεις;
-Ναι, λύνω προβλήματα από ένα περιοδικό.
-Ουάου! Δεν το περίμενα από σένα.
-Τι δεν περιμένατε;
-Ότι θα σκύψεις σε γρίφους. Φαίνεσαι έξυπνος, αλλά πιστεύεις σε κάθε λογής ανοησία.
-Συγγνώμη δεν καταλαβαίνω. Τι λες ανοησίες;
-Ναι, όλα αυτά τα μαθηματικά σου. Είναι προφανές ότι είναι πλήρης βλακεία.
-Πώς μπορείς να το πεις αυτό; Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών...
- Ας αποφύγουμε αυτό το πάθος, σωστά; Τα μαθηματικά δεν είναι καθόλου επιστήμη, αλλά ένας συνεχής σωρός ανόητων νόμων και κανόνων.
-Τι;!
-Α, μην κάνεις τα μάτια σου τόσο μεγάλα, ξέρεις ότι έχω δίκιο. Όχι, δεν διαφωνώ, ο πίνακας πολλαπλασιασμού είναι σπουδαίο πράγμα, έπαιξε σημαντικό ρόλο στη διαμόρφωση του πολιτισμού και της ανθρώπινης ιστορίας. Τώρα όμως όλα αυτά δεν είναι πλέον επίκαιρα! Και τότε, γιατί να περιπλέκουμε τα πάντα; Δεν υπάρχουν ολοκληρώματα ή λογάριθμοι στη φύση, όλα αυτά είναι εφευρέσεις μαθηματικών.
-Περίμενε ένα λεπτό. Οι μαθηματικοί δεν επινόησαν τίποτα, ανακάλυψαν νέους νόμους αλληλεπίδρασης αριθμών, χρησιμοποιώντας δοκιμασμένα εργαλεία...
-Ναι φυσικά! Και το πιστεύεις αυτό; Δεν βλέπετε για τι βλακείες μιλάνε συνέχεια; Μπορείτε να μου δώσετε ένα παράδειγμα;
-Ναι, σε παρακαλώ να είσαι ευγενικός.
-Ναι παρακαλώ! Πυθαγόρειο θεώρημα.
- Λοιπόν, τι συμβαίνει με αυτό;
-Δεν είναι έτσι! «Τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα από όλες τις πλευρές», καταλαβαίνετε. Γνωρίζατε ότι οι Έλληνες την εποχή του Πυθαγόρα δεν φορούσαν παντελόνια; Πώς μπορούσε ο Πυθαγόρας να μιλήσει για κάτι που δεν είχε ιδέα;
-Περίμενε ένα λεπτό. Τι σχέση έχει αυτό με το παντελόνι;
-Λοιπόν, φαίνεται ότι είναι Πυθαγόρειοι; Ή όχι; Παραδέχεσαι ότι ο Πυθαγόρας δεν είχε παντελόνι;
- Λοιπόν, στην πραγματικότητα, φυσικά, δεν ήταν...
-Αχα, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια προφανής ασυμφωνία στο ίδιο το όνομα του θεωρήματος! Πώς μπορείς τότε να πάρεις στα σοβαρά αυτά που λέγονται εκεί;
- Μισό λεπτό. Ο Πυθαγόρας δεν είπε τίποτα για παντελόνι...
-Το παραδέχεσαι, σωστά;
-Ναι... Λοιπόν, μπορώ να συνεχίσω; Ο Πυθαγόρας δεν είπε τίποτα για τα παντελόνια και δεν χρειάζεται να του αποδώσουμε τη βλακεία των άλλων...
-Ναι, εσύ ο ίδιος συμφωνείς ότι όλα αυτά είναι ανοησίες!
-Δεν το είπα αυτό!
-Μόλις αυτό είπα. Αντιφάσκεις με τον εαυτό σου.
-Ετσι. Να σταματήσει. Τι λέει το Πυθαγόρειο θεώρημα;
-Ότι όλα τα παντελόνια είναι ίσα.
-Διάολε, το διάβασες καν αυτό το θεώρημα;!
-Ξέρω.
-Οπου;
-Διαβάζω.
-Τι διάβασες;!
-Λομπατσέφσκι.
*παύση*
-Συγγνώμη, αλλά τι σχέση έχει ο Λομπατσέφσκι με τον Πυθαγόρα;
-Λοιπόν, ο Λομπατσέφσκι είναι επίσης μαθηματικός και φαίνεται να είναι ακόμη μεγαλύτερη αυθεντία από τον Πυθαγόρα, δεν θα λέγατε;
*στεναγμός*
-Λοιπόν, τι είπε ο Λομπατσέφσκι για το Πυθαγόρειο θεώρημα;
-Ότι το παντελόνι είναι ίσο. Αλλά αυτό είναι ανοησία! Πώς μπορείς να φορέσεις ακόμη και τέτοιο παντελόνι; Και εξάλλου, ο Πυθαγόρας δεν φορούσε καθόλου παντελόνι!
-Το είπε ο Λομπατσέφσκι;!
*δεύτερη παύση, με σιγουριά*
-Ναί!
-Δείξε μου πού είναι γραμμένο.
-Όχι, καλά, δεν είναι γραμμένο εκεί τόσο ευθέως...
-Τι όνομα έχει αυτό το βιβλίο;
- Ναι, αυτό δεν είναι βιβλίο, αυτό είναι άρθρο σε εφημερίδα. Σχετικά με το γεγονός ότι ο Λομπατσέφσκι ήταν στην πραγματικότητα πράκτορας της γερμανικής μυστικής υπηρεσίας... καλά, αυτό είναι εκτός θέματος. Αυτό μάλλον είπε πάντως. Είναι επίσης μαθηματικός, που σημαίνει ότι αυτός και ο Πυθαγόρας είναι ταυτόχρονα.
-Ο Πυθαγόρας δεν είπε τίποτα για παντελόνια.
-Λοιπον ναι! Για αυτό μιλάμε. Όλα αυτά είναι μαλακίες.
-Πάμε με τη σειρά. Πώς γνωρίζετε προσωπικά τι λέει το Πυθαγόρειο θεώρημα;
-Ελα τώρα! Όλοι το ξέρουν αυτό. Ρωτήστε οποιονδήποτε, θα σας απαντήσει αμέσως.
-Το πυθαγόρειο παντελόνι δεν είναι παντελόνι...
- Α, φυσικά! Αυτό είναι αλληγορία! Ξέρεις πόσες φορές το έχω ξανακούσει αυτό;
-Το Πυθαγόρειο θεώρημα δηλώνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. ΚΑΙ ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΟΛΟ!
-Πού είναι το παντελόνι;
-Ναι, ο Πυθαγόρας δεν είχε παντελόνι!!!
- Λοιπόν, βλέπεις, αυτό σου λέω. Όλα τα μαθηματικά σου είναι μαλακίες.
-Μα δεν είναι μαλακίες! Ρίξτε μια ματιά μόνοι σας. Εδώ είναι ένα τρίγωνο. Εδώ είναι η υποτείνουσα. Εδώ είναι τα πόδια...
-Γιατί ξαφνικά αυτά είναι τα πόδια, και αυτή είναι η υποτείνουσα; Ίσως είναι το αντίστροφο;
-Οχι. Τα πόδια είναι δύο πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία.
-Λοιπόν, εδώ είναι μια άλλη σωστή γωνία για εσάς.
-Δεν είναι στρέιτ.
-Πώς είναι, στραβός;
-Όχι, είναι κοφτερό.
-Αυτό είναι και πικάντικο.
-Δεν είναι αιχμηρό, είναι ίσιο.
-Ξέρεις, μη με κοροϊδεύεις! Απλώς αποκαλείτε τα πράγματα όπως σας βολεύει, απλώς για να προσαρμόσετε το αποτέλεσμα σε αυτό που θέλετε.
-Οι δύο κοντές πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι τα σκέλη. Η μακριά πλευρά είναι η υποτείνουσα.
-Και ποιος είναι πιο κοντός - αυτή η πλευρά; Και η υποτείνουσα, λοιπόν, δεν κυλά πια; Άκου τον εαυτό σου απ' έξω, για τι βλακείες λες. Είναι ο 21ος αιώνας, η εποχή της ακμής της δημοκρατίας, αλλά βρίσκεστε σε κάποιου είδους Μεσαίωνα. Τα πλευρά του, βλέπετε, είναι άνισα...
-Δεν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με ίσες πλευρές...
-Είσαι σίγουρος; Άσε με να σου το ζωγραφίσω. Εδώ κοίτα. Ορθογώνιος; Ορθογώνιος. Και όλες οι πλευρές είναι ίσες!
-Ζωγράφισες ένα τετράγωνο.
-Και λοιπόν;
-Το τετράγωνο δεν είναι τρίγωνο.
- Α, φυσικά! Από τη στιγμή που δεν μας ταιριάζει, είναι αμέσως «όχι τρίγωνο»! Μη με κοροιδεύεις. Μετρήστε μόνοι σας: μία γωνία, δύο γωνίες, τρεις γωνίες.
-Τέσσερα.
-Και λοιπόν;
-Είναι ένα τετράγωνο.
-Είναι τετράγωνο, όχι τρίγωνο; Είναι χειρότερος, σωστά; Μόνο και μόνο επειδή το ζωγράφισα; Υπάρχουν τρεις γωνίες; Υπάρχει, και υπάρχει έστω και ένα εφεδρικό. Λοιπόν, δεν υπάρχει τίποτα λάθος εδώ, ξέρετε…
-Εντάξει, ας αφήσουμε αυτό το θέμα.
-Ναι, τα παρατάς ήδη; Κάτι αντίρρηση; Παραδέχεσαι ότι τα μαθηματικά είναι μαλακίες;
-Όχι, δεν το παραδέχομαι.
- Λοιπόν, πάμε πάλι - τέλεια! Μόλις σου τα απέδειξα όλα αναλυτικά! Αν η βάση όλης της γεωμετρίας σας είναι η διδασκαλία του Πυθαγόρα, και, ζητώ συγγνώμη, είναι πλήρης ανοησία... τότε για τι μπορείτε να μιλήσετε περαιτέρω;
-Οι διδασκαλίες του Πυθαγόρα δεν είναι ανοησίες...
- Λοιπόν, φυσικά! Δεν έχω ακούσει για την Πυθαγόρεια σχολή! Αυτοί, αν θέλετε να μάθετε, επιδόθηκαν σε όργια!
-Τι σχέση έχει αυτό με...
-Και ο Πυθαγόρας ήταν στην πραγματικότητα κουμπάρος! Ο ίδιος έλεγε ότι ο Πλάτων ήταν φίλος του.
-Πυθαγόρας;!
-Δεν ήξερες; Ναι, ήταν όλοι κουμπάροι. Και τρίχτυπα στο κεφάλι. Ο ένας κοιμόταν σε ένα βαρέλι, ο άλλος έτρεχε στην πόλη γυμνός...
-Ο Διογένης κοιμόταν σε ένα βαρέλι, αλλά ήταν φιλόσοφος, όχι μαθηματικός...
- Α, φυσικά! Αν κάποιος σκαρφαλώσει σε ένα βαρέλι, τότε δεν είναι πια μαθηματικός! Γιατί χρειαζόμαστε επιπλέον ντροπή; Ξέρουμε, ξέρουμε, περάσαμε. Αλλά μου εξηγείς γιατί κάθε λογής παλαβός που έζησε πριν από τρεις χιλιάδες χρόνια και έτρεχε τριγύρω χωρίς παντελόνι θα έπρεπε να είναι αυθεντία για μένα; Γιατί στο καλό να αποδεχτώ την άποψή τους;
-Εντάξει, αφήστε το...
- Όχι, άκου! Τελικά σε άκουσα κι εγώ. Αυτοί είναι οι υπολογισμοί σου, οι υπολογισμοί... Όλοι ξέρετε να μετράτε! Και αν σας ρωτήσω κάτι ουσιαστικά, εκεί και τότε: «αυτό είναι ένα πηλίκο, αυτή είναι μια μεταβλητή και αυτά είναι δύο άγνωστα». Και μου λες γενικά, χωρίς συγκεκριμένα! Και χωρίς κανένα άγνωστο, άγνωστο, υπαρξιακό... Αυτό με αρρωσταίνει, ξέρεις;
-Καταλαβαίνουν.
-Λοιπόν, εξήγησέ μου γιατί δύο και δύο είναι πάντα τέσσερα; Ποιος το σκέφτηκε αυτό; Και γιατί είμαι υποχρεωμένος να το θεωρώ δεδομένο και δεν έχω δικαίωμα αμφιβολίας;
-Ναι, αμφέβαλλα όσο θέλεις...
-Όχι, εξήγησέ μου! Μόνο χωρίς αυτά τα μικρά σου, αλλά κανονικά, με ανθρώπινο τρόπο, για να είναι ξεκάθαρο.
-Δύο φορές δύο ίσον τέσσερα, γιατί δύο φορές δύο ίσον τέσσερα.
-Λαδιέλαιο. Τι καινούργιο μου είπες;
-Δύο δύο είναι δύο πολλαπλασιαζόμενα επί δύο. Πάρε δύο και δύο και βάλε τα μαζί...
-Άρα να προσθέσω ή να πολλαπλασιάσω;
-Είναι το ίδιο...
- Και τα δύο! Αποδεικνύεται ότι αν προσθέσω και πολλαπλασιάσω επτά και οκτώ, βγαίνει επίσης το ίδιο;
-Οχι.
-Και γιατί;
-Γιατί επτά συν οκτώ δεν ισούται...
-Και αν πολλαπλασιάσω το εννιά με το δύο, παίρνω τέσσερα;
-Οχι.
-Και γιατί; Πολλαπλασίασα δύο και λειτούργησε, αλλά ξαφνικά ήταν μπαμ με εννιά;
-Ναί. Δύο φορές εννέα είναι δεκαοχτώ.
-Τι γίνεται με τις δύο φορές επτά;
-Δεκατέσσερα.
-Και δύο φορές είναι πέντε;
-Δέκα.
-Δηλαδή τέσσερις βγαίνει μόνο σε μια συγκεκριμένη περίπτωση;
-Ακριβώς.
-Τώρα σκέψου μόνος σου. Λέτε ότι υπάρχουν κάποιοι αυστηροί νόμοι και κανόνες πολλαπλασιασμού. Για ποιους νόμους μπορούμε να μιλήσουμε εδώ αν σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση προκύπτει διαφορετικό αποτέλεσμα;!
-Αυτό δεν είναι απολύτως αλήθεια. Μερικές φορές τα αποτελέσματα μπορεί να είναι τα ίδια. Για παράδειγμα, δύο φορές έξι ίσον δώδεκα. Και τέσσερις φορές τρία - επίσης...
-Ακόμα χειρότερα! Δύο, έξι, τρία τέσσερα - τίποτα κοινό! Μπορείτε να δείτε και μόνοι σας ότι το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από τα αρχικά δεδομένα. Η ίδια απόφαση λαμβάνεται σε δύο ριζικά διαφορετικές καταστάσεις! Και αυτό παρά το γεγονός ότι τα ίδια δύο, που τα παίρνουμε συνεχώς και δεν τα αλλάζουμε για τίποτα, δίνουν πάντα διαφορετική απάντηση με όλα τα νούμερα. Πού είναι, αναρωτιέται κανείς, η λογική;
-Μα αυτό είναι λογικό!
-Για σένα -ίσως. Εσείς οι μαθηματικοί πιστεύετε πάντα σε κάθε είδους τρελή βλακεία. Αλλά αυτοί οι υπολογισμοί σου δεν με πείθουν. Και ξέρετε γιατί;
-Γιατί;
-Επειδή εγώ Ξέρω, γιατί χρειάζονται πραγματικά τα μαθηματικά σας. Σε τι συνοψίζονται όλα αυτά; «Η Κάτια έχει ένα μήλο στην τσέπη της και η Μίσα έχει πέντε μήλα να δώσει η Μίσα στην Κάτια για να έχουν τον ίδιο αριθμό μήλων;» Και ξέρεις τι θα σου πω; Μίσα μην χρωστάς σε κανέναν τίποταχαρίζω! Η Κάτια έχει ένα μήλο και αυτό είναι αρκετό. Δεν είναι αρκετή; Αφήστε τη να δουλέψει σκληρά και να κερδίσει τίμια χρήματα για τον εαυτό της, ακόμα και για μήλα, ακόμα και για αχλάδια, ακόμα και για ανανάδες στη σαμπάνια. Κι αν κάποιος θέλει να μην δουλεύει, αλλά μόνο να λύνει προβλήματα, ας κάθεται με το ένα του μήλο και να μην καμαρώνει!

» από τον Ομότιμο Καθηγητή των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Warwick, διάσημο εκλαϊκευτή της επιστήμης Ian Stewart, αφιερωμένο στον ρόλο των αριθμών στην ιστορία της ανθρωπότητας και στη συνάφεια της μελέτης τους στην εποχή μας.

Πυθαγόρεια υποτείνουσα

Τα πυθαγόρεια τρίγωνα έχουν ορθές γωνίες και ακέραιες πλευρές. Το πιο απλό από αυτά έχει μια μακρύτερη πλευρά μήκους 5, τα άλλα - 3 και 4. Υπάρχουν 5 κανονικά πολύεδρα συνολικά. Μια εξίσωση πέμπτου βαθμού δεν μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας πέμπτες ρίζες - ή άλλες ρίζες. Τα πλέγματα σε επίπεδο και σε τρισδιάστατο χώρο δεν έχουν πενταλοβώδη περιστροφική συμμετρία, επομένως τέτοιες συμμετρίες απουσιάζουν στους κρυστάλλους. Ωστόσο, μπορούν να βρεθούν σε πλέγματα σε τέσσερις διαστάσεις και σε ενδιαφέρουσες δομές γνωστές ως quasicrystals.

Υποτείνουσα του μικρότερου Πυθαγόρειου τριπλού

Το Πυθαγόρειο θεώρημα δηλώνει ότι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου (η περιβόητη υποτείνουσα) σχετίζεται με τις άλλες δύο πλευρές αυτού του τριγώνου με έναν πολύ απλό και όμορφο τρόπο: το τετράγωνο της υποτείνουσας ίσο με το άθροισματετράγωνα των άλλων δύο πλευρών.

Παραδοσιακά, ονομάζουμε αυτό το θεώρημα με το όνομα Πυθαγόρας, αλλά στην πραγματικότητα η ιστορία του είναι αρκετά ασαφής. Οι πήλινες πινακίδες υποδηλώνουν ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα πολύ πριν από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Τη φήμη του ανακάλυψε τον έφερε η μαθηματική λατρεία των Πυθαγορείων, οι υποστηρικτές των οποίων πίστευαν ότι το Σύμπαν βασιζόταν σε αριθμητικούς νόμους. Οι αρχαίοι συγγραφείς απέδιδαν μια ποικιλία μαθηματικών θεωρημάτων στους Πυθαγόρειους - και επομένως στον Πυθαγόρα, αλλά στην πραγματικότητα δεν έχουμε ιδέα σε τι είδους μαθηματικά ασχολήθηκε ο ίδιος ο Πυθαγόρας. Δεν ξέρουμε καν αν οι Πυθαγόρειοι μπορούσαν να αποδείξουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα ή αν απλώς πίστευαν ότι ήταν αληθινό. Ή, πιθανότατα, είχαν πειστικές αποδείξεις για την αλήθεια του, που ωστόσο δεν θα αρκούσαν για αυτό που θεωρούμε αποδεικτικό σήμερα.

Αποδείξεις του Πυθαγόρα

Η πρώτη γνωστή απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος βρίσκεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Αυτή είναι μια αρκετά περίπλοκη απόδειξη, χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο που οι βικτωριανοί μαθητές θα αναγνώριζαν αμέσως ως «Πυθαγόρειο παντελόνι». Το σχέδιο πραγματικά μοιάζει με σώβρακο που στεγνώνει σε μια γραμμή. Υπάρχουν κυριολεκτικά εκατοντάδες άλλες αποδείξεις, οι περισσότερες από τις οποίες κάνουν τον ισχυρισμό πιο προφανή.

// Ρύζι. 33. Πυθαγόρειο παντελόνι

Μια από τις πιο απλές αποδείξεις είναι ένα είδος μαθηματικού παζλ. Πάρτε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, κάντε τέσσερα αντίγραφά του και συναρμολογήστε τα μέσα στο τετράγωνο. Σε μια διάταξη βλέπουμε ένα τετράγωνο στην υποτείνουσα. με το άλλο - τετράγωνα στις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου. Είναι σαφές ότι οι περιοχές και στις δύο περιπτώσεις είναι ίσες.

// Ρύζι. 34. Αριστερά: τετράγωνο στην υποτείνουσα (συν τέσσερα τρίγωνα). Δεξιά: άθροισμα των τετραγώνων στις άλλες δύο πλευρές (συν τα ίδια τέσσερα τρίγωνα). Τώρα αφαιρέστε τα τρίγωνα

Η ανατομή του Perigal είναι μια άλλη απόδειξη του παζλ.

// Ρύζι. 35. Ανατομή του Περιγάλου

Υπάρχει επίσης μια απόδειξη του θεωρήματος χρησιμοποιώντας τη διάταξη τετραγώνων σε ένα επίπεδο. Ίσως έτσι ανακάλυψαν αυτό το θεώρημα οι Πυθαγόρειοι ή οι άγνωστοι προκάτοχοί τους. Αν κοιτάξετε πώς το λοξό τετράγωνο επικαλύπτει δύο άλλα τετράγωνα, μπορείτε να δείτε πώς να κόψετε ένα μεγάλο τετράγωνο σε κομμάτια και στη συνέχεια να τα ενώσετε σε δύο μικρότερα τετράγωνα. Μπορείτε επίσης να δείτε ορθογώνια τρίγωνα, οι πλευρές των οποίων δίνουν τις διαστάσεις των τριών τετραγώνων που εμπλέκονται.

// Ρύζι. 36. Απόδειξη με πλακόστρωση

Υπάρχουν ενδιαφέρουσες αποδείξεις που χρησιμοποιούν παρόμοια τρίγωνα στην τριγωνομετρία. Γνωστός από τουλάχιστονπενήντα διαφορετικά αποδεικτικά στοιχεία.

Πυθαγόρεια τριπλάσια

Στη θεωρία αριθμών, το Πυθαγόρειο θεώρημα έγινε η πηγή μιας γόνιμης ιδέας: η εύρεση ακέραιων λύσεων σε αλγεβρικές εξισώσεις. Πυθαγόρειο τριπλό είναι ένα σύνολο ακεραίων a, b και c τέτοιοι ώστε

Γεωμετρικά, ένα τέτοιο τριπλό ορίζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές.

Η μικρότερη υποτείνουσα ενός Πυθαγόρειου τριπλού είναι το 5.

Οι άλλες δύο πλευρές αυτού του τριγώνου είναι το 3 και το 4. Εδώ

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Η επόμενη μεγαλύτερη υποτείνουσα είναι το 10 γιατί

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Ωστόσο, αυτό είναι ουσιαστικά το ίδιο τρίγωνο με διπλές πλευρές. Η επόμενη μεγαλύτερη και πραγματικά διαφορετική υποτείνουσα είναι το 13, για το οποίο

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Ο Ευκλείδης γνώριζε ότι υπήρχε άπειρος αριθμός διαφορετικών παραλλαγών των Πυθαγόρειων τριδύμων και έδωσε αυτό που θα μπορούσε να ονομαστεί τύπος για την εύρεση όλων. Αργότερα, ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός πρότεινε μια απλή συνταγή, βασικά πανομοιότυπη με την Ευκλείδεια.

Πάρτε δύο φυσικούς αριθμούς και υπολογίστε:

το διπλό τους προϊόν?

η διαφορά των τετραγώνων τους?

το άθροισμα των τετραγώνων τους.

Οι τρεις αριθμοί που θα προκύψουν θα είναι οι πλευρές του Πυθαγόρειου τριγώνου.

Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τους αριθμούς 2 και 1. Ας υπολογίσουμε:

διπλό γινόμενο: 2 × 2 × 1 = 4;

διαφορά τετραγώνων: 22 - 12 = 3;

άθροισμα τετραγώνων: 22 + 12 = 5,

και πήραμε το περίφημο τρίγωνο 3-4-5. Αν πάρουμε τους αριθμούς 3 και 2, παίρνουμε:

διπλό γινόμενο: 2 × 3 × 2 = 12;

διαφορά τετραγώνων: 32 - 22 = 5;

άθροισμα τετραγώνων: 32 + 22 = 13,

και παίρνουμε το επόμενο πιο διάσημο τρίγωνο 5 - 12 - 13. Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε τους αριθμούς 42 και 23 και να πάρουμε:

διπλό γινόμενο: 2 × 42 × 23 = 1932;

διαφορά τετραγώνων: 422 - 232 = 1235;

άθροισμα τετραγώνων: 422 + 232 = 2293,

Κανείς δεν έχει ακούσει ποτέ για το τρίγωνο 1235–1932–2293.

Αλλά και αυτοί οι αριθμοί λειτουργούν:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Υπάρχει ένα άλλο χαρακτηριστικό του Διοφαντικού κανόνα που έχει ήδη υπαινιχθεί: με δεδομένους τρεις αριθμούς, μπορούμε να πάρουμε έναν άλλο αυθαίρετο αριθμό και να τους πολλαπλασιάσουμε όλους με αυτόν. Έτσι, ένα τρίγωνο 3–4–5 μπορεί να μετατραπεί σε τρίγωνο 6–8–10 πολλαπλασιάζοντας όλες τις πλευρές επί 2 ή σε τρίγωνο 15–20–25 πολλαπλασιάζοντας όλες με 5.

Αν μεταβούμε στη γλώσσα της άλγεβρας, ο κανόνας παίρνει την εξής μορφή: έστω u, v και k φυσικοί αριθμοί. Στη συνέχεια ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές

2kuv και k (u2 - v2) έχει υποτείνουσα

Υπάρχουν άλλοι τρόποι παρουσίασης της κύριας ιδέας, αλλά όλοι συνοψίζονται σε αυτόν που περιγράφηκε παραπάνω. Αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να αποκτήσετε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες.

Κανονικά πολύεδρα

Υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα. Ένα κανονικό πολύεδρο (ή πολύεδρο) είναι ένα τρισδιάστατο σχήμα με πεπερασμένο αριθμό επίπεδων όψεων. Τα πρόσωπα συναντώνται μεταξύ τους σε γραμμές που ονομάζονται άκρες. οι ακμές συναντώνται σε σημεία που ονομάζονται κορυφές.

Το αποκορύφωμα του Euclidean's Principia είναι η απόδειξη ότι μπορούν να υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα, δηλαδή πολύεδρα στα οποία κάθε όψη είναι ένα κανονικό πολύγωνο (ίσες πλευρές, ίσες γωνίες), όλες οι όψεις είναι ίδιες και όλες οι κορυφές περιβάλλονται από ίσο αριθμός όψεων σε ίση απόσταση. Εδώ είναι πέντε κανονικά πολύεδρα:

τετράεδρο με τέσσερις τριγωνικές όψεις, τέσσερις κορυφές και έξι άκρες.

κύβος, ή εξάεδρο, με 6 τετράγωνες όψεις, 8 κορυφές και 12 άκρες.

οκτάεδρο με 8 τριγωνικές όψεις, 6 κορυφές και 12 άκρες.

Δωδεκάεδρο με 12 πενταγωνικές όψεις, 20 κορυφές και 30 άκρες.

Ένα εικοσάεδρο με 20 τριγωνικές όψεις, 12 κορυφές και 30 άκρες.

// Ρύζι. 37. Πέντε κανονικά πολύεδρα

Τα κανονικά πολύεδρα μπορούν επίσης να βρεθούν στη φύση. Το 1904, ο Ernst Haeckel δημοσίευσε σχέδια μικροσκοπικών οργανισμών γνωστών ως radiolarians. Πολλά από αυτά έχουν σχήμα σαν τα ίδια πέντε κανονικά πολύεδρα. Ίσως, ωστόσο, διόρθωσε ελαφρώς τη φύση και τα σχέδια δεν αντικατοπτρίζουν πλήρως το σχήμα συγκεκριμένων ζωντανών όντων. Οι τρεις πρώτες δομές παρατηρούνται και στους κρυστάλλους. Δεν θα βρείτε δωδεκάεδρα και εικοσάεδρα σε κρυστάλλους, αν και μερικές φορές υπάρχουν ακανόνιστα δωδεκάεδρα και εικοσάεδρα. Τα αληθινά δωδεκάεδρα μπορούν να εμφανιστούν ως οιονεί κρύσταλλοι, οι οποίοι είναι παρόμοιοι με τους κρυστάλλους από κάθε άποψη, εκτός από το ότι τα άτομα τους δεν σχηματίζουν ένα περιοδικό πλέγμα.

// Ρύζι. 38. Σχέδια Haeckel: radiolarians με τη μορφή κανονικών πολύεδρων

// Ρύζι. 39. Εξελίξεις κανονικών πολύεδρων

Μπορεί να είναι ενδιαφέρον να φτιάξετε μοντέλα κανονικών πολύεδρων από χαρτί κόβοντας πρώτα ένα σύνολο διασυνδεδεμένων όψεων - αυτό ονομάζεται ανάπτυξη πολυεδρικού. η ανάπτυξη διπλώνεται κατά μήκος των άκρων και οι αντίστοιχες άκρες είναι κολλημένες μεταξύ τους. Είναι χρήσιμο να προσθέσετε ένα πρόσθετο επίθεμα κόλλας σε μία από τις νευρώσεις κάθε τέτοιου ζεύγους, όπως φαίνεται στο Σχ. 39. Εάν δεν υπάρχει τέτοια πλατφόρμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κολλητική ταινία.

Εξίσωση πέμπτου βαθμού

Δεν υπάρχει αλγεβρικός τύπος για την επίλυση εξισώσεων 5ου βαθμού.

ΣΕ γενική εικόναΗ εξίσωση πέμπτου βαθμού μοιάζει με αυτό:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Το πρόβλημα είναι να βρεθεί ένας τύπος για λύσεις σε μια τέτοια εξίσωση (μπορεί να έχει έως και πέντε λύσεις). Η εμπειρία με τις τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις, καθώς και τις εξισώσεις τέταρτου βαθμού, υποδηλώνει ότι ένας τέτοιος τύπος πρέπει να υπάρχει και για εξισώσεις πέμπτου βαθμού και, θεωρητικά, θα πρέπει να εμφανίζονται σε αυτόν οι ρίζες του πέμπτου, τρίτου και δεύτερου βαθμού. Και πάλι, μπορούμε με ασφάλεια να υποθέσουμε ότι ένας τέτοιος τύπος, εάν υπάρχει, θα είναι πολύ, πολύ περίπλοκος.

Αυτή η υπόθεση τελικά αποδείχθηκε λανθασμένη. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τέτοιος τύπος. Τουλάχιστον δεν υπάρχει τύπος που να αποτελείται από τους συντελεστές a, b, c, d, e και f, που να γίνεται με πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση και με ρίζες. Υπάρχει λοιπόν κάτι πολύ ιδιαίτερο με τον αριθμό 5. Οι λόγοι αυτής της ασυνήθιστης συμπεριφοράς των πέντε είναι πολύ βαθιές και χρειάστηκε πολύς χρόνος για να τους καταλάβουμε.

Το πρώτο σημάδι του προβλήματος ήταν ότι ανεξάρτητα από το πόσο σκληρά προσπάθησαν οι μαθηματικοί να βρουν έναν τέτοιο τύπο, όσο έξυπνοι κι αν ήταν, πάντα απέτυχαν. Για κάποιο διάστημα, όλοι πίστευαν ότι οι λόγοι έγκεινται στην απίστευτη πολυπλοκότητα της φόρμουλας. Πιστεύεται ότι κανείς απλώς δεν μπορούσε να καταλάβει σωστά αυτήν την άλγεβρα. Ωστόσο, με την πάροδο του χρόνου, ορισμένοι μαθηματικοί άρχισαν να αμφιβάλλουν για την ύπαρξη ενός τέτοιου τύπου, και το 1823 ο Niels Hendrik Abel μπόρεσε να αποδείξει το αντίθετο. Δεν υπάρχει τέτοιος τύπος. Λίγο αργότερα, ο Évariste Galois βρήκε έναν τρόπο να προσδιορίσει εάν μια εξίσωση του ενός ή του άλλου βαθμού —5ης, 6ης, 7ης, οποιουδήποτε είδους— ήταν επιλύσιμη χρησιμοποιώντας αυτό το είδος τύπου.

Το συμπέρασμα από όλα αυτά είναι απλό: ο αριθμός 5 είναι ιδιαίτερος. Μπορείτε να λύσετε αλγεβρικές εξισώσεις (χρησιμοποιώντας η ρίζεςμοίρες για διαφορετικές τιμές του n) για τις δυνάμεις 1, 2, 3 και 4, αλλά όχι για την 5η δύναμη. Εδώ τελειώνει το προφανές μοτίβο.

Κανείς δεν εκπλήσσεται που οι εξισώσεις μοιρών μεγαλύτερες από 5 συμπεριφέρονται ακόμη χειρότερα. Συγκεκριμένα, η ίδια δυσκολία συνδέεται με αυτά: δεν υπάρχουν γενικοί τύποι για την επίλυσή τους. Αυτό δεν σημαίνει ότι οι εξισώσεις δεν έχουν λύσεις. Αυτό επίσης δεν σημαίνει ότι είναι αδύνατο να βρεθούν πολύ ακριβείς αριθμητικές τιμές για αυτές τις λύσεις. Είναι όλα σχετικά με τους περιορισμούς των παραδοσιακών εργαλείων άλγεβρας. Αυτό θυμίζει την αδυναμία τριτομής μιας γωνίας με χρήση χάρακα και πυξίδας. Η απάντηση υπάρχει, αλλά οι μέθοδοι που αναφέρονται είναι ανεπαρκείς και δεν μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τι είναι.

Κρυσταλλογραφικός περιορισμός

Οι κρύσταλλοι σε δύο και τρεις διαστάσεις δεν έχουν περιστροφική συμμετρία 5 ακτίνων.

Τα άτομα σε έναν κρύσταλλο σχηματίζουν ένα πλέγμα, δηλαδή μια δομή που επαναλαμβάνεται περιοδικά σε πολλές ανεξάρτητες κατευθύνσεις. Για παράδειγμα, το σχέδιο στην ταπετσαρία επαναλαμβάνεται κατά μήκος του ρολού. Επιπλέον, συνήθως επαναλαμβάνεται στην οριζόντια κατεύθυνση, μερικές φορές με μετατόπιση από το ένα κομμάτι ταπετσαρίας στο άλλο. Ουσιαστικά, η ταπετσαρία είναι ένας δισδιάστατος κρύσταλλος.

Υπάρχουν 17 ποικιλίες μοτίβων ταπετσαρίας σε ένα αεροπλάνο (βλ. Κεφάλαιο 17). Διαφέρουν ως προς τους τύπους συμμετρίας, δηλαδή στους τρόπους άκαμπτης μετακίνησης του μοτίβου έτσι ώστε να βρίσκεται ακριβώς πάνω του στην αρχική του θέση. Οι τύποι συμμετρίας περιλαμβάνουν, ειδικότερα, διάφορες παραλλαγές περιστροφικής συμμετρίας, όπου το σχέδιο πρέπει να περιστρέφεται κατά μια ορισμένη γωνία γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο - το κέντρο συμμετρίας.

Η σειρά της περιστροφικής συμμετρίας είναι πόσες φορές το σώμα μπορεί να περιστραφεί σε έναν πλήρη κύκλο, έτσι ώστε όλες οι λεπτομέρειες του σχεδίου να επιστρέψουν στην αρχική τους θέση. Για παράδειγμα, μια περιστροφή 90° είναι συμμετρία περιστροφής 4ης τάξης*. Ο κατάλογος των πιθανών τύπων περιστροφικής συμμετρίας σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα υποδεικνύει και πάλι το ασυνήθιστο του αριθμού 5: δεν υπάρχει. Υπάρχουν επιλογές με συμμετρία περιστροφής 2ης, 3ης, 4ης και 6ης τάξης, αλλά κανένα μοτίβο ταπετσαρίας δεν έχει συμμετρία περιστροφής 5ης τάξης. Συμμετρία περιστροφής τάξης μεγαλύτερης από 6 δεν υπάρχει επίσης στους κρυστάλλους, αλλά η πρώτη παραβίαση της ακολουθίας εξακολουθεί να εμφανίζεται στον αριθμό 5.

Το ίδιο συμβαίνει και με τα κρυσταλλογραφικά συστήματα στον τρισδιάστατο χώρο. Εδώ το πλέγμα επαναλαμβάνεται σε τρεις ανεξάρτητες κατευθύνσεις. Υπάρχουν 219 διαφορετικοί τύποι συμμετρίας ή 230 αν μετρήσουμε την κατοπτρική εικόνα ενός σχεδίου ως ξεχωριστή παραλλαγή - παρά το γεγονός ότι σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει συμμετρία καθρέφτη. Και πάλι, παρατηρούνται περιστροφικές συμμετρίες των τάξεων 2, 3, 4 και 6, αλλά όχι 5. Το γεγονός αυτό ονομάζεται κρυσταλλογραφικός περιορισμός.

Στον τετραδιάστατο χώρο υπάρχουν πλέγματα με συμμετρία 5ης τάξης. Γενικά, για πλέγματα επαρκώς υψηλών διαστάσεων, είναι δυνατή οποιαδήποτε προκαθορισμένη σειρά περιστροφικής συμμετρίας.

// Ρύζι. 40. Κρυσταλλικό πλέγμα επιτραπέζιου αλατιού. Οι σκούρες μπάλες αντιπροσωπεύουν άτομα νατρίου, οι ανοιχτόχρωμες μπάλες αντιπροσωπεύουν άτομα χλωρίου

Οιονεί κρύσταλλοι

Αν και η περιστροφική συμμετρία 5ης τάξης δεν είναι δυνατή σε 2D ή 3D πλέγματα, μπορεί να υπάρχει σε ελαφρώς λιγότερο κανονικές δομές γνωστές ως οιονεί κρύσταλλοι. Χρησιμοποιώντας τα σκίτσα του Kepler, ο Roger Penrose ανακάλυψε επίπεδα συστήματα με έναν γενικότερο τύπο πενταπλής συμμετρίας. Ονομάζονται οιονεί κρύσταλλοι.

Οι οιονεί κρύσταλλοι υπάρχουν στη φύση. Το 1984, ο Daniel Shechtman ανακάλυψε ότι ένα κράμα αλουμινίου και μαγγανίου θα μπορούσε να σχηματίσει οιονεί κρυστάλλους. Αρχικά, οι κρυσταλλογράφοι υποδέχτηκαν το μήνυμά του με κάποιο σκεπτικισμό, αλλά αργότερα η ανακάλυψη επιβεβαιώθηκε και το 2011 βραβεύτηκε ο Shekhtman βραβείο Νόμπελστη χημεία. Το 2009, μια ομάδα επιστημόνων με επικεφαλής τον Luca Bindi ανακάλυψε οιονεί κρυστάλλους σε ένα ορυκτό από τα ρωσικά υψίπεδα Koryak - μια ένωση αλουμινίου, χαλκού και σιδήρου. Σήμερα αυτό το ορυκτό ονομάζεται εικοσαεδρίτης. Μετρώντας την περιεκτικότητα σε διαφορετικά ισότοπα οξυγόνου στο ορυκτό χρησιμοποιώντας ένα φασματόμετρο μάζας, οι επιστήμονες έδειξαν ότι αυτό το ορυκτό δεν προέρχεται από τη Γη. Σχηματίστηκε πριν από περίπου 4,5 δισεκατομμύρια χρόνια, σε μια εποχή που ηλιακό σύστημαήταν μόλις στα σπάργανά του και περνούσε τον περισσότερο χρόνο του στη ζώνη των αστεροειδών, σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο, μέχρι που κάποια διαταραχή άλλαξε την τροχιά του και τελικά τον έφερε στη Γη.

// Ρύζι. 41. Αριστερά: ένα από τα δύο οιονεί κρυσταλλικά πλέγματα με ακριβή πενταπλή συμμετρία. Δεξιά: Ατομικό μοντέλο ενός εικοσαεδρικού οιονεί κρυστάλλου αλουμινίου-παλλαδίου-μαγγανίου