Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης tg. Να βρείτε την παράγωγο: αλγόριθμος και παραδείγματα λύσεων. Παράγωγοι ανώτερης τάξης της εκθετικής συνάρτησης

Είναι απολύτως αδύνατο να λυθούν φυσικά προβλήματα ή παραδείγματα στα μαθηματικά χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , δίνεται σε κάποιο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή επιχειρημάτων - διαφορά των τιμών του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Η αλλαγή ή η αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Ποιο όμως:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Η φυσική σημασία του παραγώγου: η χρονική παράγωγος της διαδρομής είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια, όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι ένα ιδιωτικό μονοπάτι. x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης κάθε φορά t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: βγάλτε τη σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Επιπλέον, πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, λάβετε κατά κανόνα - αν μπορείτε να απλοποιήσετε την έκφραση, φροντίστε να απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Τρίτος κανόνας: η παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Λύση:

Εδώ είναι σημαντικό να πούμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα από την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα, συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, εξετάζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας Τέταρτος: Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιαδήποτε ερώτηση σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με τη φοιτητική υπηρεσία. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε τον πιο δύσκολο έλεγχο και να αντιμετωπίσετε εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε ασχοληθεί ποτέ με τον υπολογισμό των παραγώγων στο παρελθόν.

Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.Η παράγωγος πρέπει να βρεθεί σε μια σειρά προβλημάτων κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης. Για παράδειγμα, όταν βρίσκουμε ακραία σημεία και σημεία καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης.

Πως να βρεις?

Για να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, πρέπει να γνωρίζετε τον πίνακα των παραγώγων στοιχειώδεις λειτουργίεςκαι εφαρμόστε τους βασικούς κανόνες διαφοροποίησης:

1. Αφαιρώντας τη σταθερά από το πρόσημο της παραγώγου: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Παράγωγος αθροίσματος/διαφοράς συναρτήσεων: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Παράγωγος κλάσματος : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Παραδείγματα λύσεων

Παράδειγμα 1

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Λύση

Η παράγωγος του αθροίσματος/διαφοράς των συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα/διαφορά των παραγώγων: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Χρησιμοποιώντας τον κανόνα παραγώγου συνάρτησης ισχύος $ (x^p)" = px^(p-1) $ έχουμε: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Επίσης λήφθηκε υπόψη ότι η παράγωγος της σταθεράς είναι ίση με μηδέν. Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. Θα δώσουμε μια λεπτομερή λύση. Θα είστε σε θέση να εξοικειωθείτε με την πρόοδο του υπολογισμού και να συλλέξετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε μια πίστωση από τον δάσκαλο εγκαίρως!

Απάντηση

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Η αριθμομηχανή υπολογίζει τις παραγώγους όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων, δίνοντας μια λεπτομερή λύση. Η μεταβλητή διαφοροποίησης προσδιορίζεται αυτόματα.

Παράγωγος συνάρτησηςείναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Τέτοια προβλήματα οδήγησαν στην εμφάνιση της παραγώγου, όπως, για παράδειγμα, ο υπολογισμός της στιγμιαίας ταχύτητας ενός σημείου σε μια χρονική στιγμή, εάν η διαδρομή είναι γνωστή ανάλογα με το χρόνο, το πρόβλημα της εύρεσης μιας εφαπτομένης σε μια συνάρτηση σε ένα σημείο .

Τις περισσότερες φορές, η παράγωγος μιας συνάρτησης ορίζεται ως το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, εάν υπάρχει.

Ορισμός.Αφήστε τη συνάρτηση να οριστεί σε κάποια γειτονιά του σημείου. Τότε η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο ονομάζεται όριο, αν υπάρχει

Πώς να υπολογίσετε την παράγωγο μιας συνάρτησης;

Για να μάθει κανείς να διαφοροποιεί τις λειτουργίες, πρέπει να μάθει και να κατανοήσει κανόνες διαφοροποίησηςκαι μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε πίνακας παραγώγων.

Κανόνες διαφοροποίησης

Έστω και είναι αυθαίρετες διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής και είναι κάποια πραγματική σταθερά. Επειτα

είναι ο κανόνας για τη διαφοροποίηση του γινομένου των συναρτήσεων

είναι ο κανόνας για τη διαφοροποίηση των συναρτήσεων πηλίκου

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — διαφοροποίηση συνάρτησης με μεταβλητό εκθέτη

- ο κανόνας διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης

είναι ο κανόνας διαφοροποίησης συνάρτησης ισχύος

Παράγωγο μιας συνάρτησης σε απευθείας σύνδεση

Η αριθμομηχανή μας θα υπολογίσει γρήγορα και με ακρίβεια την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης στο διαδίκτυο. Το πρόγραμμα δεν θα κάνει λάθη κατά τον υπολογισμό της παραγώγου και θα βοηθήσει στην αποφυγή μακρών και κουραστικών υπολογισμών. Ηλεκτρονική αριθμομηχανήΘα είναι επίσης χρήσιμο στην περίπτωση που υπάρχει ανάγκη να ελέγξετε τη λύση σας για την ορθότητα και εάν είναι εσφαλμένη, βρείτε γρήγορα το σφάλμα.

Το πρόβλημα της εύρεσης της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης είναι ένα από τα κύρια στο μάθημα των μαθηματικών του Λυκείου και στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Είναι αδύνατο να εξερευνήσετε πλήρως μια συνάρτηση, να δημιουργήσετε το γράφημά της χωρίς να λάβετε την παράγωγή της. Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να βρεθεί εύκολα αν γνωρίζετε τους βασικούς κανόνες διαφοροποίησης, καθώς και τον πίνακα παραγώγων των κύριων συναρτήσεων. Ας δούμε πώς να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης ονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν.

Είναι μάλλον δύσκολο να κατανοήσουμε αυτόν τον ορισμό, καθώς η έννοια του ορίου δεν μελετάται πλήρως στο σχολείο. Αλλά για να βρούμε παράγωγα διαφόρων συναρτήσεων, δεν είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τον ορισμό, ας το αφήσουμε στους μαθηματικούς και ας πάμε κατευθείαν στην εύρεση της παραγώγου.

Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Όταν διαφοροποιούμε μια συνάρτηση, θα έχουμε μια νέα συνάρτηση.

Για τον χαρακτηρισμό τους θα χρησιμοποιήσουμε τα λατινικά γράμματα f, g κ.λπ.

Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί συμβολισμοί για τα παράγωγα. Θα χρησιμοποιήσουμε εγκεφαλικό επεισόδιο. Για παράδειγμα, η καταχώρηση g» σημαίνει ότι θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης g.

Πίνακας παραγώγων

Για να απαντήσετε στο ερώτημα πώς να βρείτε την παράγωγο, είναι απαραίτητο να παρέχετε έναν πίνακα παραγώγων των κύριων συναρτήσεων. Για τον υπολογισμό των παραγώγων των στοιχειωδών συναρτήσεων, δεν είναι απαραίτητο να γίνουν σύνθετοι υπολογισμοί. Αρκεί μόνο να δούμε την αξία του στον πίνακα των παραγώγων.

1. (sinx)"=cosx
2. (cos x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (πρώην)"=π.χ
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/αμαρτία 2 x
10. (τόξο x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Παράδειγμα 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=500.

Βλέπουμε ότι είναι σταθερά. Σύμφωνα με τον πίνακα των παραγώγων, είναι γνωστό ότι η παράγωγος της σταθεράς είναι ίση με μηδέν (τύπος 1).

Παράδειγμα 2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=x 100 .

Αυτή είναι μια συνάρτηση ισχύος της οποίας ο εκθέτης είναι 100, και για να βρείτε την παράγωγό της, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη συνάρτηση με τον εκθέτη και να τη μειώσετε κατά 1 (τύπος 3).

(x 100)"=100 x 99

Παράδειγμα 3. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=5 x

Αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση, υπολογίζουμε την παράγωγό της χρησιμοποιώντας τον τύπο 4.

Παράδειγμα 4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= log 4 x

Βρίσκουμε την παράγωγο του λογάριθμου χρησιμοποιώντας τον τύπο 7.

(log 4 x)"=1/x ημερολόγιο 4

Κανόνες διαφοροποίησης

Ας δούμε τώρα πώς να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης εάν δεν υπάρχει στον πίνακα. Οι περισσότερες από τις συναρτήσεις που διερευνήθηκαν δεν είναι στοιχειώδεις, αλλά είναι συνδυασμοί στοιχειωδών συναρτήσεων που χρησιμοποιούν τις απλούστερες πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση και πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό). Για να βρείτε τα παράγωγά τους, πρέπει να γνωρίζετε τους κανόνες διαφοροποίησης. Επιπλέον, τα γράμματα f και g υποδηλώνουν συναρτήσεις και το C είναι μια σταθερά.

1. Ένας σταθερός συντελεστής μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου

Παράδειγμα 5. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= 6*x 8

Βγάζουμε τον σταθερό συντελεστή 6 και διαφοροποιούμε μόνο x 4 . Αυτή είναι μια συνάρτηση ισχύος, την παράγωγο της οποίας βρίσκουμε σύμφωνα με τον τύπο 3 του πίνακα παραγώγων.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Η παράγωγος του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων

(f + g)"=f" + g"

Παράδειγμα 6. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 100 + sin x

Η συνάρτηση είναι το άθροισμα δύο συναρτήσεων των οποίων οι παράγωγοι μπορούμε να βρούμε από τον πίνακα. Αφού (x 100)"=100 x 99 και (sin x)"=cos x. Η παράγωγος του αθροίσματος θα είναι ίση με το άθροισμα αυτών των παραγώγων:

(x 100 + sin x)" = 100 x 99 + cos x

3. Η παράγωγος της διαφοράς ισούται με τη διαφορά των παραγώγων

(f – g)"=f" – g"

Παράδειγμα 7. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 100 - cos x

Αυτή η συνάρτηση είναι η διαφορά δύο συναρτήσεων των οποίων τις παραγώγους μπορούμε να βρούμε και από τον πίνακα. Τότε η παράγωγος της διαφοράς ισούται με τη διαφορά των παραγώγων και μην ξεχάσεις να αλλάξεις το πρόσημο, αφού (cos x) «= - sin x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x

Παράδειγμα 8. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=e x +tg x– x 2 .

Αυτή η συνάρτηση έχει και άθροισμα και διαφορά, βρίσκουμε τις παραγώγους κάθε όρου:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Τότε η παράγωγος της αρχικής συνάρτησης είναι:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Παράγωγο προϊόντος

(f * g)"=f" * g + f * g"

Παράδειγμα 9. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= cos x *e x

Για να το κάνετε αυτό, βρείτε πρώτα την παράγωγο κάθε παράγοντα (cos x)"=–sin x και (e x)"=e x . Τώρα ας αντικαταστήσουμε τα πάντα στη φόρμουλα του προϊόντος. Πολλαπλασιάστε την παράγωγο της πρώτης συνάρτησης με τη δεύτερη και προσθέστε το γινόμενο της πρώτης συνάρτησης με την παράγωγο της δεύτερης.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Παράγωγος του πηλίκου

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Παράδειγμα 10. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 50 / sin x

Για να βρείτε την παράγωγο του πηλίκου, βρείτε πρώτα την παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή ξεχωριστά: (x 50)"=50 x 49 και (sin x)"= cos x. Αντικαθιστώντας στον τύπο την παράγωγο του πηλίκου παίρνουμε:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης

Μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που αντιπροσωπεύεται από μια σύνθεση πολλών συναρτήσεων. Για να βρείτε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, υπάρχει επίσης ένας κανόνας:

(u(v))"=u"(v)*v"

Ας δούμε πώς να βρούμε την παράγωγο μιας τέτοιας συνάρτησης. Έστω y= u(v(x)) μιγαδική συνάρτηση. Η συνάρτηση u θα ονομάζεται εξωτερική και v - εσωτερική.

Για παράδειγμα:

Το y=sin (x 3) είναι μια σύνθετη συνάρτηση.

Τότε y=sin(t) είναι η εξωτερική συνάρτηση

t=x 3 - εσωτερικό.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Σύμφωνα με τον τύπο, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν οι παράγωγοι των εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων.

(sin t)"=cos (t) - παράγωγος της εξωτερικής συνάρτησης (όπου t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - παράγωγος της εσωτερικής συνάρτησης

Τότε (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 είναι η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Παράγωγος σταθεράς.

Κατά την εξαγωγή του πρώτου τύπου του πίνακα, θα προχωρήσουμε από τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Πάρτε , όπου x είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, δηλαδή, x είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς το όρισμα αύξησης στο:

Πρέπει να σημειωθεί ότι μια έκφραση λαμβάνεται με το οριακό πρόσημο, το οποίο δεν είναι, καθώς ο αριθμητής δεν περιέχει μια απειροελάχιστη τιμή, αλλά το μηδέν. Με άλλα λόγια, η αύξηση μιας σταθερής συνάρτησης είναι πάντα μηδέν.

Με αυτόν τον τρόπο, η παράγωγος μιας σταθερής συνάρτησης είναι ίση με μηδέν σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Παράδειγμα.

Βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω σταθερών συναρτήσεων

Λύση.

Στην πρώτη περίπτωση, έχουμε μια παράγωγο ενός φυσικού αριθμού 3, στη δεύτερη περίπτωση πρέπει να πάρουμε την παράγωγο της παραμέτρου a, η οποία μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, στην τρίτη - η παράγωγος ενός άρρητου αριθμού, στο τέταρτη περίπτωση έχουμε παράγωγο του μηδενός (το μηδέν είναι ακέραιος), στην πέμπτη είναι η παράγωγος ενός ορθολογικού κλάσματος.

Απάντηση:

Οι παράγωγοι όλων αυτών των συναρτήσεων είναι ίσες με μηδέν για οποιοδήποτε πραγματικό x (σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού)

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος.

Ο τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος έχει τη μορφή , όπου ο εκθέτης p είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Ας αποδείξουμε πρώτα τον τύπο για τον φυσικό εκθέτη, δηλαδή για p = 1, 2, 3, ...

Θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου. Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης ισχύος προς την αύξηση του ορίσματος:

Για να απλοποιήσουμε την έκφραση στον αριθμητή, στραφούμε στον τύπο:

Συνεπώς,

Αυτό αποδεικνύει τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος για έναν φυσικό εκθέτη.

Πρέπει να ληφθούν υπόψη δύο περιπτώσεις: για θετικό x και αρνητικό x .

Ας υποθέσουμε πρώτα. Σε αυτήν την περίπτωση . Ας πάρουμε τον λογάριθμο της ισότητας στη βάση e και ας εφαρμόσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου:

Έφτασε σε μια σιωπηρά καθορισμένη λειτουργία. Βρίσκουμε την παράγωγο:

Μένει να πραγματοποιηθεί η απόδειξη για το αρνητικό x .

Όταν ο εκθέτης p είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για , και είναι άρτια (βλ. ενότητα ). Αυτό είναι, . Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί κανείς επίσης να χρησιμοποιήσει την απόδειξη ως προς τη λογαριθμική παράγωγο.

Όταν ο εκθέτης p είναι περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για , και είναι περιττός. Αυτό είναι, . Σε αυτήν την περίπτωση, η λογαριθμική παράγωγος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Για να αποδείξουμε τον τύπο Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες διαφοροποίησης και τον κανόνα για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Η τελευταία μετάβαση είναι δυνατή λόγω του γεγονότος ότι εάν το p είναι περιττός αριθμός, τότε το p-1 είναι είτε άρτιος αριθμός είτε μηδέν (για p=1 ), επομένως, για το αρνητικό x, η ισότητα .

Έτσι, ο τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος αποδεικνύεται για κάθε πραγματικό p.

Παράδειγμα.

Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων.

Λύση.

Φέρνουμε την πρώτη και την τρίτη συνάρτηση σε μορφή πίνακα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού και εφαρμόζουμε τον τύπο για την παράγωγο της συνάρτησης ισχύος:

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης.

Εξάγουμε τον τύπο της παραγώγου με βάση τον ορισμό:

Έφτασε στην αβεβαιότητα. Για να το επεκτείνουμε, εισάγουμε μια νέα μεταβλητή και για . Επειτα . Στην τελευταία μετάβαση, χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογαρίθμου.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στο αρχικό όριο:

Εξ ορισμού της παραγώγου για την ημιτονοειδή συνάρτηση, έχουμε .

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη διαφορά των ημιτόνων:

Μένει να στραφούμε στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

Άρα η παράγωγος του sin x είναι cos x .

Ο τύπος για το συνημιτονικό παράγωγο αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Κατά την επίλυση προβλημάτων διαφοροποίησης θα αναφερόμαστε συνεχώς στον πίνακα παραγώγων των κύριων συναρτήσεων, αλλιώς γιατί τον συνθέσαμε και αποδεικνύουμε κάθε τύπο. Σας συνιστούμε να θυμάστε όλους αυτούς τους τύπους, στο μέλλον θα σας εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Πνευματικά δικαιώματα από έξυπνους μαθητές

Ολα τα δικαιώματα διατηρούνται.
Προστατεύεται από το νόμο περί πνευματικών δικαιωμάτων. Κανένα μέρος του ιστότοπου, συμπεριλαμβανομένων των εσωτερικών υλικών και του εξωτερικού σχεδιασμού, δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μορφή ή να χρησιμοποιηθεί χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του κατόχου των πνευματικών δικαιωμάτων.